Oppgåve

Kuleflater

Bli betre kjend med kuleflater gjennom å løyse desse oppgåvene!

4.2.80

Finn radius og sentrum i desse kuleflatene.

a) $(x - 4)^{2} + (y - 3)^{2} + (z + 2)^{2} = 3^{2}$

Løysing

Her kan vi lese radius og sentrum rett ut frå likninga.

Sentrum i kuleflata er $(4, 3, - 2)$ , og radiusen er 3.

b) $x^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 4)^{2} = 17$

Løysing

Sentrum i kuleflata er $(0, 1, 4)$ , og radiusen er $\sqrt{17}$ .

c) $x^{2} - 8 x + y^{2} + 4 y + z^{2} - 2 z + 16 = 0$

Løysing

Her må vi først fullføre kvadrata for å sjå kva koordinatane til sentrum og radiusen er.

$\begin{array}{rcl} x^{2} - 8 x + y^{2} + 4 y + z^{2} - 2 z + 16 & = & 0 \\ x^{2} - 8 x + 16 + y^{2} + 4 y + 4 + z^{2} - 2 z + 1 - 16 - 4 - 1 & = & - 16 \\ {(x - 4)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z - 1)}^{2} & = & 5 \end{array}$

Sentrum i kuleflata er $(4, - 2, 1)$ , og radiusen er $\sqrt{5}$ .

d) $x^{2} + 14 x + y^{2} - 4 y + z^{2} + 6 z + 46 = 0$

Løysing

$\begin{array}{rcl} x^{2} + 14 x + y^{2} - 4 y + z^{2} + 6 z + 46 & = & 0 \\ x^{2} + 14 x + 49 + y^{2} - 4 y + 4 + z^{2} + 6 z + 9 - 49 - 4 - 9 & = & - 46 \\ {(x + 7)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z + 3)}^{2} & = & 16 \end{array}$

Sentrum i kuleflata er $(- 7, 2, - 3)$ , og radiusen er $\sqrt{16} = 4$ .

4.2.81

Finn likningsframstillinga til desse kuleflatene.

a) Kula har radius 5 og sentrum i $(2, - \frac{3}{2}, 3)$ .

Løysing

Ei likningsframstilling for kuleflata er

${(x - 2)}^{2} + {(y + \frac{3}{2})}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 5^{2} = 25$

b) Kula har radius $\sqrt{5}$ og sentrum i $(0, - 2, 5)$ .

Løysing

Ei likningsframstilling for kuleflata er

$x^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z - 5)}^{2} = {\sqrt{5}}^{2} = 5$

4.2.82

Undersøk om desse likningane representerer kuleflater, og finn i så tilfelle sentrum og radius i kulene.

a) $(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} + (z - 6)^{2} = 36$

Løysing

Vi minner om at for at ei likning skal kunne representere ei kuleflate, må likninga kunne skrivast på forma

${(x - x_{0})}^{2} + {(y - y_{0})}^{2} + {(z - z_{0})}^{2} = r^{2}$

der radiusen i kula er $r$ og sentrum ligg i punktet $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ . Likninga i oppgåva er på forma til den generelle likninga, så kuleflata har sentrum i $(1, - 2, 6)$ og radius $\sqrt{36} = 6$ .

b) $x^{2} + 4 x + y^{2} - 2 y + z^{2} - 8 z + 17 = 0$

Løysing

Vi lagar fullstendige kvadrat.

$\begin{array}{rcl} x^{2} + 4 x + y^{2} - 2 y + z^{2} - 8 z + 17 & = & 0 \\ x^{2} + 4 x + 4 + y^{2} - 2 y + 1 + z^{2} - 8 z + 16 - 4 - 1 - 16 & = & - 17 \\ {(x + 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 4)}^{2} & = & 4 \end{array}$

Denne likninga er på forma til den generelle likninga for ei kuleflate. Kuleflata har sentrum i $(- 2, 1, 4)$ og radius $\sqrt{4} = 2$ .

c) $3 x^{2} - 6 x + 3 y^{2} + 18 y + 3 z^{2} - 24 z = - 45$

Løysing

Sidan den generelle likninga for ei kuleflate ikkje har koeffisientar framfor kvadrata, startar vi med å dele likninga på 3 før vi bruker metoden med fullstendige kvadrat.

