Plan i rommet

Eit plan er ei plan flate i rommet. Ein definisjon på eit plan er at når ei rett linje går gjennom to punkt i eit plan, vil alle punkt på linja ligge i planet.

Ein annan måte å definere eit plan på er at vektorar i alle punkt i planet som står normalt på planet, vil vere parallelle. Vektorane $$ \overrightarrow{m}$$ og $$ \overrightarrow{n}$$ på figuren nedanfor er to slike vektorar. Vi kallar ein slik vektor for ein normalvektor til planet.

Dersom vi har to rette, ikkje-parallelle linjer som ligg i planet, vil vektorproduktet til retningsvektorane til linjene vere ein normalvektor til planet.

Tidlegare har vi snakka om dei tre koordinatplana: $$ xy$$-planet, $$ xz$$-planet og $$ yz$$-planet.

🤔 Tenk over: Kva kan du seie om eit punkt i $$ xy$$-planet?

🤔 Tenk over: Kva kan du seie om vektorar som er parallelle med eller står normalt på $$ xy$$-planet?

Nedanfor har vi teikna eit vilkårleg plan i 3D-grafikkfeltet til GeoGebra. Punktet $$ A\left(1,1,2\right)$$ ligg i planet. Du kan dra i figuren for å rotere koordinatsystemet.

Som med koordinatplana er det mange retningar ein vektor kan ha som er parallelle med planet, men berre to retningar som står normalt på planet. Vi kan bruke det siste til å komme fram til likninga for planet.

La $\alpha$ vere eit plan i rommet. La vidare $$ Q\left(x_0,y_0,z_0\right)$$ vere eit fast punkt i planet og $$ \overrightarrow{n}=\left[a,b,c\right]$$ ein normalvektor til planet, det vil seie ein vektor som står normalt på planet.

For eit vilkårleg punkt $P\left(x, y, z\right)$ som ligg i planet, gjeld at $$ \overrightarrow{QP}\perp \overrightarrow{n}$$. Det gir oss

$$ \begin{array}{rcl} \overrightarrow{QP}·\overrightarrow{n}& = & 0\\ \left[x-x_0, y-y_0, z-z_0\right]·\left[a, b, c\right]& =& 0\\ a·\left(x-x_0\right)+b·\left(y-y_0\right)+c·\left(z-z_0\right)& =& 0\end{array}$$

Vi har fått ei likning som beskriv planet $\alpha$. Alle punkt $$ \left(x,y,z\right)$$ som tilfredsstiller likninga, ligg i planet.

🤔 Tenk over: Kva treng vi ut frå dette for å kunne komme fram til likninga for eit plan (planlikninga)?

Vi kan multiplisere ut parentesane og samle dei konstante ledda i likninga i éin konstant. Då får vi likninga for planet gitt på den mest vanlege forma:

$$ \begin{array}{rcl}& & \begin{array}{rcl}a·\left(x-x_0\right)+b·\left(y-y_0\right)+c·\left(z-z_0\right)& = & 0\\ ax-a{x}_0+by-b{y}_0+cz-c{z}_0& =& 0\\ ax+by+cz-a{x}_0-b{y}_0-c{z}_0& =& 0\\ ax+by+cz+d& =& 0\end{array}\\ & & \end{array}$$

Her har vi sett $$ d=-\left(a{x}_0+b{y}_0+c{z}_0\right)$$.

Døme

La $$ \overrightarrow{n}=\left[2,3,4\right]$$ vere ein normalvektor til planet $\beta$. Punktet $$ Q\left(1,2,3\right)$$ ligg i planet. La $$ P\left(x,y,z\right)$$ vere eit vilkårleg punkt i planet. Finn likninga for planet $$ \beta $$.

Vi set tala direkte inn i likninga for eit plan:

$$ \begin{array}{rcl}a·\left(x-x_0\right)+b·\left(y-y_0\right)+c·\left(z-z_0\right)& = & 0\\ 2\left(x-1\right)+3\left(y-2\right)+4\left(z-3\right)& =& 0\\ 2x-2+3y-6+4z-12& =& 0\\ 2x+3y+4z-20& =& 0\end{array}$$

Legg merke til at vi kan lese av koordinatane til normalvektoren $$ \overrightarrow{n}=\left[2,3,4\right]$$ ved å lese av tala framfor $$ x$$, $$ y$$ og $$ z$$ i likninga for $$ \beta $$.

