Finn sinus, cosinus og tangens til vinklane under med simuleringa og med CAS i GeoGebra. I kva kvadrant ligg vinklane?
Tips til utrekninga i GeoGebra
Legg inn alle vinklane i ei liste slik at du kan rekne ut alt på éin gong.
a) 30°
b) 60°
c) 135°
d) 225°
e) 300°
f) 360°
Løysing
For å sleppe så mykje inntasting er det lurt å legge alle vinklane inn i ei liste først, slik vi har gjort her.
a) 30°: Vinkelen ligg i første kvadrant.
b) 60°: Vinkelen ligg i første kvadrant.
c) 135°: Vinkelen ligg i andre kvadrant.
d) 225°: Vinkelen ligg i tredje kvadrant.
e) 300°: Vinkelen ligg i fjerde kvadrant.
f) 360°: Vinkelen ligg mellom første kvadrant og fjerde kvadrant (den positive delen av -aksen).
2.1.2
Bruk simuleringa. I kva kvadrant ligg vinkelen v når
a) cosv<0∧sinv>0
Løysing
cosv er mindre enn 0 i andre og tredje kvadrant. sinv er større enn 0 i første og andre kvadrant. Då må vinkel v ligge i andre kvadrant.
b) tanv<0∧sinv>0
Løysing
tanv er mindre enn 0 i andre og fjerde kvadrant. sinv er større enn 0 i første og andre kvadrant. Då må vinkel v ligge i andre kvadrant.
c) cosv<0∧sinv<0
Løysing
cosv er mindre enn 0 i andre og tredje kvadrant. sinv er mindre enn 0 i tredje og fjerde kvadrant. Då må vinkel v ligge i tredje kvadrant.
d) cosv<0∧tanv>0
Løysing
cosv er mindre enn 0 i andre og tredje kvadrant. tanv er større enn 0 i første og tredje kvadrant. Då må vinkel v ligge i tredje kvadrant.
e) sinv>0∧tanv>0
Løysing
sinv er større enn 0 i første og andre kvadrant. tanv er større enn 0 i første og tredje kvadrant. Då må vinkel v ligge i første kvadrant.
f) cosv>0∧sinv<0
Løysing
cosv er større enn 0 i første og fjerde kvadrant. sinv er mindre enn 0 i tredje og fjerde kvadrant. Då må vinkel v ligge i fjerde kvadrant.
2.1.3
a) Forklar korleis du kan bruke symmetri på einingssirkelen til å finne ein vinkel som har den same sinusverdien som ein vinkel i første kvadrant.
Løysing
Vi kan spegle vinkelbeinet til vinkelen v på figuren om y-aksen. Då får vi vinkel u på figuren. For u gjeld at u=180°-v, og u har då den same sinusverdien som v, det vil seie
sinu=sinv
u og v kallar vi supplementvinklar fordi dei har den same sinusverdien. Vi kan òg skrive dette som
sin180°-v=sinv
b) Forklar korleis du kan bruke symmetri på einingssirkelen til å finne ein vinkel som har den same cosinusverdien som ein vinkel i første kvadrant.
Løysing
Vi kan spegle vinkelbeinet til vinkelen v på figuren om x-aksen. Då får vi vinkel u på figuren. For u gjeld at u=360°-v, og u har då den same cosinusverdien som v, det vil seie
cosu=cosv
Vi kan òg skrive dette som
cos360°-v=cosv
c) Forklar kvifor vinklane u og v på figuren har den same tangensverdien.
Løysing
Først kan vi notere at sidan vinkelbeina til v og u ligg langs den same linja (eller speglar kvarandre om origo), får vi at
u=v+180°
Av den same grunnen får vi at
cosu=-cosv∧sinu=-sinv
Då har vi at
tanu=sinucosu=-sinv-cosv=sinvcosv=tanv
Vi kan òg skrive dette som
tanv+180°=tanv
2.1.4
Bruk simuleringa øvst på sida til å løyse oppgåvene.
a) Finn to vinklar som er slik at sinv=12.
Løysing
v=30°∨v=150°
b) Finn to vinklar som er slik at sinv=-12.
Løysing
v=210°∨v=330°
c) Finn to vinklar som er slik at cosv=12.
Løysing
v=60°∨v=300°
d) Finn to vinklar som er slik at cosv=-12.
Løysing
v=120°∨v=240°
e) Finn to vinklar som er slik at tanv=1.
Løysing
v=45°∨v=225°
f) Finn to vinklar som er slik at tanv=-1.
Løysing
v=135°∨v=315°
2.1.5
Bruk figuren til å forklare kvifor tanv blir lik lengda av linjestykket AB.
Tips til oppgåva
Bruk formlike trekantar.
Løysing
Vi har definisjonen tanv=sinvcosv. På figuren har vi at sinv=b og cosv=a, og desse er motståande katet og hosliggande katet i forhold til vinkel v i den rettvinkla trekanten inni einingssirkelen.