$\begin{array}{l} \begin{array}{rcl} 3 x^{2} - 6 x + 3 y^{2} + 18 y + 3 z^{2} - 24 z & = & - 51 \\ x^{2} - 2 x + y^{2} + 6 y + z^{2} - 8 z & = & - 17 \\ x^{2} - 2 x + 1 - 1 \\ + y^{2} + 6 y + 9 - 9 \\ + z^{2} - 8 z + 16 - 16 & = & - 17 \\ {(x - 1)}^{2} + {(y + 3)}^{2} + {(z - 4)}^{2} - 26 & = & - 17 \\ {(x - 1)}^{2} + {(y + 3)}^{2} + {(z - 4)}^{2} & = & 9 \end{array} \end{array}$

Denne likninga er på forma til den generelle likninga for ei kuleflate. Kuleflata har sentrum i $(1, - 3, 4)$ og radius $\sqrt{9} = 3$ .

d) $2 x^{2} - 16 x + 2 y^{2} + 4 y + 2 z^{2} - 6 z = - 62$

Løysing

Sidan den generelle likninga for ei kuleflate ikkje har koeffisientar framfor kvadrata, startar vi med å dele likninga på 2 før vi bruker metoden med fullstendige kvadrat.

$\begin{array}{rcl} \begin{array}{rcl} 2 x^{2} - 16 x + 2 y^{2} + 4 y + 2 z^{2} - 6 z & = & - 62 \\ x^{2} - 8 x + y^{2} + 2 y + z^{2} - 3 z & = & - 31 \\ x^{2} - 8 x + 16 - 16 \\ + y^{2} + 2 y + 1 - 1 \\ + z^{2} - 3 z + \frac{9}{4} - \frac{9}{4} & = & - 31 \\ {(x - 4)}^{2} + {(y + 1)}^{2} + {(z - 3)}^{2} - 17 - \frac{9}{4} & = & - 31 \\ {(x - 4)}^{2} + {(y + 1)}^{2} + {(z - 3)}^{2} & = & - \frac{104}{4} + \frac{68}{4} + \frac{9}{4} \\ = & - \frac{27}{4} \end{array} \end{array}$

Vi treng ikkje rekne meir for å sjå at når vi trekker saman tala, vil talet på høgre side bli negativt. Då kan vi ikkje rekne ut nokon radius, og likninga kan ikkje representere ei kuleflate.

Kommentar: Likninga inneheld ein sum av tre kvadrat på venstre side. Desse kan aldri bli negative, så likninga har ingen løysingar. Det finst ingen punkt som tilfredsstiller likninga.

e) $x^{2} - 4 x + y + z^{2} + 10 z = 7$

Løysing

Likninga inneheld ikkje noko ledd av typen $y^{2}$ . Då kan ikkje dette vere likninga for ei kuleflate. (Prøv å skrive inn likninga og sjå korleis flata ser ut!)

f) $2 x^{2} - 2 x + 3 y^{2} + 2 y + z^{2} - 6 z = 4$

Løysing

I den generelle likninga for kuleflater har andregradsledda ingen koeffisientar. Her har vi ulike koeffisientar framfor andregradsledda, noko som betyr at vi ikkje kan få forkorta bort desse. Då har vi inga kuleflate.

g) $\frac{1}{2} x^{2} + x + \frac{1}{2} y^{2} - 7 y + \frac{1}{2} z^{2} - 5 z = - \frac{75}{2}$

Løysing

Vi startar med å multiplisere likninga med 2 før vi bruker metoden med fullstendige kvadrat.

$\begin{array}{l} \begin{array}{rcl} \frac{1}{2} x^{2} + x + \frac{1}{2} y^{2} - 7 y + \frac{1}{2} z^{2} - 5 z & = & - \frac{75}{2} \\ x^{2} + 2 x + y^{2} - 14 y + z^{2} - 10 z & = & - 75 \\ x^{2} + 2 x + 1 - 1 \\ + y^{2} - 14 y + 49 - 49 \\ + z^{2} - 10 z + 25 - 25 & = & - 75 \\ {(x + 1)}^{2} + {(y - 7)}^{2} + {(z - 5)}^{2} - 75 & = & - 75 \\ {(x + 1)}^{2} + {(y - 7)}^{2} + {(z - 5)}^{2} & = & 0 \end{array} \end{array}$

Dette kan ikkje vere likningane til ei kuleflate sidan vi får 0 på høgre side av likninga når vi samlar konstantledda der. Likninga er berre oppfylt for punktet $(- 1, 7, 5)$ .

4.2.83

Bruk CAS til å undersøke om kuleflata gitt ved likninga $(x + 1)^{2} + (y - 3)^{2} + z^{2} = 3^{2}$ og planet gitt ved likninga $2 x + 3 y + 4 z - 20 = 0$ skjer kvarandre.

Løysing

Dersom avstanden frå sentrum i kula til planet er mindre enn eller lik radiusen til kula, vil planet skjere kula.

Vi finn denne avstanden med CAS.