🤔 Tenk over: Vi har at to punkt definerer ei linje. Kor mange punkt trengst for å definere eit plan, og kvifor?

Døme

Vi skal finne likninga for eit plan $\alpha$ som går gjennom punkta

$A(4, 0, 0), B(2, 3, 0)$ og $C(0, 0, 2)$

Utan hjelpemiddel må vi først finne ein normalvektor for planet.

Sidan $$ AB$$ og $$ AC$$ ligg i planet og $$ \overrightarrow{AB}$$ og $$ \overrightarrow{AC}$$ er retningsvektorar for linjene gjennom $$ A$$ og $$ B$$ og gjennom $$ A$$ og $$ C$$, vil $\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}$ vere ein normalvektor for planet.

$$ \begin{array}{rcl}\overrightarrow{AB}& = & \left[2-4,3-0,0-0\right]\\ & =& \left[-2,3,0\right]\\ & & \\ \overrightarrow{AC}& =& \left[0-4,0-0,2-0\right]\\ & =& [-4,0,2]\end{array}$$

Så må vi rekne ut vektorproduktet.

$$ \begin{array}{rcl}\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}& = & \left[-2,3,0\right]\times [-4,0,2]\\ & =& \left[3·2-0·0,0·\left(-4\right)-2·\left(-2\right),\left(-2\right)·0-\left(-4\right)·3\right]\\ & =& \left[6,4,12\right]\\ & =& 2[3,2,6]\end{array}$$

$$ \left[6,4,12\right]$$ og $$ \left[3,2,6\right]$$ er begge normalvektorar for planet $\alpha$. Då bruker vi den kortaste til å lage planlikninga.

Vi bruker så at likninga for eit plan kan skrivast som

$a·\left(x-x_0\right)+b·\left(y-y_0\right)+c·\left(z-z_0\right)=0$

Som punktet $$ \left(x_0,y_0,z_0\right)$$ kan vi bruke eit av dei tre punkta $A, B$ eller $C$. Vi vel her å bruke punktet $$ A(4,0,0)$$ og får

$$ \begin{array}{rcl}a·\left(x-x_0\right)+b·\left(y-y_0\right)+c·\left(z-z_0\right)& = & 0\\ 3\left(x-4\right)+2\left(y-0\right)+6\left(z-0\right)& =& 0\\ 3x+2y+6z-12& =& 0\end{array}$$

Her er det bra å ha for vane å kontrollere at alle dei tre punkta passar i planlikninga. Det er ikkje mykje arbeid og vil avsløre om noko har blitt feil.

Til dømes ser vi at $$ B(2,3,0)$$ passar i planlikninga fordi

$$ 3·2+2·3+6·0-12=6+6-12=0$$

Det er mest vanleg å beskrive eit plan med ei likning slik vi har gjort over, men vi kan òg lage ei parameterframstilling for planet.

La $A, B$ og $C$ vere tre punkt som ikkje ligg på den same rette linja i eit plan $\alpha$. La $P$ vere eit vilkårleg punkt i planet. Sjå figuren.

Vi lagar oss vektorane $$ \overrightarrow{AB}$$ og $$ \overrightarrow{AC}$$.

🤔 Tenk over: Kan vi uttrykke $$ \overrightarrow{AP}$$ ved hjelp av vektorane $$ \overrightarrow{AB}$$ og $$ \overrightarrow{AC}$$ og to parametrar $$ s$$ og $$ t$$?

Vi kan no finne eit uttrykk for $$ \overrightarrow{OP}$$.

$$ \begin{array}{rcl}\overrightarrow{OP}& = & \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AP}\\ & =& \overrightarrow{OA}+s·\overrightarrow{AB}+t·\overrightarrow{AC}\end{array}$$

Dette er veldig likt tilsvarande vektorlikning for ei linje. Likninga uttrykker at vi frå punktet $$ A$$ kan nå eit kva som helst punkt $$ P$$ i planet ved å gå $$ s$$ steg i retninga til $$ \overrightarrow{AB}$$ og $$ t$$ steg i retninga til $$ \overrightarrow{AC}$$. Likninga beskriv derfor planet $$ \alpha $$. Dersom vi set $$ A=\left(x_0,y_0,z_0\right), \overrightarrow{AB}=\left[a_1,b_1,c_1\right], \overrightarrow{AC}=\left[a_2,b_2,c_2\right]$$ og $$ \overrightarrow{OP}=\left[x,y,z\right]$$, kan vi skrive parameterframstillinga for planet $$ \alpha $$ som

$$ \alpha : \{\begin{array}{rcl}x& = & x_0+s{a}_1+t{a}_2\\ y& =& y_0+s{b}_1+t{b}_2\\ z& =& z_0+s{c}_1+t{c}_2\end{array}$$

ved å dele vektorlikninga opp i tre likningar, éi for kvar koordinat.

