Fagartikkel

Eksakte trigonometriske verdiar

Vi skal no sjå korleis vi ved hjelp av to kjende rettvinkla trekantar kan finne eksakte verdiar for sinus, cosinus og tangens til vinklar på 30°, 45° og 60°. Desse verdiane er det ein stor fordel å hugse.

Startøving

Vinklane det er enklast å finne eksakte trigonometriske verdiar til, er dei vinklane der koordinataksane er vinkelbein. Nedanfor kan du teste dette.

Hugsar du definisjonane av sinus og cosinus i forhold til einingssirkelen?

Sjå einingssirkelen nedanfor der du kan dra i punktet $P$ . Ut ifrå den har vi at

$\cos v = x$ -koordinaten til punktet $P$ .
$\sin v = y$ -koordinaten til punktet $P$ .

Eksakte trigonometriske verdiar til vinklane 30° og 60°

Du hugsar kanskje at $\sin 30 ° = \frac{1}{2}$ ? Vi skal no finne fleire slike eksakte trigonometriske verdiar utan hjelp av GeoGebra eller kalkulator.

Vi startar med ein trekant der vinklane er 30°, 60° og 90°.

Bruk kjende eigenskapar til trekantar og forklar kvifor den kortaste kateten i trekanten over er halvparten så lang som hypotenusen.

Tips

Legg til ein spegelvend kopi av trekanten slik figuren nedanfor viser.

Figuren viser ein rettvinkla trekant der vinklane er 30, 60 og 90 gradar. I tillegg er det teikna ei linje frå det rettvinkla hjørnet bort til hypotenusen slik at ho dannar vinkelen 60 gradar med den sida i den opphavlege trekanten som går mellom hjørnet med vinkel på 90 gradar og hjørnet med vinkel på 60 gradar. Illustrasjon. — Bilete: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Forklaring

I boksen "Tips til oppgåva" har vi teikna inn med stipla linjer ein like stor, spegelvend trekant. Sjå figuren nedanfor.

Likesida trekant delt i to like delar. Illustrasjon. — Bilete: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Heile figuren blir ein likesida trekant fordi alle vinklane blir 60°. Sidene er det same som hypotenusen i den opphavlege trekanten. Grenselinja mellom dei to trekantane deler den loddrette sida i to like delar sidan dei to trekantane er spegelbilete av kvarandre. Kvar del er det same som den kortaste kateten i den opphavlege trekanten. Derfor er den kortaste kateten halvparten av hypotenusen i ein trekant der vinklane er 30°, 60° og 90°.

Forklar korleis du kan bruke trekanten der vinklane er 30°, 60° og 90° til å finne at

$\sin 30 ° = \cos 60 ° = \frac{1}{2}$

Tips

Bruk definisjonane av sinus og cosinus ut ifrå ein rettvinkla trekant. Kall lengda av den kortaste kateten for $x$ .

Forklaring

Rettvinkla trekant der vinklane er 30, 60 og 90 gradar. Illustrasjon. — Bilete: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Vi set den kortaste kateten lik $x$ . Då blir hypotenusen $2 x$ . Sett frå vinkelen på 30° får vi at

$\sin 30 ° = \frac{motståande katet}{hypotenus} = \frac{x}{2 x} = \frac{1}{2}$

Sett frå vinkelen på 60° får vi at

$\cos 60 ° = \frac{hosliggande katet}{hypotenus} = \frac{x}{2 x} = \frac{1}{2}$

Finn $\sin 60 °$ og $\cos 30 °$ på tilsvarande måte.

Tips

Rekn ut lengda av den lengste kateten først.

Resultat

Vi bruker pytagorassetninga til å rekne ut lengda av den lengste kateten. Vi set som før den kortaste kateten lik $x$ , som gir at hypotenusen blir $2 x$ . Den lengste kateten blir

$\sqrt{{(2 x)}^{2} - x^{2}} = \sqrt{3 x^{2}} = \sqrt{3} x$

Då får vi

$\begin{array}{rcl} \sin 60 ° & = & \frac{motståande katet}{hypotenus} = \frac{\sqrt{3} x}{2 x} = \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2} \sqrt{3} \end{array}$
$\cos 30 ° = \frac{hosliggande katet}{hypotenus} = \frac{\sqrt{3} x}{2 x} = \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2} \sqrt{3}$

Finn $\tan 30 °$ og $\tan 60 °$ på tilsvarande måte.

Resultat

$\begin{array}{rcl} \tan 30 ° & = & \frac{motståande katet}{hosliggande katet} = \frac{x}{\sqrt{3} x} = \frac{1}{\sqrt{3}} \\ = & \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{{(\sqrt{3})}^{2}} = \frac{1}{3} \sqrt{3} \\ \tan 60 ° & = & \frac{motståande katet}{hosliggande katet} = \frac{\sqrt{3} x}{x} = \sqrt{3} \end{array}$

Eksakte trigonometriske verdiar til vinkelen 45°

Gjennomfør tilsvarande utrekningar i ein trekant med vinklane 45°, 45° og 90° for å finne $\sin 45 °, \cos 45 °$ og $\tan 45 °$ .

Tips

Start med å setje katetane lik $x$ . Teikn trekanten.

Resultat

Dei to katetane er like lange, og vi set dei lik $x$ . Så bruker vi pytagorassetninga til å rekne ut hypotenusen, som blir

$\sqrt{x^{2} + x^{2}} = \sqrt{2 x^{2}} = \sqrt{2} x$

Då får vi

$\begin{array}{rcl} \sin 45 ° & = & \frac{motståande katet}{hypotenus} = \frac{x}{\sqrt{2} x} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2} \sqrt{2} \\ = & \cos 45 ° \end{array}$

$\tan 45 ° = \frac{motståande katet}{hosliggande katet} = \frac{x}{x} = 1$

Oppsummering

Gjer ferdig oversikta nedanfor.

Video om eksakte verdiar til vinklar på 30 og 60 gradar

Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA 4.0

Video om eksakte trigonometriske verdiar til vinkel på 45 gradar

Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA 4.0