Hopp til innhald
Oppgåve

Generell definisjon av sinus, cosinus og tangens

Gjer oppgåver med sinus, cosinus og tangens i samanheng med einingssirkelen.

Du kan bruke den interaktive simuleringa nedanfor i arbeidet med oppgåvene.

2.1.1

Finn sinus, cosinus og tangens til vinklane under med simuleringa og med CAS i GeoGebra. I kva kvadrant ligg vinklane?

Tips til utrekninga i GeoGebra

Legg inn alle vinklane i ei liste slik at du kan rekne ut alt på éin gong.

a) 30°

b) 60°

c) 135°

d) 225°

e) 300°

f) 360°

Løysing

For å sleppe så mykje inntasting er det lurt å legge alle vinklane inn i ei liste først, slik vi har gjort her.

a) 30°: Vinkelen ligg i første kvadrant.

b) 60°: Vinkelen ligg i første kvadrant.

c) 135°: Vinkelen ligg i andre kvadrant.

d) 225°: Vinkelen ligg i tredje kvadrant.

e) 300°: Vinkelen ligg i fjerde kvadrant.

f) 360°: Vinkelen ligg mellom første kvadrant og fjerde kvadrant (den positive delen av x-aksen).

2.1.2

Bruk simuleringa. I kva kvadrant ligg vinkelen v når

a) cosv<0    sinv>0

Løysing

cosv er mindre enn 0 i andre og tredje kvadrant. sinv er større enn 0 i første og andre kvadrant. Då må vinkel v ligge i andre kvadrant.

b) tanv<0    sinv>0

Løysing

tanv er mindre enn 0 i andre og fjerde kvadrant. sinv er større enn 0 i første og andre kvadrant. Då må vinkel v ligge i andre kvadrant.

c) cosv<0    sinv<0

Løysing

cosv er mindre enn 0 i andre og tredje kvadrant. sinv er mindre enn 0 i tredje og fjerde kvadrant. Då må vinkel v ligge i tredje kvadrant.

d) cosv<0    tanv>0

Løysing

cosv er mindre enn 0 i andre og tredje kvadrant. tanv er større enn 0 i første og tredje kvadrant. Då må vinkel v ligge i tredje kvadrant.

e) sinv>0    tanv>0

Løysing

sinv er større enn 0 i første og andre kvadrant. tanv er større enn 0 i første og tredje kvadrant. Då må vinkel v ligge i første kvadrant.

f) cosv>0    sinv<0

Løysing

cosv er større enn 0 i første og fjerde kvadrant. sinv er mindre enn 0 i tredje og fjerde kvadrant. Då må vinkel v ligge i fjerde kvadrant.

2.1.3

a) Forklar korleis du kan bruke symmetri på einingssirkelen til å finne ein vinkel som har den same sinusverdien som ein vinkel i første kvadrant.

Løysing

Vi kan spegle vinkelbeinet til vinkelen v på figuren om y-aksen. Då får vi vinkel u på figuren. For u gjeld at u=180°-v, og u har då den same sinusverdien som v, det vil seie

sinu=sinv

u og v kallar vi supplementvinklar fordi dei har den same sinusverdien. Vi kan òg skrive dette som

sin180°-v=sinv

b) Forklar korleis du kan bruke symmetri på einingssirkelen til å finne ein vinkel som har den same cosinusverdien som ein vinkel i første kvadrant.

Løysing

Vi kan spegle vinkelbeinet til vinkelen v på figuren om x-aksen. Då får vi vinkel u på figuren. For u gjeld at u=360°-v, og u har då den same cosinusverdien som v, det vil seie

cosu=cosv

Vi kan òg skrive dette som

cos360°-v=cosv

c) Forklar kvifor vinklane u og v på figuren har den same tangensverdien.

Løysing

Først kan vi notere at sidan vinkelbeina til v og u ligg langs den same linja (eller speglar kvarandre om origo), får vi at

u=v+180°

Av den same grunnen får vi at

cosu=-cosv    sinu=-sinv

Då har vi at

tanu=sinucosu=-sinv-cosv=sinvcosv=tanv

Vi kan òg skrive dette som

tanv+180°=tanv

2.1.4

Bruk simuleringa øvst på sida til å løyse oppgåvene.

a) Finn to vinklar som er slik at sinv=12.

Løysing

v=30°    v=150°

b) Finn to vinklar som er slik at sinv=-12.

