Skjering og vinkel mellom to plan

🤔 Tenk over: Korleis skjer to plan kvarandre? Eller sagt på ein meir matematisk måte: Korleis ser mengda av punkt som ligg i begge plana, ut?

To plan som skjer kvarandre, dannar ei skjeringslinje. Eller vi kan seie at når to plan skjer kvarandre, blir mengda av felles punkt ei rett linje. Derfor kan vi sjå på dei to likningane til to plan som skjer kvarandre som eit likningssett som definerer ei linje.

Dra og roter den interaktive figuren for å visualisere skjeringa mellom to plan.

Parameterframstilling for skjeringslinja

Vi ønsker å komme fram til ei parameterframstilling for skjeringslinja mellom dei to plana $\alpha$ og $\beta$ er gitt ved

$$\begin{gathered} \begin{array}{l}\alpha : 2x+3y+4z+4=0\\ \beta : 6x-7y-8z-4=0\end{array} \\ \end{gathered}$$

Ei likningsframstilling for skjeringslinja $l$ mellom dei to plana er då gitt ved likningssettet

$$ \left[\begin{array}{c}2x+3y+4z+4=0\\ 6x-7y-8z-4=0\end{array}\right]$$

🤔 Tenk over: Kva to ting treng vi for å finne ei parameterframstilling til ei linje?

Finne retningsvektor for skjeringslinja

Ein retningsvektor for skjeringslinja mellom to plan må vere parallell med begge plana. Retningsvektoren må derfor stå normalt på normalvektorane til begge plana.

🤔 Tenk over: Korleis kan vi finne ein vektor som står normalt på begge normalvektorane?

Vi løyser oppgåva utan hjelpemiddel. Vi har at

$$ \begin{array}{rcl}{\overrightarrow{n}}_{\alpha } & =& \left[2,3,4\right], {\overrightarrow{n}}_{\beta }=\left[6,-7,-8\right]\\ & & \\ {\overrightarrow{n}}_{\alpha }\times {\overrightarrow{n}}_{\beta } & =& \left[2,3,4\right]\times \left[6,-7,-8\right]\\ & =& \left[3·\left(-8\right)-\left(-7\right)·4,4·6-\left(-8\right)·2,2·\left(-7\right)-6·3\right]\\ & =& \left[-24+28,24+16,-14-18\right]\\ & =& \left[4,40,-32\right]\\ & =& 4\left[1,10,-8\right]\end{array}$$

Ein retningsvektor for skjeringslinja er derfor $$ {\overrightarrow{v}}_l=\left[1,10,-8\right]$$.

Finne eit punkt på skjeringslinja

Alle punkt som oppfyller begge planlikningane, ligg på skjeringslinja. Vi startar med å velje ein verdi for éin av koordinatane, til dømes $$ x=0$$. Når vi set det inn i dei to planlikningane, får vi eit likningssett med to ukjende ($$ y$$ og $$ z$$). Når vi løyser det, får vi det punktet på linja som har $$ x$$-koordinat lik 0.

Gjer vi dette, får vi likningssettet

$$ \left[\begin{array}{c}3y+4z+4=0\\ -7y-8z-4=0\end{array}\right]$$

Likningssettet har løysinga $$ y=4, z=-4$$. Det betyr at punktet $$ \left(0,4,-4\right)$$ ligg på skjeringslinja. Ei parameterframstilling for skjeringslinja er

$$ l:\left\{\begin{array}{l}x=t\\ y=4+10t\\ z=-4-8t\end{array}\right.$$

🤔 Tenk over: Kva hender dersom likningssettet ikkje har noka løysing?

Løysing med GeoGebra

Løysinga med GeoGebra følger same oppskrift som løysinga utan hjelpemiddel over der vi finn ein retningsvektor for skjeringslinja og eit punkt på denne linja.

Vinkelen mellom to plan blir det same som vinkelen mellom normalvektorane til plana. Vi kan forklare kvifor på denne måten:

Vi tenker oss at dei to plana er parallelle. Då må normalvektorane til dei to plana òg vere parallelle. Så vippar vi på det eine planet ein bestemd vinkel i forhold til det andre. Normalvektoren til dette planet må vippe akkurat like mykje.

🤔 Tenk over: Kva gjer vi dersom vinkelen mellom normalvektorane er større enn $$ \frac{\pi }{2}$$?