Skjermutklipp frå CAS-feltet i GeoGebra. På linje 1 er S definert med koordinatane minus 1, 3 og 0. På linje 2 er beta definert som 2 x pluss 3 y pluss 4 z minus 20 er lik 0. På linje 3 er kommandoen Avstand med argumenta S og beta rekna ut med tilnærming til 2,414. Skjermutklipp. — Bilete: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Avstanden mellom sentrum i kula og planet $β$ er 2,41. Kula har radius 3, så planet vil skjere kula.

Alternativ løysing:

I staden for å skrive inn likninga for kuleflata, kan vi skrive inn koordinatane til sentrum i kuleflata.

Kommentar: Vi kan bruke kommandoen Sentrum(kf) til å finne sentrum i kula, men den fungerer ikkje i CAS, berre i algebrafeltet.

4.2.84

Vi har gitt kuleflata $(x + 1)^{2} + (y - 3)^{2} + z^{2} = 3^{2}$ .

a) Undersøk utan hjelpemiddel om kuleflata skjer nokon av koordinataksane, og finn eventuelle skjeringspunkt.

Løysing

Eit eventuelt skjeringspunkt med $x$ -aksen må ha $y$ - og $z$ - koordinatar lik null. Dette gir

$\begin{array}{rcl} (x + 1)^{2} + (0 - 3)^{2} + 0^{2} & = & 3^{2} \\ (x + 1)^{2} + 9 & = & 9 \\ (x + 1)^{2} & = & 0 \\ x + 1 & = & 0 \\ x & = & - 1 \end{array}$

Skjeringspunktet med $x$ -aksen har koordinatane $(- 1, 0, 0)$ .

Eit eventuelt skjeringspunkt med $y$ -aksen må ha $x$ - og $z$ - koordinatar lik null. Dette gir

$\begin{array}{rcl} (0 + 1)^{2} + (y - 3)^{2} + 0^{2} & = & 3^{2} \\ 1 + (y - 3)^{2} & = & 9 \\ (y - 3)^{2} & = & 8 \\ y - 3 & = & \sqrt{8} \lor y - 3 = - \sqrt{8} \\ y & = & 3 + \sqrt{8} \lor y = 3 - \sqrt{8} \end{array}$

Skjeringspunkta med $x$ -aksen har koordinatane $(0, 3 - 2 \sqrt{2}, 0)$ og $(0, 3 + 2 \sqrt{2}, 0)$ .

Eit eventuelt skjeringspunkt med $z$ -aksen må ha $x$ - og $y$ -koordinatar lik null. Dette gir

$\begin{array}{rcl} (0 + 1)^{2} + (0 - 3)^{2} + z^{2} & = & 3^{2} \\ 1 + 9 + z^{2} & = & 9 \\ z^{2} & = & - 1 \end{array}$

Vi får inga løysing, så kula har ingen skjeringspunkt med $z$ -aksen.

b) Finn ut kor mange punkt med heiltalige koordinatar som ligg på kuleflata.

Løysing

I oppgåve a) fann vi eitt slik punkt på kuleflata. Den generelle metoden blir prøving og feiling med punkt med heiltalige koordinatar til vi finn eit punkt som passar i likninga.

Vi kan lage eit program som går gjennom alle aktuelle punkt med heiltalige koordinatar og testar om punkta passar i likninga. Sidan kula har sentrum i $S (- 1, 3, 0)$ og radiusen er 3, kan ikkje punkt på kuleflata ha koordinatar med absoluttverdi større enn $3 + 3 = 6$ . Vi lar derfor programmet teste med koordinatar i intervallet $[- 6, 6]$ og bruker ein teljevariabel til å telje talet på punkt som ligg på kuleflata.

Forslag til programkode:

python

1n = 0          # set ein teljevariabel lik 0
2
3for x in range(-6,7):
4  for y in range(-6,7):
5    for z in range(-6,7):
6      if (x+1)**2 + (y-3)**2 + z**2 == 9:
7        n = n + 1       # aukar teljevariabelen med 1 når
8                        # punktet ligg på kuleflata
9print(f"Det er {n} punkt med heiltalige koordinatar på kuleflata.")

Det er 30 punkt med heiltalige koordinatar på kuleflata.

c) Punktet $A (- 1, 0, 0)$ ligg på kuleflata. Kva er koordinatane til punktet $B$ som ligg på motsett side av kuleflata, det vil seie lengst borte frå $A$ ? Løys oppgåva utan hjelpemiddel.

Løysing

Sentrum $S (- 1, 3, 0)$ i kula må ligge midt på linjestykket $A B$ . Dette gir

$\vec{A B} = 2 \cdot \vec{A S} = 2 [- 1 - (- 1), 3 - 0, 0 - 0] = 2 [0, 3, 0] = [0, 6, 0]$

Dersom vi set $B = (x, y, z)$ , får vi dessutan

$\vec{A B} = [x - (- 1), y - 0, z - 0] = [x + 1, y, z]$

For at vektorane skal vere like, må koordinatane vere like. Dette gir

$x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = - 1$
$\begin{array}{rcl} y & = & 6 \\ z & = & 0 \end{array}$

Punktet $B$ har koordinatane $(- 1, 6, 0)$ .

d) Ligg punktet $C (1, 0, 1)$ inne i kula, på kuleflata eller utanfor kula? Løys oppgåva utan hjelpemiddel.

