Oppgåve

Interaktivt innhald

Generell definisjon av sinus, cosinus og tangens

Gjer oppgåver med sinus, cosinus og tangens i samanheng med einingssirkelen. Nedst på sida kan du laste ned oppgåvene som Word- og pdf-dokument.

Du kan bruke den interaktive simuleringa nedanfor i arbeidet med oppgåvene.

Du kan laste ned simuleringa her om ho ikkje visest.(GGB)

Oppgåve 1

Finn sinus, cosinus og tangens til vinklane under med simuleringa og med CAS i GeoGebra. I kva kvadrant ligg vinklane?

Tips til utrekninga i GeoGebra

Legg inn alle vinklane i ei liste slik at du kan rekne ut alt på éin gong.

a) 30°

b) 60°

c) 135°

d) 225°

e) 300°

f) 360°

Løysing

CAS-utrekning med GeoGebra, fire linjer. På linje 1 står det v kolon er lik sløyfeparentes 30, 60, 135, 225, 300, 360 sløyfeparentes slutt. Resultatet er det same. På linje 2 står det sin parentes v gradsymbol parentes slutt. Svaret med tilnærming er 0,5, 0,0866, 0,707, minus 0,707, minus 0,866, 0. På linje 3 står det cos parentes v gradsymbol parentes slutt. Svaret med tilnærming er 0,866, 0,5, minus 0,707, minus 0,707, 0,5, 1. På linje 4 står det tan parentes v gradsymbol parentes slutt. Svaret med tilnærming er 0,577, 1,732, minus 1,1 minus 1,732, 0. Skjermutklipp. — Utrekning av mange trigonometriske funksjonar med GeoGebra ved hjelp av liste

For å sleppe så mykje inntasting er det lurt å legge alle vinklane inn i ei liste først, slik vi har gjort her.

a) 30°: Vinkelen ligg i første kvadrant.

b) 60°: Vinkelen ligg i første kvadrant.

c) 135°: Vinkelen ligg i andre kvadrant.

d) 225°: Vinkelen ligg i tredje kvadrant.

e) 300°: Vinkelen ligg i fjerde kvadrant.

f) 360°: Vinkelen ligg mellom første kvadrant og fjerde kvadrant (den positive delen av $x$ -aksen).

Oppgåve 2

Bruk simuleringa. I kva kvadrant ligg vinkelen $v$ når

a) $\cos v < 0 \land \sin v > 0$

Løysing

$\cos v$ er mindre enn 0 i andre og tredje kvadrant. $\sin v$ er større enn 0 i første og andre kvadrant. Då må vinkel $v$ ligge i andre kvadrant.

b) $\tan v < 0 \land \sin v > 0$

Løysing

$\tan v$ er mindre enn 0 i andre og fjerde kvadrant. $\sin v$ er større enn 0 i første og andre kvadrant. Då må vinkel $v$ ligge i andre kvadrant.

c) $\cos v < 0 \land \sin v < 0$

Løysing

$\cos v$ er mindre enn 0 i andre og tredje kvadrant. $\sin v$ er mindre enn 0 i tredje og fjerde kvadrant. Då må vinkel $v$ ligge i tredje kvadrant.

d) $\cos v < 0 \land \tan v > 0$

Løysing

$\cos v$ er mindre enn 0 i andre og tredje kvadrant. $\tan v$ er større enn 0 i første og tredje kvadrant. Då må vinkel $v$ ligge i tredje kvadrant.

e) $\sin v > 0 \land \tan v > 0$

Løysing

$\sin v$ er større enn 0 i første og andre kvadrant. $\tan v$ er større enn 0 i første og tredje kvadrant. Då må vinkel $v$ ligge i første kvadrant.

f) $\cos v > 0 \land \sin v < 0$

Løysing

$\cos v$ er større enn 0 i første og fjerde kvadrant. $\sin v$ er mindre enn 0 i tredje og fjerde kvadrant. Då må vinkel $v$ ligge i fjerde kvadrant.

