Kuleflater

Ei kuleflate i tre dimensjonar kan beskrivast matematisk på fleire måtar, ikkje ulikt slik vi kan beskrive ein sirkel i planet på fleire måtar. Her skal vi jobbe mest med likningsframstilling for kuleflater, men dersom du ønsker ekstra fordjuping, kan du òg jobbe med parameterframstilling av kuleflater lenger ned i artikkelen.

På figuren har vi teikna ei kule med sentrum i $$ S$$ og radius $r$. Kuleflata er samlinga av alle punkt $P$ som har avstanden $r$ frå $$ S$$.

Vi lar $$ P(x,y,z)$$ vere eit punkt på kuleflata.
Då veit vi at $$ \overline{)\overline{)\overrightarrow{SP}}}=r$$.

Dette gir

$$ \begin{array}{rcl} \overline{)\overline{)\overrightarrow{SP}}} & = & r\\ \overline{)\overline{)\left[x-x_0,y-y_0,z-z_0\right]}}& =& r\\ \sqrt{{\left(x-x_0\right)}^2+{\left(y-y_0\right)}^2+{\left(z-z_0\right)}^2}& =& r\\ {\left(x-x_0\right)}^2+{\left(y-y_0\right)}^2+{\left(z-z_0\right)}^2& =& r^2\end{array}$$

Vi har no ei likning for kuleflata.

Dersom origo er sentrum i kula, blir likninga for kuleflata

$x^2+y^2+z^2=r^2$

Når likninga for ei kuleflate er gitt på forma ovanfor, er det lett å finne sentrum og radius i kula.

Døme

Finn sentrum og radius til ei kule når likninga for kuleflata er gitt ved

$(x-2{)}^2+(y+4{)}^2+(z-6{)}^2=5^2$

Døme

Ofte er ikkje likninga til kuleflata ordna slik at vi kan lese ut sentrum og radius direkte. Likninga nedanfor beskriv òg ei kuleflate:

$x^2+2x+y^2-6y+z^2=-1$

For å finne sentrum og radius i denne kula må vi omarbeide uttrykket litt.

🤔 Tenk over: Korleis kan vi forme om likninga slik at vi kan lese ut koordinatane til sentrum i kula og radiusen til kula?

Vi lagar fullstendige kvadrat av ledda med $x$, ledda med $y$ og ledda med $z$ kvar for seg. Då gjeld det å hugse korleis vi gjer det! Sjå teorisida "Ein sirkel i planet" dersom du vil ha ein repetisjon.

$$ \begin{array}{rcl} x^2+2x+y^2-6y+z^2& = & -1\\ x^2+2x+1^2-1^2+y^2-6y+3^2-3^2+z^2& =& -1\\ \underset{{\left(x+1\right)}^2 }{\underbrace{x^2+2x+1} + }\underset{{\left(y-3\right)}^2}{\underbrace{y^2-6y+9}}+z^2& =& -1+1+9\\ {\left(x+1\right)}^2+{\left(y-3\right)}^2+z^2& =& 3^2\end{array}$$

Dette er altså likninga for ei kuleflate med sentrum i $$ \left(-1,3,0\right)$$ og med radius $3$.

Dersom likninga ikkje kan skrivast på forma ${\left(x-x_0\right)}^2+{\left(y-y_0\right)}^2+{\left(z-z_0\right)}^2=r^2$, er det ikkje likninga for ei kuleflate.

Det er fleire måtar å lage ei parameterframstilling av ei kuleflate på. Akkurat som for eit plan treng vi to parametrar for å lage ei parameterframstilling for ei kuleflate. Her vel vi å bruke ei parameterframstilling der dei to parametrane er vinklar. Desse har vi kalla $$ u$$ og $$ v$$ på figuren.

Vi ser på ei kule med radius $r$ plassert med sentrum i origo. Vi lar $$ P(x,y,z)$$ vere eit vilkårleg punkt på kuleflata slik at $$ \left|\overrightarrow{OP}\right|=r$$.