Løysing

For å undersøke om eit gitt punkt ligg inne i kula, på kuleflata eller utanfor kula, reknar vi ut avstanden frå sentrum i kula til punktet. Dersom avstanden er mindre enn radius, ligg punktet inne i kula. Dersom avstanden er lik radius, ligg punktet på kuleflata, og dersom avstanden er større enn radius, ligg punktet utanfor kula.

Vi reknar ut lengda av vektoren frå $C$ til $S$ .

$\vec{C S} = [- 1 - 1, 3 - 0, 0 - 1] = [- 2, 3, - 1]$

$|\vec{C S}| = \sqrt{{(- 2)}^{2} + 3^{2} + {(- 1)}^{2}} = \sqrt{4 + 9 + 1} = \sqrt{14} > 3$

Punktet $C (1, 0, 1)$ ligg utanfor kula.

e) Finn utan hjelpemiddel likninga for planet $α$ som tangerer kula i punktet $P (1, 1, 1)$ .

Løysing

Planet (tangentplanet) vil stå normalt på vektoren frå sentrum til $P$ . Det betyr at ein normalvektor ${\vec{n}}_{α}$ til planet er

${\vec{n}}_{α} = \vec{S P} = [1 - (- 1), 1 - 3, 1 - 0] = [2, - 2, 1]$

Punktet $P$ ligg i planet. Den generelle planlikninga gir oss likninga for $α$ :

$\begin{array}{rcl} a \cdot (x - x_{0}) + b \cdot (y - y_{0}) + c \cdot (z - z_{0}) & = & 0 \\ 2 (x - 1) - 2 (y - 1) + (z - 1) & = & 0 \\ 2 x - 2 - 2 y + 2 + z - 1 & = & 0 \\ 2 x - 2 y + z - 1 & = & 0 \end{array}$

f) Løys oppgåva utan hjelpemiddel og kontroller svaret med CAS.

Finn koordinatane til punktet $Q (x, y, 2)$ på kuleflata når planet $β$ som tangerer kuleflata i $Q$ , står normalt på planet $α$ .

Løysing

Vektoren $\vec{S Q}$ frå sentrum til $Q$ vil vere ein normalvektor til $β$ .

$\vec{S Q} = [x - (- 1), y - 3, 2 - 0] = [x + 1, y - 3, 2]$

Normalvektoren til planet må stå normalt på normalvektoren ${\vec{n}}_{α}$ til planet $α$ sidan plana skal stå normalt på kvarandre. Då må skalarproduktet mellom normalvektorane vere 0.

$\begin{array}{rcl} \vec{S Q} \cdot {\vec{n}}_{α} & = & 0 \\ [x + 1, y - 3, 2] \cdot [2, - 2, 1] 0 & = & 0 \\ (x + 1) \cdot 2 + (y - 3) \cdot (- 2) + 2 \cdot 1 & = & 0 \\ 2 x + 2 - 2 y + 6 + 2 & = & 0 \\ 2 x - 2 y & = & - 10 \\ x & = & y - 5 \end{array}$

I tillegg veit vi at

$\begin{array}{rcl} |\vec{S Q}| & = & 3 \\ \sqrt{{(x + 1)}^{2} + {(y - 3)}^{2} + 2^{2}} & = & 3 \\ {(x + 1)}^{2} + {(y - 3)}^{2} + 2^{2} & = & 9 \end{array}$

Vi set inn $x = y - 5$ .

$\begin{array}{rcl} {(y - 5 + 1)}^{2} + {(y - 3)}^{2} + 2^{2} & = & 9 \\ {(y - 4)}^{2} + {(y - 3)}^{2} + 4 & = & 9 \\ y^{2} - 8 y + 16 + y^{2} - 6 y + 9 + 4 & = & 9 \\ 2 y^{2} - 14 y + 20 & = & 0 \\ y^{2} - 7 y + 10 & = & 0 \\ (y - 5) (y - 2) & = & 0 \\ y & = & 5 \lor y = 2 \end{array}$

Dette gir

$x = 5 - 5 = 0 \lor x = 2 - 5 = - 3$

Vi får

$Q = (0, 5, 2) \lor Q = (- 3, 2, 2)$

Med CAS kan vi løyse det på denne måten:

