Generell definisjon av sinus, cosinus og tangens
Du kan bruke den interaktive simuleringa nedanfor i arbeidet med oppgåvene.
Filer
2.1.1
Finn sinus, cosinus og tangens til vinklane under med simuleringa og med CAS i GeoGebra. I kva kvadrant ligg vinklane?
Tips til utrekninga i GeoGebra
Legg inn alle vinklane i ei liste slik at du kan rekne ut alt på éin gong.
a) 30°
b) 60°
c) 135°
d) 225°
e) 300°
f) 360°
Løysing
For å sleppe så mykje inntasting er det lurt å legge alle vinklane inn i ei liste først, slik vi har gjort her.
a) 30°: Vinkelen ligg i første kvadrant.
b) 60°: Vinkelen ligg i første kvadrant.
c) 135°: Vinkelen ligg i andre kvadrant.
d) 225°: Vinkelen ligg i tredje kvadrant.
e) 300°: Vinkelen ligg i fjerde kvadrant.
f) 360°: Vinkelen ligg mellom første kvadrant og fjerde kvadrant (den positive delen av -aksen).
2.1.2
Bruk simuleringa. I kva kvadrant ligg vinkelen
a)
Løysing
b)
Løysing
c)
Løysing
d)
Løysing
e)
Løysing
f)
Løysing
2.1.3
a) Forklar korleis du kan bruke symmetri på einingssirkelen til å finne ein vinkel som har den same sinusverdien som ein vinkel i første kvadrant.
Løysing
Vi kan spegle vinkelbeinet til vinkelen
b) Forklar korleis du kan bruke symmetri på einingssirkelen til å finne ein vinkel som har den same cosinusverdien som ein vinkel i første kvadrant.
Løysing
Vi kan spegle vinkelbeinet til vinkelen
Vi kan òg skrive dette som
c) Forklar kvifor vinklane
Løysing
Først kan vi notere at sidan vinkelbeina til
Av den same grunnen får vi at
Då har vi at
Vi kan òg skrive dette som
2.1.4
Bruk simuleringa øvst på sida til å løyse oppgåvene.
a) Finn to vinklar som er slik at
Løysing
b) Finn to vinklar som er slik at
Løysing
c) Finn to vinklar som er slik at
Løysing
d) Finn to vinklar som er slik at
Løysing
e) Finn to vinklar som er slik at
Løysing
f) Finn to vinklar som er slik at
Løysing
2.1.5
Bruk figuren til å forklare kvifor
Tips til oppgåva
Bruk formlike trekantar.
Løysing
Vi har definisjonen
Denne rettvinkla trekanten er formlik med den rettvinkla trekanten der hjørna er origo,
Alternativt kan vi bruke at
2.1.6
a) Du får vite dette om vinklane
u , v ∈ [ 0 ° , 360 ° 〉 cos u = cos v sin u > sin v tan u > 0
I kva kvadrant ligg
Løysing
Sidan vinklane har den same cosinusverdien, må vinklane anten ligge i første og fjerde kvadrant eller i andre og tredje kvadrant, dersom dei ikkje er like.
Sidan
Sidan
b) Du får vite dette om vinklane
u , v ∈ [ 0 ° , 360 ° 〉 sin u = sin v cos v > 0 tan u = 1
Finn vinklane.
Løysing
Når
Når
Vinklane har den same sinusverdien. Dersom
Vi får til slutt at
c) Lag tilsvarande oppgåver som dei to førre, og prøv dei på nokre medelevar.
2.1.7
Lag eit program som finn ut kva kvadrant ein vinkel
Tips til oppgåva
Det er mange måtar å gjere dette på. Éin metode er å teste direkte om vinkelen har verdi innanfor eller mellom dei ulike kvadrantane. Ein annan metode er å trekke 90 gradar frå vinkelen heilt til resultatet blir mindre enn 90 gradar og telje kor mange gonger 90 gradar kan trekkast frå.
Løysing
Alternativ 1
Forslag til algoritme:
Set variabelen "vinkel" lik
.- 1 Skriv til skjermen "Dette programmet finn ut kva kvadrant ein vinkel frå og med 0° til og med 360° ligg i.".
Så lenge "vinkel" er mindre enn 0 eller større enn 360:
Skriv til skjermen "Skriv inn storleiken på vinkelen: ".
Ta imot verdien frå brukaren og lagre han i variabelen "vinkel".
Dersom "vinkel" er mindre enn 0 eller større enn 360:
Skriv til skjermen "Vinkelen <vinkel>° er utanfor det gyldige området.".
Test om "vinkel" har verdien 0, 90, 180, 270 eller 360, og gi tilbakemelding om kva to kvadrantar vinkelen ligg mellom.
Test om "vinkel" har verdi mellom 0 og 90 for første kvadrant, 90 og 180 for andre kvadrant og så vidare. Gi tilbakemelding om kvadrant alt etter kva test som slår til.
Alternativ 2
Dette alternativet gir eit litt kortare program. Forslag til algoritme:
Set variabelen "vinkel" lik
.- 1 Skriv til skjermen "Dette programmet finn ut kva kvadrant ein vinkel frå og med 0° til og med 360° ligg i.".
Så lenge "vinkel" er mindre enn 0 eller større enn 360:
Skriv til skjermen "Skriv inn storleiken på vinkelen: ".
Ta imot verdien frå brukaren og lagre han i variabelen "vinkel".
Dersom "vinkel" er mindre enn 0 eller større enn 360:
Skriv til skjermen "Vinkelen <vinkel>° er utanfor det gyldige området.".
Set variabelen "testvinkel" lik "vinkel".
Set variabelen "kvadrant" lik 1.
Så lenge "testvinkel" er større eller lik 90:
Set "testvinkel" lik "testvinkel" minus 90.
Set "kvadrant" lik "kvadrant" pluss 1.
Dersom "vinkel" er 0 eller 360, skriv til skjermen 'Vinkelen <"vinkel">° ligg mellom kvadrantane 1 og 4.'.
Eller dersom "testvinkel" er lik 0, skriv til skjermen "Vinkelen <"vinkel">° ligg mellom kvadrantane <"kvadrant" minus 1> og <"kvadrant">.".
Viss ikkje, skriv til skjermen "Vinkelen <"vinkel">° ligg i <"kvadrant">. kvadrant.".
Forslag til program: