Eksakte trigonometriske verdiar

Sjå einingssirkelen nedanfor der du kan dra i punktet $$ P$$. Ut ifrå den har vi at

• $$ \cos v=x$$-koordinaten til punktet $$ P$$.

• $$ \sin v=y$$-koordinaten til punktet $$ P$$.

Legg til ein spegelvend kopi av trekanten slik figuren nedanfor viser.

I boksen "Tips til oppgåva" har vi teikna inn med stipla linjer ein like stor, spegelvend trekant. Sjå figuren nedanfor.

Heile figuren blir ein likesida trekant fordi alle vinklane blir 60°. Sidene er det same som hypotenusen i den opphavlege trekanten. Grenselinja mellom dei to trekantane deler den loddrette sida i to like delar sidan dei to trekantane er spegelbilete av kvarandre. Kvar del er det same som den kortaste kateten i den opphavlege trekanten. Derfor er den kortaste kateten halvparten av hypotenusen i ein trekant der vinklane er 30°, 60° og 90°.

Bruk definisjonane av sinus og cosinus ut ifrå ein rettvinkla trekant. Kall lengda av den kortaste kateten for $$ x$$.

Vi set den kortaste kateten lik $$ x$$. Då blir hypotenusen $$ 2x$$. Sett frå vinkelen på 30° får vi at

$$ \sin 30°=\frac{\mathrm{motståande} \mathrm{katet}}{\mathrm{hypotenus}}=\frac{x}{2x}=\frac{1}{2}$$

Sett frå vinkelen på 60° får vi at

$$ \cos 60°=\frac{\mathrm{hosliggande} \mathrm{katet}}{\mathrm{hypotenus}}=\frac{x}{2x}=\frac{1}{2}$$

Rekn ut lengda av den lengste kateten først.

Vi bruker pytagorassetninga til å rekne ut lengda av den lengste kateten. Vi set som før den kortaste kateten lik $$ x$$, som gir at hypotenusen blir $$ 2x$$. Den lengste kateten blir

$$ \sqrt{{\left(2x\right)}^2-x^2}=\sqrt{3x^2}=\sqrt{3}x$$

Då får vi

$$ \begin{array}{rcl}\sin 60°& =& \frac{\mathrm{motståande} \mathrm{katet}}{\mathrm{hypotenus}}=\frac{\sqrt{3}x}{2x}=\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2}\sqrt{3}\\ & & \end{array}$$
$$ \cos 30°=\frac{\mathrm{hosliggande} \mathrm{katet}}{\mathrm{hypotenus}}=\frac{\sqrt{3}x}{2x}=\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2}\sqrt{3}$$

$$ \begin{array}{rcl}\tan 30°& =& \frac{\mathrm{motståande} \mathrm{katet}}{\mathrm{hosliggande} \mathrm{katet}}=\frac{x}{\sqrt{3}x}=\frac{1}{\sqrt{3}}\\ & =& \frac{1·\sqrt{3}}{{\left(\sqrt{3}\right)}^2}=\frac{1}{3}\sqrt{3}\\ \tan 60°& =& \frac{\mathrm{motståande} \mathrm{katet}}{\mathrm{hosliggande} \mathrm{katet}}=\frac{\sqrt{3}x}{x}=\sqrt{3}\end{array}$$

Start med å setje katetane lik $$ x$$. Teikn trekanten.

Dei to katetane er like lange, og vi set dei lik $$ x$$. Så bruker vi pytagorassetninga til å rekne ut hypotenusen, som blir

$$ \sqrt{x^2+x^2}=\sqrt{2x^2}=\sqrt{2}x$$

Då får vi

$$ $ \begin{array}{rcl}\sin 45°& =& \frac{\mathrm{motståande} \mathrm{katet}}{\mathrm{hypotenus}}=\frac{x}{\sqrt{2}x}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{2}\\ & =& \cos 45°\end{array}$$$

$$ $ \tan 45°=\frac{\mathrm{motståande} \mathrm{katet}}{\mathrm{hosliggande} \mathrm{katet}}=\frac{x}{x}=1$$$