Denne rettvinkla trekanten er formlik med den rettvinkla trekanten der hjørna er origo, A og B. Då kan vi setje opp
ba=AB1sinvcosv=ABtanv=AB
Alternativt kan vi bruke at
tanv=motståandekatethosliggandekatet=AB1=AB
2.1.6
a) Du får vite dette om vinklane u og v:
u,v∈[0°,360°〉
cosu=cosv
sinu>sinv
tanu>0
I kva kvadrant ligg u, og i kva kvadrant ligg v?
Løysing
Sidan vinklane har den same cosinusverdien, må vinklane anten ligge i første og fjerde kvadrant eller i andre og tredje kvadrant, dersom dei ikkje er like.
Sidan sinu>sinv, kan ikkje vinklane vere like, og det er u som ligg i anten første eller i andre kvadrant.
Sidan tanu>0, må u ligge i første kvadrant, og då må v ligge i fjerde kvadrant.
b) Du får vite dette om vinklane u og v:
u,v∈[0°,360°〉
sinu=sinv
cosv>0
tanu=1
Finn vinklane.
Løysing
Når tanu=1, betyr det at
u=45°∨u=45°+180°=225°
Når cosv>0, betyr det at v ligg anten i første eller fjerde kvadrant.
Vinklane har den same sinusverdien. Dersom u=45°, må v=180°-45°=135°. Men då er cosv<0, så det går ikkje. Dersom u=225°, det vil seie ligg i tredje kvadrant, må v ligge i fjerde kvadrant for at vinklane skal ha den same sinusverdien. Då er cosv>0, som er greitt.
Vi får til slutt at
u=225°v=180°-225°=-45°=360°-45°=315°
c) Lag tilsvarande oppgåver som dei to førre, og prøv dei på nokre medelevar.
2.1.7
Lag eit program som finn ut kva kvadrant ein vinkel v ligg i når vi går ut frå at v∈0°,360°. Programmet skal sjekke at vinkelen ikkje ligg utanfor dette området. Hugs at vinkelen kan ligge mellom to kvadrantar dersom han til dømes har verdien 90°. Hugs å skrive algoritmen først.
Tips til oppgåva
Det er mange måtar å gjere dette på. Éin metode er å teste direkte om vinkelen har verdi innanfor eller mellom dei ulike kvadrantane. Ein annan metode er å trekke 90 gradar frå vinkelen heilt til resultatet blir mindre enn 90 gradar og telje kor mange gonger 90 gradar kan trekkast frå.
Løysing
Alternativ 1
Forslag til algoritme:
Set variabelen "vinkel" lik -1.
Skriv til skjermen "Dette programmet finn ut kva kvadrant ein vinkel frå og med 0° til og med 360° ligg i.".
Så lenge "vinkel" er mindre enn 0 eller større enn 360:
Skriv til skjermen "Skriv inn storleiken på vinkelen: ".
Ta imot verdien frå brukaren og lagre han i variabelen "vinkel".
Dersom "vinkel" er mindre enn 0 eller større enn 360:
Skriv til skjermen "Vinkelen <vinkel>° er utanfor det gyldige området.".
Test om "vinkel" har verdien 0, 90, 180, 270 eller 360, og gi tilbakemelding om kva to kvadrantar vinkelen ligg mellom.
Test om "vinkel" har verdi mellom 0 og 90 for første kvadrant, 90 og 180 for andre kvadrant og så vidare. Gi tilbakemelding om kvadrant alt etter kva test som slår til.
Alternativ 2
Dette alternativet gir eit litt kortare program. Forslag til algoritme:
Set variabelen "vinkel" lik -1.
Skriv til skjermen "Dette programmet finn ut kva kvadrant ein vinkel frå og med 0° til og med 360° ligg i.".
Så lenge "vinkel" er mindre enn 0 eller større enn 360:
Skriv til skjermen "Skriv inn storleiken på vinkelen: ".
Ta imot verdien frå brukaren og lagre han i variabelen "vinkel".
Dersom "vinkel" er mindre enn 0 eller større enn 360:
Skriv til skjermen "Vinkelen <vinkel>° er utanfor det gyldige området.".
Set variabelen "testvinkel" lik "vinkel".
Set variabelen "kvadrant" lik 1.
Så lenge "testvinkel" er større eller lik 90:
Set "testvinkel" lik "testvinkel" minus 90.
Set "kvadrant" lik "kvadrant" pluss 1.
Dersom "vinkel" er 0 eller 360, skriv til skjermen 'Vinkelen <"vinkel">° ligg mellom kvadrantane 1 og 4.'.
Eller dersom "testvinkel" er lik 0, skriv til skjermen "Vinkelen <"vinkel">° ligg mellom kvadrantane <"kvadrant" minus 1> og <"kvadrant">.".
Viss ikkje, skriv til skjermen "Vinkelen <"vinkel">° ligg i <"kvadrant">. kvadrant.".