Skjermutklipp frå CAS-vindauget i GeoGebra. På linje 1 er S definert med koordinatane minus 1, 3 og 0. På linje 2 er alfa definert som 2 x minus 2 y pluss z minus 1 er lik 0. På linje 3 er S Q definert som Vektor med argumenta S og punktet med koordinatane x, y og 2. Svaret er S Q kolon er lik koordinatane x pluss 1, y minus 3 og 2. På linje 4 er Normalvektor med argumentet alfa multiplisert med S Q og sett lik 0. Svaret er 2 x minus 2 y pluss 10 er lik 0. På linje 5 er Lengde med argumentet S Q sett lik 3. Svaret er rota av parentes x pluss 1 parentes slutt i andre pluss parentes y minus 3 parentes slutt i andre pluss 4 rotteikn slutt er lik 3. På linje 6 er det skrive sløyfeparentes dollarteikn 4 komma, dollarteikn 5 sløyfeparentes slutt. Svaret med Løys er x er lik 0 og y er lik 5 eller x er lik minus 3 og y er lik 2. Skjermutklipp. — Bilete: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

g) Ei linje $l$ gitt ved parameterframstillinga

$l : \{\begin{cases} x = - 4 + 2 t \\ y = 1 + t \\ z = - 2 - 2 t \end{cases}$

Undersøk om linja skjer kuleflata, og finn eventuelle skjeringspunkt. Løys oppgåva utan hjelpemiddel.

Løysing

Dersom linja skjer kuleflata, må det finnast verdiar for $t$ som gjer at koordinatane for linja passar i likninga for kuleflata. Då gjer vi som vi gjer når vi skal finne skjeringspunktet mellom ei linje og eit plan: Vi set parameterframstillinga for linja inn i planlikninga.

$\begin{array}{rcl} (x + 1)^{2} + (y - 3)^{2} + z^{2} & = & 3^{2} \\ (- 4 + 2 t + 1)^{2} + (1 + t - 3)^{2} + {(- 2 - 2 t)}^{2} & = & 9 \\ (2 t - 3)^{2} + (t - 2)^{2} + {(- 2 - 2 t)}^{2} & = & 9 \\ 4 t^{2} - 12 t + 9 + t^{2} - 4 t + 4 + 4 + 8 t + 4 t^{2} & = & 9 \\ 9 t^{2} - 8 t + 17 & = & 9 \\ 9 t^{2} - 8 t + 8 & = & 0 \end{array}$

$t = \frac{- (- 8) \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 9 \cdot 8}}{2 \cdot 9} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 72}}{18}$

Vi får negativt tal under rotteiknet. Likninga har ingen reelle løysingar, derfor skjer ikkje linja $l$ kuleflata.

h) Finn ei parameterframstilling for linja $m$ som tangerer kuleflata i punktet $(0, 5, 2)$ , og som står normalt på planet $α$ .

Løysing

Normalvektoren ${\vec{n}}_{α}$ til planet vil vere ein retningsvektor ${\vec{v}}_{m}$ for linja.

${\vec{v}}_{m} = {\vec{n}}_{α} = [2, - 2, 1]$

Ei parameterframstilling for $m$ blir derfor

$m : \{\begin{cases} x = 2 t \\ y = 5 - 2 t \\ z = 2 + t \end{cases}$

i) Finn likninga for skjeringskurva mellom kuleflata og planet $z = 2$ . Kva slags kurve får vi? Lag ei parameterframstilling for kurva.

Tips til oppgåva

Med skjeringskurve mellom to objekt meiner vi mengda av punkt som ligg på begge objekta.

Løysing

Ei likningsframstilling av skjeringskurva er

$(x + 1)^{2} + (y - 3)^{2} + z^{2} = 3^{2} \land z = 2$

Vi set $z = 2$ inn i kuleflatelikninga.

$\begin{array}{rcl} (x + 1)^{2} + (y - 3)^{2} + 2^{2} & = & 9 \land z = 2 \\ (x + 1)^{2} + (y - 3)^{2} & = & 5 \land z = 2 \end{array}$

Dette er likningsframstillinga for ein sirkel med radius $\sqrt{5}$ og sentrum i $(- 1, 3, 2)$ . Legg merke til at vi må ha med oss " $\begin{array}{rcl} \land z & = & 2 \end{array}$ ", elles veit vi ikkje kvar i det tredimensjonale koordinatsystemet sirkelen ligg.

Ein sirkel i to dimensjonar med radius $\sqrt{5}$ og sentrum i origo har parameterframstillinga

$k : \{\begin{cases} x = \sqrt{5} \cos t \\ y = \sqrt{5} \sin t \end{cases}$

Flyttar vi sirkelen, må vi legge til koordinatane til sentrum. Totalt gir dette følgande parameterframstilling for skjeringssirkelen:

$k : \{\begin{cases} x = - 1 + \sqrt{5} \cos t \\ y = 3 + \sqrt{5} \sin t \\ z = 2 \end{cases}$

4.2.85

(Basert på oppgåve 8 del 2 eksamen R2 våren 2012)

I eit koordinatsystem er det gitt eit plan

$α : 2 x - 2 y + z + 2 = 0$

Punkta $A (0, 0, 4), B (2, 0, 0)$ og $C (1, 1, 4)$ ligg i eit anna plan $β$ .

a) Bestem likninga til $β$ og forklar at $α ∥ β$ .