Løysing

v=210°    v=330°

c) Finn to vinklar som er slik at cosv=12.

Løysing

v=60°    v=300°

d) Finn to vinklar som er slik at cosv=-12.

Løysing

v=120°    v=240°

e) Finn to vinklar som er slik at tanv=1.

Løysing

v=45°    v=225°

f) Finn to vinklar som er slik at tanv=-1.

Løysing

v=135°    v=315°

2.1.5

Bruk figuren til å forklare kvifor tanv blir lik lengda av linjestykket AB.

Tips til oppgåva

Bruk formlike trekantar.

Løysing

Vi har definisjonen tanv=sinvcosv. På figuren har vi at sinv=b og cosv=a, og desse er motståande katet og hosliggande katet i forhold til vinkel v i den rettvinkla trekanten inni einingssirkelen.

Denne rettvinkla trekanten er formlik med den rettvinkla trekanten der hjørna er origo, A og B. Då kan vi setje opp

ba = AB1sinvcosv = ABtanv = AB

Alternativt kan vi bruke at

tanv=motståande katethosliggande katet=AB1=AB

2.1.6

a) Du får vite dette om vinklane u og v:

  • u,v[0°, 360°

  • cosu=cosv

  • sinu>sinv

  • tanu>0

I kva kvadrant ligg u, og i kva kvadrant ligg v?

Løysing

Sidan vinklane har den same cosinusverdien, må vinklane anten ligge i første og fjerde kvadrant eller i andre og tredje kvadrant, dersom dei ikkje er like.

Sidan sinu>sinv, kan ikkje vinklane vere like, og det er u som ligg i anten første eller i andre kvadrant.

Sidan tanu>0, må u ligge i første kvadrant, og då må v ligge i fjerde kvadrant.

b) Du får vite dette om vinklane u og v:

  • u,v[0°, 360°

  • sinu=sinv

  • cosv>0

  • tanu=1

Finn vinklane.

Løysing

Når tanu=1, betyr det at

u=45°    u=45°+180°=225°

Når cosv>0, betyr det at v ligg anten i første eller fjerde kvadrant.

Vinklane har den same sinusverdien. Dersom u=45°, må v=180°-45°=135°. Men då er cosv<0, så det går ikkje. Dersom u=225°, det vil seie ligg i tredje kvadrant, må v ligge i fjerde kvadrant for at vinklane skal ha den same sinusverdien. Då er cosv>0, som er greitt.

Vi får til slutt at

u = 225°v = 180°-225°=-45°= 360°-45°=315°

c) Lag tilsvarande oppgåver som dei to førre, og prøv dei på nokre medelevar.

2.1.7

Lag eit program som finn ut kva kvadrant ein vinkel v ligg i når vi går ut frå at v0°,360°. Programmet skal sjekke at vinkelen ikkje ligg utanfor dette området. Hugs at vinkelen kan ligge mellom to kvadrantar dersom han til dømes har verdien 90°. Hugs å skrive algoritmen først.

Tips til oppgåva

Det er mange måtar å gjere dette på. Éin metode er å teste direkte om vinkelen har verdi innanfor eller mellom dei ulike kvadrantane. Ein annan metode er å trekke 90 gradar frå vinkelen heilt til resultatet blir mindre enn 90 gradar og telje kor mange gonger 90 gradar kan trekkast frå.

Løysing

Alternativ 1

Forslag til algoritme:

  • Set variabelen "vinkel" lik -1.

  • Skriv til skjermen "Dette programmet finn ut kva kvadrant ein vinkel frå og med 0° til og med 360° ligg i.".

  • Så lenge "vinkel" er mindre enn 0 eller større enn 360:

    • Skriv til skjermen "Skriv inn storleiken på vinkelen: ".

    • Ta imot verdien frå brukaren og lagre han i variabelen "vinkel".

    • Dersom "vinkel" er mindre enn 0 eller større enn 360:

      • Skriv til skjermen "Vinkelen <vinkel>° er utanfor det gyldige området.".

  • Test om "vinkel" har verdien 0, 90, 180, 270 eller 360, og gi tilbakemelding om kva to kvadrantar vinkelen ligg mellom.