Døme

Vi skal utan hjelpemiddel finne ei parameterframstilling for eit plan $\alpha$ som går gjennom punkta

$A(4, 0, 0), B(2, 3, 0)$ og $C(0, 0, 2)$

Dette er det same planet som vi finn likninga til lenger oppe på sida, der vi har at

$$ \overrightarrow{AB}=\left[-2,3,0\right], \overrightarrow{AC}=\left[-4,0,2\right]$$

No kan vi anten gå vegen om vektorfunksjonen for planet eller gå rett på parameterframstillinga. Vi viser begge framgangsmåtane. Vektorfunksjonen for planet $$ \alpha $$ blir

$$ \begin{array}{rcl}\overrightarrow{OP} & =& \overrightarrow{OA}+s·\overrightarrow{AB}+t·\overrightarrow{AC}\\ & =& \left[4,0,0\right]+s\left[-2,3,0\right]+t\left[-4,0,2\right]\\ & =& \left[4-2s-4t,0+3s+0,0+0+2t\right]\\ & =& \left[4-2s-4t,3s,2t\right]\end{array}$$

Når vi har vektorfunksjonen, har vi samtidig parameterframstillinga, akkurat som for ei linje. Alternativt kan vi finne parameterframstillinga ved å setje rett inn i den generelle parameterframstillinga over.

$$\begin{gathered} \alpha : \{\begin{array}{rcl}x& = & x_0+s{a}_1+t{a}_2\\ y& =& y_0+s{b}_1+t{b}_2\\ z& =& z_0+s{c}_1+t{c}_2\end{array}= \{\begin{array}{rcl}x& = & 4+s·\left(-2\right)+t·\left(-4\right)\\ y& =& 0+s·3+t·0\\ z& =& 0+s·0+t·2\end{array} =\{\begin{array}{rcl}x& = & 4-2s-4t \\ y& =& 3s\\ z& =& 2t\end{array} \\ \end{gathered}$$

🤔 Tenk over: Kan vi finne to vektorar som er parallelle med planet direkte ut ifrå parameterframstillinga?

🤔 Tenk over: Korleis kan vi finne likninga for eit plan ut ifrå ei parameterframstilling for planet?

Plan ut ifrå planlikning

Dersom vi skriv ei planlikning inn i algebra- eller CAS-feltet, vil GeoGebra teikne planet. Vi skriv

α:3x+2y+6z-12=0

for å teikne planet $$ \alpha $$ i dømet over ut ifrå planlikninga.

Plan ut ifrå parameterframstilling

Vi kan skrive inn ein vektorfunksjon for planet $$ \alpha $$ i dømet som ein funksjon av både $$ s$$ og $$ t$$. I CAS skriv vi

α(s,t):=(4-2s-4t,3s,2t)

Plan ut ifrå punkt og normalvektor

Vi skriv først inn punktet og kallar det til dømes $$\begin{gathered} \\ \end{gathered}$$A. Så skriv vi inn normalvektoren og kallar han til dømes n. Kommandoen for å teikne planet $$ \alpha $$ i dømet over blir

α:Normalplan(A,n)

Plan ut ifrå tre punkt

Dersom vi går ut ifrå tre punkt, skriv vi først inn punkta og bruker kommandoen

α:Plan(A,B,C)

dersom punkta heiter $$ A, B$$ og $$ C$$.

Vi kan òg bruke verktøyknappen for eit plan ut ifrå tre punkt.

Ver merksam på at det finst ein kommando Plan(punkt,vektor,vektor) der planet blir laga ut frå eit punkt i planet og to vektorar som er parallelle med planet. Denne kommandoen fungerer berre i algebrafeltet. I CAS feiltolkar GeoGebra vektorane som punkt, og vi får eit heilt anna plan enn det vi ber om.

Legg merke til at i videoen blir kryssproduktet rekna ut på ein litt annan måte enn det vi bruker å gjere.