Løysing

Vi vel å bruke CAS.

Skjermutklipp frå CAS-vindauget i GeoGebra. På linje 1 er alfa definert som 2 x minus 2 y pluss z pluss 2 er lik 0. På linje 2 er A definert med koordinatane 0, 0 og 4. På linje 3 er B definert med koordinatane 2, 0 og 0. På linje 4 er C definert med koordinatane 1, 1 og 4. På linje 5 er beta definert med kommandoen Plan med argumenta A, B og C. Svaret er beta kolon x multiplisert med 4 pluss y multiplisert med minus 4 pluss z multiplisert med 2 er lik 8. På linje 6 er Normalvektor av beta delt på Normalvektor av alfa rekna ut til koordinatane 2, 2 og 2. Skjermutklipp. — Bilete: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Her har vi brukt CAS til "alt". Vi får i linje 5 at likninga til planet $β$ er $4 x - 4 y + 2 z = 8$ .

I linje 6 har vi delt normalvektorane på kvarandre. GeoGebra tolkar dette som at $x$ -koordinatane skal delast på kvarandre, $y$ - og $z$ -koordinatane òg. Sidan resultatet blir ein vektor med like koordinatar, veit vi at ${\vec{n}}_{α} = k \cdot {\vec{n}}_{β}$ , som betyr at normalvektorane, og dermed plana $α$ og $β$ , er parallelle. Hugs likevel at vi matematisk ikkje kan dele to vektorar på kvarandre sidan divisjon med to vektorar ikkje er definert!

Alternativ løysing for linje 6: Vi kan finne vinkelen direkte mellom dei to plana med kommandoen Vinkel(α,β).

b) Finn avstanden mellom plana $α$ og $β$ .

Løysing

Skjermutklipp frå CAS-vindauget i GeoGebra. På linje 8 er Avstand med argumenta A og alfa rekna ut til 2. Skjermutklipp. — Bilete: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Vi får at avstanden mellom plana er 2.

Plana $α$ og $β$ er begge tangentplan til ei kule. Sentrum $S$ i kula og dei to tangeringspunkta $D$ og $E$ ligg på ei rett linje $l$ gjennom punktet $P (5, - 1, 4)$ , sjå figuren nedanfor.

Skisse som viser ein sirkel med sentrum i punktet S. To linjer alfa og beta er parallelle og tangerer sirkelen på kvar si side i punkta D og E. Ei linje l går gjennom punkta D, S og E i tillegg til punktet P som ligg utanfor sirkelen. Illustrasjon. — Tverrsnitt av kule og plan. Bilete: Utdanningsdirektoratet / CC BY-SA 4.0

c) Set opp ei parameterframstilling for $l$ .

Løysing

Linja $l$ går gjennom begge tangeringspunkta. Det betyr at linja står vinkelrett på begge plana. Retningsvektoren til $l$ er då lik normalvektoren til plana. I tillegg veit vi koordinatane til punktet $P$ som linja går gjennom.

Ei parameterframstilling for linja $l$ blir dermed

$l : \{\begin{cases} x = 5 + 2 t \\ y = - 1 - 2 t \\ z = 4 + t \end{cases}$

d) Bestem koordinatane til $D$ og $E$ .

Løysing

Sidan $D$ og $E$ er skjeringspunkta mellom $l$ og $α$ og mellom $l$ og $β$ , er det desse vi må finne.

Med CAS kan vi skrive inn linja som ein vektorfunksjon og setje koordinatane til vektorfunksjonen inn i dei to planlikningane for å finne dei to $t$ -verdiane som gir $D$ og $E$ .

Skjermutklipp frå CAS-vindauget i GeoGebra. På linje 8 er r av t definert med koordinatane 5 pluss 2 t, minus 1 minus 2 t og 4 pluss t. På linje 9 er det skrive 2 x av r av t minus 2 y av r av t pluss z av r av t pluss 2 er lik 0. Svaret med Løys er t er lik minus 2. På linje 10 er det skrive 2 x av r av t minus 2 y av r av t pluss z av r av t minus 4 er lik 0. Svaret med Løys er t er lik minus 4 tredjedelar. På linje 11 er D definert som r av minus 2. Svaret er D kolon er lik koordinatane 1, 3 og 2. På linje 12 er E definert som r av minus 4 tredjedelar. Svaret er E kolon er lik koordinatane 7 tredjedelar, 5 tredjedelar og 8 tredjedelar. Skjermutklipp. — Bilete: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

e) Bestem likninga til kula.

