Fagartikkel

Radianar – absolutt vinkelmål

I matematikk 1T og i dagleglivet elles måler vi vinkelstorleikar i gradar. Dette vinkelmålet er basert på at vi deler eit heilt omløp i 360 like delar. I mange situasjonar er ikkje dette ein gunstig måte å måle vinklar på.

Radianar – absolutt vinkelmål

Eit døme på at vinkelmål i gradar er ugunstig, er når vi skal derivere trigonometriske funksjonar. Då er det gunstig å måle vinkelen i såkalla radianar.

Bogelengde

I ein sirkel er det teikna inn tre radius-linjestykke slik at vinklane mellom dei er like. Delen av sirkelen som går frå det første til det tredje linjestykket, er merkt raudt. Illustrasjon. — Definisjon på bogelengde. Bilete: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Eit vinkelmål i radianar er basert på omgrepet bogelengde. Bogelengda, som vi bruker symbolet $b$ på, kan i utgangspunktet brukast til å angi vinkelen direkte. Sjå figuren. Bogelengda er den delen av sirkelbogen som er mellom vinkelbeina til vinkelen. Dersom vinkelen blir dobla, blir bogelengda dobla.

Problemet er at ein stor sirkel vil ha ei stor bogelengde og ein liten sirkel vil ha ei lita bogelengde for den same vinkelen. Vi skal no argumentere oss fram til korleis vi unngår dette problemet.

Kor stor er bogelengda i ein sirkel med radius $r$ når vinkelen er 360°?

Svar

Bogelengda er då det same som omkrinsen i sirkelen. Vi får

$b = 2 π r$

Dersom vi deler dette uttrykket på $r$ , radius i sirkelen, får vi eit uttrykk som er uavhengig av $r$ , og dermed uavhengig av storleiken på sirkelen. Dette er utgangspunktet for definisjonen av absolutt vinkelmål eller radianar.

Definisjon av absolutt vinkelmål – radianar

I ein sirkel er det teikna inn to radiusar slik at vinkelen mellom dei er v. Bogelengda, som er den delen av sirkelen som er mellom vinkelbeina, er kalla b og er merkt raudt. Illustrasjon. — Definisjon på vinkel målt i radianar. Bilete: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Vinkelen $v$ i absolutt vinkelmål eller radianar blir definert som

$v = \frac{b}{r}$

Absolutt vinkelmål er altså forholdet mellom
bogelengda $b$ og radiusen $r$ i ein sirkel når bogelengda er den delen av sirkelen som er mellom vinkelbeina.

Vis at eit heilt omløp, det vil seie ein vinkel på 360° målt i gradar, svarer til $2 π$ målt i radianar.

Bevis

Igjen er bogelengda det same som omkrinsen i sirkelen.

$v = \frac{b}{r} = \frac{2 π r}{r} = 2 π (\approx 6, 28)$

Hugs at $2 π$ er eit tal som har tilnærma verdien 6,28. Ofte er det gunstig å skrive ein vinkel målt i radianar som eit eksakt uttrykk ved hjelp av $π$ , slik som her.

Kva blir ein vinkel på 180° målt i radianar?

Svar

Ein vinkel på 180° har bogelengde på $\frac{2 π r}{2}$ , halvparten av omkrinsen. I radianar svarer til dette

$v = \frac{2 r}{2 r} = π$

Kva blir ein vinkel på 90° målt i radianar?

Svar

Ein vinkel på 90° har bogelengde på $\frac{2 π r}{4}$ . I radianar svarer til dette

$v = \frac{2 π r}{4 r} = \frac{π}{2}$

Eit absolutt vinkelmål er eigentleg eit tal utan måleining. Forklar kvifor.

Forklaring

Absolutt vinkelmål er definert som bogelengde delt på radius. Begge er lengder, og lengdeeiningane kan forkortast mot kvarandre.

Sjølv om absolutt vinkelmål er eit tal utan nemning, er det vanleg å seie at vinklane blir målt i radianar.

Kva er samanhengen mellom gradar og radianar?

Over fann vi kor mykje vinklar på 360°, 180° og 90° svarer til i radianar. Forklar korleis du finn ut kor mykje ein vinkel på 1° svarer til målt i radianar.

Forklaring

180° svarer til halve omkrinsen til sirkelen. 1° må svare til brøkdelen $\frac{1}{360}$ av omkrinsen $2 π r$ . Vinkelen som svarer til 1° må derfor vere

$v = \frac{b}{r} = \frac{\frac{1}{360} \cdot 2 π r}{r} = \frac{2 π}{360} = \frac{π}{180}$

Samanhengen mellom gradar og radianar er

$1 ° = \frac{π}{180}$

når vinkelen blir målt i radianar.

Det betyr at omrekning frå gradar til radianar skjer ved å multiplisere med $\frac{π}{180}$ . Korleis reknar vi om frå radianar til gradar?

Svar

Vi reknar om frå radianar til gradar ved å gjere det motsette, det vil seie å multiplisere med den omvende brøken $\frac{180}{π}$ .

Det er lurt å kunne nokon vinklar målte i radianar. Fyll ut tabellen nedanfor.

Vinkel målt i gradar	0°	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°	180°	270°	360°
Vinkel målt i radianar

Resultat

Fleire vinklar er teikna i ein sirkel. Det er vinklane 30 gradar, som svarer til pi sjettedelar, 45 gradar, som svarer til pi fjerdedelar, 60 gradar, som svarer til pi tredjedelar, 90 gradar, som svarer til pi halve, 120 gradar, som svarer til 2 pi tredjedelar, 135 gradar, som svarer til 3 pi fjerdedelar, 150 gradar, som svarer til 5 pi sjettedelar, 180 gradar, som svarer til pi, 270 gradar, som svarer til 3 pi halve, og 360 gradar, som svarer til 2 pi. Illustrasjon. — Nokre vinklar målte i gradar og radianar. Bilete: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Film om radianar (absolutte vinkelmål)

Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA 4.0