Normalen frå $$ P$$ ned til $$ xy$$-planet treffer $$ xy$$-planet i punktet $$ B\left(x,y,0\right)$$. Punktet $$ B$$ får same $$ x$$- og $$ y$$-koordinat som punktet $$ B$$.

$$ u$$ er vinkelen mellom $$ \overrightarrow{OP}$$ og $$ \overrightarrow{OB}$$ på figuren, og $$ v$$ er vinkelen mellom $$ \overrightarrow{OB}$$ og $$ x$$-aksen ($$ \overrightarrow{OA}$$).

No må vi finne vinklane $$ u$$ og $$ v$$ uttrykt ved dei andre storleikane i figuren. Det får vi ved å ta sinus og cosinus til vinklane. Sidan punkta på figuren dannar to rettvinkla trekantar, får vi

$$ \begin{array}{lcl}\sin u=\frac{\left|\overrightarrow{BP}\right|}{\left|\overrightarrow{OP}\right|}=\frac{z}{r}& \Rightarrow & z=r·\sin u\\ \cos u=\frac{\left|\overrightarrow{OB}\right|}{\left|\overrightarrow{OP}\right|}=\frac{\left|\overrightarrow{OB}\right|}{r}& \Rightarrow & OB=r·\cos u\\ \cos v=\frac{\left|\overrightarrow{OA}\right|}{\left|\overrightarrow{OB}\right|}=\frac{x}{r·\cos u}& \Rightarrow & x=r·\cos u·\cos v\\ \sin v=\frac{\left|\overrightarrow{AB}\right|}{\left|\overrightarrow{OB}\right|}=\frac{y}{r·\cos u}& \Rightarrow & y=r·\cos u·\sin v\end{array}$$

Det vilkårlege punktet $$ P$$ er då beskrive ved parametrane $$ u$$ og $$ v$$. Ei kuleflate $$ k$$ med sentrum origo og med radius $$ r$$ har derfor parameterframstillinga

$$ k:\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{l}x=r·\cos u·\cos v\\ y=r·\cos u·\sin v\\ z=r·\sin u\end{array}\end{array}\right.$$

Den tilsvarande vektorfunksjonen for kuleflata blir

$$ \overrightarrow{OP}=\left[r·\cos u·\cos v,r·\cos u·\sin v,r·\sin u\right]$$

🤔 Tenk over: Kva er definisjonsområdet til $$ u$$ og $$ v$$?

🤔 Tenk over: Kva skjer med parameterframstillinga dersom vi flyttar sentrum av kula til punktet $$ S\left(x_0,y_0,z_0\right)$$?

Døme

Ei kuleflate med radius lik $5$ og sentrum i origo har vektorfunksjonen

$$ \overrightarrow{OP}=\left[5\cos u·\cos v,5\cos u·\sin v,5\sin u\right]$$

Vi kan flytte sentrum i kula til punktet $$ (0,0,20)$$ ved å auke $$ z$$-koordinaten til vektorfunksjonen med 20:

$$ \overrightarrow{OP}=\left[5\cos u·\cos v,5\cos u·\sin v,20+5\sin u\right]$$

Vi får teikna kula i 3D-grafikkfeltet til GeoGebra ved å skrive inn likninga eller vektorfunksjonen for kuleflata i algebrafeltet eller i CAS-feltet. Vektorfunksjonen i det siste dømet over kan vi skrive inn i CAS-feltet som

r(u,v):=(5·cos(u)·cos(v),5·cos(u)·sin(v),20+5·sin(u))

Vi kan òg bruke kommandoen "Kule(Punkt, Radius)" dersom vi kjenner sentrum og radiusen i kula. Ein annan variant av kommandoen er "Kule(Punkt, Punkt)" der det første punktet er sentrum i kula og det andre punktet ligg på kuleflata.