Løysing

Frå oppgåve b) veit vi at avstanden mellom plana er 2. Det må òg vere diameteren i kula. Radiusen er derfor 1. Sentrum $S$ i kula må vere midtpunktet på $D E$ .

Skjermutklipp frå CAS-feltet i GeoGebra. På linje 13 er S definert som D halve pluss E halve. Svaret er S kolon er lik koordinatane 5 tredjedelar, 7 tredjedelar og 7 tredjedelar. Skjermutklipp. — Bilete: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Sidan radiusen i andre blir lik 1, blir likninga for kula derfor

$\begin{array}{rcl} {(x - \frac{5}{3})}^{2} + {(y - \frac{7}{3})}^{2} + {(z - \frac{7}{3})}^{2} & = & 1 \end{array}$

Oppgåver med parameterframstilling av kuleflate

4.2.86

Finn radius og sentrum i desse kuleflatene.

a)
${\begin{array}{lcl} x & = & 3 + 2 \cos u \cos v \\ y & = & 2 + 2 \cos u \sin v \\ z & = & - 1 + 2 \sin u \end{array}$

Løysing

Her kan vi lese radius og sentrum rett ut frå parameterframstillinga.

Sentrum i kuleflata er $(3, 2, - 1)$ , og radiusen er 2.

b)
${\begin{array}{lcl} x & = & \frac{1}{2} + \sqrt{3} \cos u \cos v \\ y & = & \sqrt{3} \cos u \sin v \\ z & = & - 1 + \sqrt{3} \sin u \end{array}$

Løysing

Sentrum i kuleflata er $(\frac{1}{2}, 0, - 1)$ , og radiusen er $\sqrt{3}$ .

4.2.87

Finn ei parameterframstilling til desse kuleflatene.

a) Kula har radius 5 og sentrum i $(2, - \frac{3}{2}, 3)$ .

Løysing

Ei parameterframstilling for kuleflata er

${\begin{array}{lcl} x & = & 2 + 5 \cos u \cos v \\ y & = & - \frac{3}{2} + 5 \cos u \sin v \\ z & = & 3 + 5 \sin u \end{array}$

b) Kula har radius $\sqrt{5}$ og sentrum i $(0, - 2, 5)$ .

Løysing

Ei parameterframstilling for kuleflata er

${\begin{array}{lcl} x & = & \sqrt{5} \cos u \cos v \\ y & = & - 2 + \sqrt{5} \cos u \sin v \\ z & = & 5 + \sqrt{5} \sin u \end{array}$

c) Kuleflata har likninga $\begin{array}{rcl} {(x - \frac{5}{3})}^{2} + {(y - \frac{7}{3})}^{2} + {(z - \frac{7}{3})}^{2} & = & 1 \end{array}$ .

Løysing

Frå likninga får vi at sentrum i kuleflata er punktet $(\frac{5}{3}, \frac{7}{3}, \frac{7}{3})$ , og at radiusen er 1. Då er ei parameterframstilling for kuleflata

$\{\begin{cases} \begin{array}{l} x = \frac{5}{3} + \cos u \cos v \\ y = \frac{7}{3} + \cos u \sin v \\ z = \frac{7}{3} + \sin u \end{array} \end{cases}$

4.2.88

Illustrasjon som viser jorda i form av ei kule der ein sektor er skoren ut inn til sentrum. Ekvator er markert. Loddrette lengdesirklar og vassrette breiddesirklar er teikna inn. Eit punkt på kuleflata er markert og angitt med ein vassrett vinkel u og ein loddrett vinkel v. Illustrasjon. — Bilete: Geek3 / CC BY 4.0

Jordkloden

Vi kan sjå på jordkloden som ei kule der ekvator ligg i $x y$ -planet og $z$ -aksen går gjennom Nordpolen og Sørpolen, sjå figuren. Ved hjelp av parameterframstillinga av kuleflater på teorisida kan vi angi posisjonen på jordoverflata med vinklane $u$ og $v$ som vist på figuren.

a) Skriv opp parameterframstillinga med vinklane $u$ og $v$ for jordoverflata når vi set radiusen til jorda lik 6 400 km.

Løysing

Sidan origo er i sentrum av kula, får vi

$\{\begin{cases} \begin{array}{l} x = 6 400 \cdot \cos u \cdot \cos v \\ y = 6 400 \cdot \cos u \cdot \sin v \\ z = 6 400 \cdot \sin u \end{array} \end{cases}$

Breiddegrad, vinkel u

For alle stader langs ekvator er vinkel $u = 0$ . På den nordlege halvkula er $u$ positiv, og på den sørlege halvkula er $u$ negativ. Vinkelen har verdiar frå minus 90 gradar til pluss 90 gradar. For Nordpolen er $u$ lik 90 gradar, og på Sørpolen er $u$ lik minus 90 gradar. Alle stader på kloden som har same $u$ -verdi, ligg på ein sirkel parallelt med ekvator. Vi seier at desse stadene har same breiddegrad.

Lengdegrad, vinkel v

Ekvator var eit naturleg nullpunkt for vinkel $u$ , men vi har ikkje eit tilsvarande naturleg nullpunkt for vinkel $v$ . I 1884 vart det internasjonal einigheit om at $x$ -aksen i koordinatsystemet skulle leggast slik at Greenwich i London vart liggande i $x z$ -planet.

Alle stader på kloden som ligg på ein halvsirkel gjennom Sørpolen, Greenwich og Nordpolen, har då vinkel $v = 0$ . Denne sirkelen kallar vi for nullmeridianen, og stader på nullmeridianen seier vi har lengdegrad null. Stader aust for nullmeridianen har lengdegrad frå null til 180 gradar, og stader vest for nullmeridianen har lengdegrad frå null til minus 180 gradar.

Avstanden mellom stader på kloden

Ein vinkel med radius og bogelengde. Illustrasjon. — Bogelengde. Bilete: Olav Kristensen / CC BY-SA 4.0

Vi kan bruke parameterframstillinga til å finne avstanden i luftlinje mellom til dømes Kirkenes og Bergen.

b) Kva meiner vi eigentleg med "avstand i luftlinje" mellom to stader $A$ og $B$ på jordoverflata? Sjå figuren.

Løysing

Med avstand i luftlinje meiner vi den kortaste avstanden mellom to stader langs jordoverflata. Den kortaste avstanden mellom $A$ og $B$ blir derfor ein sirkelboge.

c) Kirkenes ligg på breiddegrad 69,73° og lengdegrad 30,05°, og Bergen ligg på breiddegrad 60,39° og lengdegrad 5,32°.

Rekn ut posisjonane $(x, y, z)$ til Kirkenes og Bergen.

Løysing

Vi bruker parameterframstillinga i a) og reknar i CAS.

Skjermutklipp frå CAS-vindauget i GeoGebra. På linje 1 er r av u og v definert med koordinatane 6400 cos u multiplisert med cos v, 6400 cos u multiplisert med sin v og 6400 sin u. På linje 2 er Kirkenes definert som r av 69,73 gradar og 30,05 gradar. Svaret med tilnærming er Kirkenes kolon er lik koordinatane 1919,22, 1110,3 og 6003,65. På linje 3 er Bergen definert som r av 60,39 gradar og 5,32 gradar. Svaret med tilnærming er Kirkenes kolon er lik koordinatane 3148,58, 293,19 og 5564,22. Skjermutklipp. — Bilete: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

d) Rekn ut avstanden i luftlinje mellom Kirkenes og Bergen.

Tips til oppgåva

Bruk definisjonen på ein vinkel målt i radianar. Sjå eventuelt teorisida "Radianar – absolutt vinkelmål".

Løysing

Ein vinkel $θ$ målt i radianar er definert som

$θ = \frac{b}{r}$

der $b$ er bogelengda som spenner over vinkelen i ein sirkel med radius $r$ .

Vi ønsker dermed å finne $b = θ r$ . Det kan vi gjere ved å bruke GeoGebra til å finne vinkelen mellom Kirkenes og Bergen med origo som toppunkt.

Skjermutklipp frå CAS-vindauget i GeoGebra. På linje 4 er Origo definert med koordinatane 0,0 og 0. På linje 5 er Vinkel K B definert som kommandoen Vinkel med argumenta Kirkenes, Origo og Bergen. Svaret med tilnærming er Vinkel K B kolon er lik 0,24. På linje 6 er luftlinje definert som Vinkel K B multiplisert med 6400 kilometer. Svaret med tilnærming er luftlinje kolon er lik 1543,9 kilometer. Skjermutklipp. — Bilete: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Utrekninga viser at avstanden i luftlinje mellom Bergen og Kirkenes er 1 543 km.

Nedanfor har vi teikna jordkloden (parameterframstillinga $r (u, v)$ ) med punkta $B$ (Bergen) og $K$ (Kirkenes) og sirkelbogen mellom dei. (NB: Det er ikkje ein del av oppgåva.)

4.2.80

4.2.81

4.2.82

4.2.83

4.2.84

4.2.85

Oppgåver med parameterframstilling av kuleflate

4.2.86

4.2.87

4.2.88

Jordkloden

Breiddegrad, vinkel u

Lengdegrad, vinkel v

Avstanden mellom stader på kloden

Reglar for bruk av teksten "Kuleflater"