Oppgåve 3

a) Forklar korleis du kan bruke symmetri på einingssirkelen til å finne ein vinkel som har den same sinusverdien som ein vinkel i første kvadrant.

Løysing

Sirkel med radius lik 1 plassert med sentrum i origo i eit koordinatsystem. Vinklane v og u med x-aksen er teikna inn, og vinklane er slik at summen av dei er 180 gradar. Sinus og cosinus til vinklane er markerte på figuren. Skjermutklipp. — Einingssirkel med supplementvinklane v og u

Vi kan spegle vinkelbeinet til vinkelen $v$ på figuren om $y$ -aksen. Då får vi vinkel $u$ på figuren. For $u$ gjeld at $u = 180 ° - v$ , og $u$ har då den same sinusverdien som $v$ , det vil seie

$\sin u = \sin v$

$u$ og $v$ kallar vi supplementvinklar fordi dei har den same sinusverdien. Vi kan òg skrive dette som

$\sin (180 ° - v) = \sin v$

b) Forklar korleis du kan bruke symmetri på einingssirkelen til å finne ein vinkel som har den same cosinusverdien som ein vinkel i første kvadrant.

Løysing

Einingssirkel med to vinklar v og u. Vinklane har den same cosinusverdien. Cosinus til v er x-koordinaten til skjeringspunktet mellom høgre vinkelbein til vinkel v og einingssirkelen. Det er tilsvarande for cosinus til vinkel u. Illustrasjon. — To vinklar v og u med den same cosinusverdien

Vi kan spegle vinkelbeinet til vinkelen $v$ på figuren om $x$ -aksen. Då får vi vinkel $u$ på figuren. For $u$ gjeld at $u = 360 ° - v$ , og $u$ har då den same cosinusverdien som $v$ , det vil seie

$\cos u = \cos v$

Vi kan òg skrive dette som

$\cos (360 ° - v) = \cos v$

c) Forklar kvifor vinklane $u$ og $v$ på figuren har den same tangensverdien.

Einingssirkel med to vinklar v og u. Vinklane har den same tangensverdien. Den direkte samanhengen mellom vinklane er at u er lik v pluss 180 gradar. Cosinus til u er lik minus cosinus til v. Det er tilsvarande for sinus til vinklane. Illustrasjon. — Vinklane u og v har den same tangensverdien

Løysing

Først kan vi notere at sidan vinkelbeina til $v$ og $u$ ligg langs den same linja (eller speglar kvarandre om origo), får vi at

$u = v + 180 °$

Av den same grunnen får vi at

$\cos u = - \cos v \land \sin u = - \sin v$

Då har vi at

$\tan u = \frac{\sin u}{\cos u} = \frac{- \sin v}{- \cos v} = \frac{\sin v}{\cos v} = \tan v$

Vi kan òg skrive dette som

$\tan (v + 180 °) = \tan v$

Oppgåve 4

Bruk simuleringa øvst på sida til å løyse oppgåvene.

a) Finn to vinklar som er slik at $\sin v = \frac{1}{2}$ .

Løysing

$v = 30 ° \lor v = 150 °$

b) Finn to vinklar som er slik at $\sin v = - \frac{1}{2}$ .

Løysing

$v = 210 ° \lor v = 330 °$

c) Finn to vinklar som er slik at $\cos v = \frac{1}{2}$ .

Løysing

$v = 60 ° \lor v = 300 °$

d) Finn to vinklar som er slik at $\cos v = - \frac{1}{2}$ .

Løysing

$v = 120 ° \lor v = 240 °$

e) Finn to vinklar som er slik at $\tan v = 1$ .

Løysing

$v = 45 ° \lor v = 225 °$

f) Finn to vinklar som er slik at $\tan v = - 1$ .

