Fag

Emne

Grunnleggande definisjonar

Læringsressursar

Generell definisjon av sinus, cosinus og tangens
Fagstoff, Interaktivt innhald, Video
Generell definisjon av sinus, cosinus og tangens
Oppgåve, Interaktivt innhald
Vinklar som ikkje ligg mellom 0° og 360°
Fagstoff, Interaktivt innhald, Video
Vinklar som ikkje ligg mellom 0° og 360°
Oppgåve, Interaktivt innhald
Radianar – absolutt vinkelmål
Fagstoff, Video
Radianar – absolutte vinkelmål
Oppgåve
Eksakte trigonometriske verdiar
Fagstoff, Interaktivt innhald, Video
Eksakte trigonometriske verdiar
Oppgåve
Kva kan du om grunnleggande trigonometriske definisjonar?
Oppgåve, Interaktivt innhald

Fagstoff

Interaktivt innhald

Video

Vinklar som ikkje ligg mellom 0° og 360°

Kva betyr det at ein vinkel er større enn 360°? Kva vil det seie at ein vinkel er negativ?

Negative vinklar

Ein sirkel med radius 1 er plassert i eit koordinatsystem slik at sentrum i sirkelen er origo. P 1 er eit punkt på sirkelen i første kvadrant. P 2 er eit punkt på sirkelen i fjerde kvadrant og er slik at x-koordinaten til dei to punkta er like. Vinkelen mellom linjestykket frå origo til P 1 dannar vinkelen v i forhold til x-aksen. Vinkelen mellom x-aksen og linjestykket mellom origo og P 2 har nemninga minus v. Illustrasjon.

På einingssirkelen har vi at positiv rotasjonsretning er mot urvisaren. Negativ rotasjonsretning blir då med urvisaren.

Vi kan seie at den positive vinkelen $v$ oppstår ved at vi roterer punktet $P_{1}$ om origo frå punktet $(1, 0)$ i positiv retning på einingssirkelen til der det ligg på figuren. Vi har markert rotasjonsretninga på vinkelmarkeringa i figuren.

$v$ er vinkelen mellom den positive $x$ -aksen og linjestykket $O P_{1}$ frå origo til $P_{1}$ .

Den tilsvarande negative vinkelen $- v$ oppstår ved at vi roterer punktet $P_{2}$ like mykje om origo frå punktet $(1, 0)$ som punktet $P_{1}$ , men i negativ retning på einingssirkelen.

Bruk figuren og avgjer kva for nokre av påstandane nedanfor som er rette.

Vinklar som er større enn 360°

Prøv å rekne ut $\sin 450 °$ med kalkulator eller med GeoGebra. Kva får du til svar?

Svar

CAS-utrekning med GeoGebra. På linje 1 står det sin parentes 450 gradar parentes slutt. Svaret er 1. Skjermutklipp. — CAS-utrekning av sin450°

Kjenner du ein annan vinkel som har sinusverdi lik 1?

Svar

Ein vinkel på 90° har sinusverdi lik 1. Matematisk blir det

$\sin 90 ° = 1$

Ein sirkel med radius 1 er plassert i eit koordinatsystem slik at sentrum i sirkelen er origo. P er eit punkt på sirkelen, og vinkelen mellom x-aksen og linjestykket frå origo til P er 495 gradar. Illustrasjon. — Døme på vinkel som er større enn 360 gradar

Ein rotasjon på $360 °$ kallar vi eit omløp. Då har vi gått rundt heile einingssirkelen. Ein vinkel $v \in [0 °, 360 ° 〉$ er ein vinkel i første omløp.

Vi kan òg la eit punkt rotere meir enn $360 °$ på einingssirkelen. Vi får då ein vinkel som er større enn $360 °$ .

Figuren viser vinkelen $v = 495 °$ teikna i eit koordinatsystem. Vinkelbeina til ein vinkel på $495 °$ er dei same som vinkelbeina til ein vinkel på $495 ° - 360 ° = 135 °$ . Vi seier at vinkelen på $135 °$ ligg i første omløp, og vinkelen på $495 °$ ligg i andre omløp.

Kor mange gradar er den minste vinkelen i tredje omløp?

Svar

Den minste vinkelen i tredje omløp får vi når vi når vi går to heile rundar. Vi får

$v = 2 \cdot 360 ° = 720 °$

Vinkelbeina til $v$ vil samanfalle med vinkelbeina til vinklane $360 °$ og $0 °$ .

Generelt vil vinkelbeina til to vinklar $u$ og $v$ falle saman dersom

$u = v + k \cdot 360 °$

der $k$ er eit heilt tal. Desse vinklane får då dei same verdiane for sinus, cosinus og tangens.

Har du høyrt idrettsutøvarar snakke om rotasjonar på $720 °$ , dobbel salto?

Prøv sjølv!

Nedanfor kan du auke vinkelen $v$ til meir enn $360 °$ ved å dra i glidebrytaren.

Last ned simuleringa her(GGB)

Kva er den største verdien vinkelen $v$ kan ha i simuleringa over, og kor mange omløp svarer det til?

Svar

Ved å dra glidebrytaren heilt til høgre får vi at vinkelen $v = 1 080 °$ .

Vi observerer at punktet $P$ roterer tre heile gonger rundt origo frå $0 °$ til $1 080 °$ . Det betyr at ein vinkel på $1 080 °$ svarer til tre heile omløp.

Vi kan òg rekne ut talet på omløp ved å dele på talet på gradar per omløp (360):

$\frac{1 080 °}{360 ° / omløp} = 3 omløp$

Finn alle vinklane i simuleringa som har sinusverdi lik 0,5.

Resultat

Vi startar med $v = 0 °$ , dreg glidebrytaren til enden og noterer alle vinklane som har sinusverdi lik 0,5. Det er totalt 6 vinklar, to for kvart omløp.

$\begin{matrix} 30 ° & , & 150 ° \\ 390 ° & , & 510 ° \\ 750 ° & , & 870 ° \end{matrix}$

På løysingsmengdeform kan vi skrive dette som

$L = \{30 °, 150 °, 390 °, 510 °, 750 °, 870 °\}$

Kvadrantar og vinklar større enn 360 gradar

Kvadrantar og vinklar som er større enn 360°. Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA 4.0