  • Test om "vinkel" har verdi mellom 0 og 90 for første kvadrant, 90 og 180 for andre kvadrant og så vidare. Gi tilbakemelding om kvadrant alt etter kva test som slår til.

python
1vinkel = -1
2print("Dette programmet finn ut kva kvadrant ein vinkel")
3print("med verdi frå og med 0° til og med 360° ligg i.")
4    # testar om vinkelen er utanfor området,
5    # og lar brukaren eventuelt skrive inn vinkelen på nytt
6while vinkel < 0 or vinkel > 360:
7  vinkel = float(input("Skriv inn storleiken på vinkelen: "))
8  if vinkel < 0 or vinkel > 360:
9    print(f"Vinkelen {vinkel}° er utanfor det gyldige området.")
10
11if vinkel == 0 or vinkel == 360:
12  print(f"Vinkelen {vinkel}° ligg mellom første og fjerde kvadrant.")
13elif vinkel == 90:
14  print(f"Vinkelen {vinkel}° ligg mellom første og andre kvadrant.")
15elif vinkel == 180:
16  print(f"Vinkelen {vinkel}° ligg mellom andre og tredje kvadrant.")
17elif vinkel == 270:
18  print(f"Vinkelen {vinkel}° ligg mellom tredje og fjerde kvadrant.")
19
20elif vinkel < 90:
21  print(f"Vinkelen {vinkel}° ligg i første kvadrant.")
22elif vinkel > 90 and vinkel < 180:
23  print(f"Vinkelen {vinkel}° ligg i andre kvadrant.")
24elif vinkel > 180 and vinkel < 270:
25  print(f"Vinkelen {vinkel}° ligg i tredje kvadrant.")
26else:
27  print(f"Vinkelen {vinkel}° ligg i fjerde kvadrant.")

Alternativ 2

Dette alternativet gir eit litt kortare program. Forslag til algoritme:

  • Set variabelen "vinkel" lik -1.

  • Skriv til skjermen "Dette programmet finn ut kva kvadrant ein vinkel frå og med 0° til og med 360° ligg i.".

  • Så lenge "vinkel" er mindre enn 0 eller større enn 360:

    • Skriv til skjermen "Skriv inn storleiken på vinkelen: ".

    • Ta imot verdien frå brukaren og lagre han i variabelen "vinkel".

    • Dersom "vinkel" er mindre enn 0 eller større enn 360:

      • Skriv til skjermen "Vinkelen <vinkel>° er utanfor det gyldige området.".

  • Set variabelen "testvinkel" lik "vinkel".

  • Set variabelen "kvadrant" lik 1.

  • Så lenge "testvinkel" er større eller lik 90:

    • Set "testvinkel" lik "testvinkel" minus 90.

    • Set "kvadrant" lik "kvadrant" pluss 1.

  • Dersom "vinkel" er 0 eller 360, skriv til skjermen 'Vinkelen <"vinkel">° ligg mellom kvadrantane 1 og 4.'.

  • Eller dersom "testvinkel" er lik 0, skriv til skjermen "Vinkelen <"vinkel">° ligg mellom kvadrantane <"kvadrant" minus 1> og <"kvadrant">.".

  • Viss ikkje, skriv til skjermen "Vinkelen <"vinkel">° ligg i <"kvadrant">. kvadrant.".

Forslag til program:

python
1vinkel = -1
2print("Dette programmet finn ut kva kvadrant ein vinkel")
3print("med verdi frå og med 0° til og med 360° ligg i.")
4    # testar om vinkelen er utanfor området,
5    # og lar brukaren eventuelt skrive inn vinkelen på nytt
6while vinkel < 0 or vinkel > 360:
7  vinkel = float(input("Skriv inn storleiken på vinkelen: "))
8  if vinkel < 0 or vinkel > 360:
9    print(f"Vinkelen {vinkel}° er utanfor det gyldige området.")
10
11testvinkel = vinkel
12kvadrant = 1
13
14while testvinkel >= 90:
15  testvinkel = testvinkel - 90
16  kvadrant = kvadrant + 1
17  
18if vinkel == 0 or vinkel == 360:  # desse to alternativa blir behandla spesielt
19  print(f"Vinkelen {vinkel}° ligg mellom kvadrantane 1 og 4.")
20elif testvinkel == 0:
21  print(f"Vinkelen {vinkel}° ligg mellom kvadrantane {kvadrant - 1} og {kvadrant}.")
22else:
23  print(f"Vinkelen {vinkel}° ligg i {kvadrant}. kvadrant.")