Eksakte trigonometriske verdiar - Matematikk R2 - NDLA

Fagartikkel

Eksakte trigonometriske verdiar

Vi skal no sjå korleis vi ved hjelp av to kjende rettvinkla trekantar kan finne eksakte verdiar for sinus, cosinus og tangens til vinklar på 30°, 45° og 60°. Desse verdiane er det ein stor fordel å hugse.

Startøving

Vinklane det er enklast å finne eksakte trigonometriske verdiar til, er dei vinklane der koordinataksane er vinkelbein. Nedanfor kan du teste dette.

Hugsar du definisjonane av sinus og cosinus i forhold til einingssirkelen?

Sjå einingssirkelen nedanfor der du kan dra i punktet . Ut ifrå den har vi at

-koordinaten til punktet .
-koordinaten til punktet .

Eksakte trigonometriske verdiar til vinklane 30° og 60°

Du hugsar kanskje at ? Vi skal no finne fleire slike eksakte trigonometriske verdiar utan hjelp av GeoGebra eller kalkulator.

Vi startar med ein trekant der vinklane er 30°, 60° og 90°.

Bruk kjende eigenskapar til trekantar og forklar kvifor den kortaste kateten i trekanten over er halvparten så lang som hypotenusen.

Tips

Legg til ein spegelvend kopi av trekanten slik figuren nedanfor viser.

Figuren viser ein rettvinkla trekant der vinklane er 30, 60 og 90 gradar. I tillegg er det teikna ei linje frå det rettvinkla hjørnet bort til hypotenusen slik at ho dannar vinkelen 60 gradar med den sida i den opphavlege trekanten som går mellom hjørnet med vinkel på 90 gradar og hjørnet med vinkel på 60 gradar. Illustrasjon.

Forklaring

I boksen "Tips til oppgåva" har vi teikna inn med stipla linjer ein like stor, spegelvend trekant. Sjå figuren nedanfor.

Likesida trekant delt i to like delar. Illustrasjon.

Heile figuren blir ein likesida trekant fordi alle vinklane blir 60°. Sidene er det same som hypotenusen i den opphavlege trekanten. Grenselinja mellom dei to trekantane deler den loddrette sida i to like delar sidan dei to trekantane er spegelbilete av kvarandre. Kvar del er det same som den kortaste kateten i den opphavlege trekanten. Derfor er den kortaste kateten halvparten av hypotenusen i ein trekant der vinklane er 30°, 60° og 90°.

Forklar korleis du kan bruke trekanten der vinklane er 30°, 60° og 90° til å finne at

Tips

Bruk definisjonane av sinus og cosinus ut ifrå ein rettvinkla trekant. Kall lengda av den kortaste kateten for .

Forklaring

Rettvinkla trekant der vinklane er 30, 60 og 90 gradar. Illustrasjon.

Vi set den kortaste kateten lik . Då blir hypotenusen . Sett frå vinkelen på 30° får vi at

$å$

Sett frå vinkelen på 60° får vi at

Finn og på tilsvarande måte.

Tips

Rekn ut lengda av den lengste kateten først.

Resultat

Vi bruker pytagorassetninga til å rekne ut lengda av den lengste kateten. Vi set som før den kortaste kateten lik , som gir at hypotenusen blir . Den lengste kateten blir

Då får vi

$å$

Finn og på tilsvarande måte.

Resultat

$å å$

Eksakte trigonometriske verdiar til vinkelen 45°

Gjennomfør tilsvarande utrekningar i ein trekant med vinklane 45°, 45° og 90° for å finne og .

Tips

Start med å setje katetane lik . Teikn trekanten.

Resultat

Dei to katetane er like lange, og vi set dei lik . Så bruker vi pytagorassetninga til å rekne ut hypotenusen, som blir

Då får vi

$å$

$å$

Oppsummering

Gjer ferdig oversikta nedanfor.

Video om eksakte verdiar til vinklar på 30 og 60 gradar

Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA 4.0

Video om eksakte trigonometriske verdiar til vinkel på 45 gradar

Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA 4.0