Løysing

$v = 135 ° \lor v = 315 °$

Oppgåve 5

Ein sirkel med radius 1 er plassert i eit koordinatsystem slik at sentrum i sirkelen er origo. P er eit punkt på sirkelen. Linja x er lik 1 er teikna inn. Skjeringspunktet mellom x-aksen og linja er kalla B. Skjeringspunktet mellom linja gjennom origo og P og linja x er lik 1, er kalla A. Illustrasjon.

Bruk figuren til å forklare kvifor $\tan v$ blir lik lengda av linjestykket $A B$ .

Tips til oppgåva

Bruk formlike trekantar.

Løysing

Vi har definisjonen $\tan v = \frac{\sin v}{\cos v}$ . På figuren har vi at $\sin v = b$ og $\cos v = a$ , og desse er motståande katet og hosliggande katet i forhold til vinkel $v$ i den rettvinkla trekanten inni einingssirkelen.

Denne rettvinkla trekanten er formlik med den rettvinkla trekanten der hjørna er origo, $A$ og $B$ . Då kan vi setje opp

$\begin{array}{rcl} \frac{b}{a} & = & \frac{A B}{1} \\ \frac{\sin v}{\cos v} & = & A B \\ \tan v & = & A B \end{array}$

Alternativt kan vi bruke at

$\tan v = \frac{motståande katet}{hosliggande katet} = \frac{A B}{1} = A B$

Oppgåve 6

a) Du får vite dette om vinklane $u$ og $v$ :

$u, v \in [0 °, 360 ° 〉$
$\cos u = \cos v$
$\sin u > \sin v$
$\tan u > 0$

I kva kvadrant ligg $u$ , og i kva kvadrant ligg $v$ ?

Løysing

Sidan vinklane har den same cosinusverdien, må vinklane anten ligge i første og fjerde kvadrant eller i andre og tredje kvadrant, dersom dei ikkje er like.

Sidan $\sin u > \sin v$ , kan ikkje vinklane vere like, og det er $u$ som ligg i anten første eller i andre kvadrant.

Sidan $\tan u > 0$ , må $u$ ligge i første kvadrant, og då må $v$ ligge i fjerde kvadrant.

b) Du får vite dette om vinklane $u$ og $v$ :

$u, v \in [0 °, 360 ° 〉$
$\sin u = \sin v$
$\cos v > 0$
$\tan u = 1$

Finn vinklane.

Løysing

Når $\tan u = 1$ , betyr det at

$u = 45 ° \lor u = 45 ° + 180 ° = 225 °$

Når $\cos v > 0$ , betyr det at $v$ ligg anten i første eller fjerde kvadrant.

Vinklane har den same sinusverdien. Dersom $u = 45 °$ , må $v = 180 ° - 45 ° = 135 °$ . Men då er $\cos v < 0$ , så det går ikkje. Dersom $u = 225 °$ , det vil seie ligg i tredje kvadrant, må $v$ ligge i fjerde kvadrant for at vinklane skal ha den same sinusverdien. Då er $\cos v > 0$ , som er greitt.

Vi får til slutt at

$\begin{array}{rcl} u & = & 225 ° \\ v & = & 180 ° - 225 ° = - 45 ° \\ = & 360 ° - 45 ° = 315 ° \end{array}$

c) Lag tilsvarande oppgåver som dei to førre, og prøv dei på nokre medelevar.

Oppgåve 7

Lag eit program som finn ut kva kvadrant ein vinkel $v$ ligg i når vi går ut frå at $v \in [0 °, 360 °]$ . Programmet skal sjekke at vinkelen ikkje ligg utanfor dette området. Hugs at vinkelen kan ligge mellom to kvadrantar dersom han til dømes har verdien 90°. Hugs å skrive algoritmen først.

Tips til oppgåva

Det er mange måtar å gjere dette på. Éin metode er å teste direkte om vinkelen har verdi innanfor eller mellom dei ulike kvadrantane. Ein annan metode er å trekke 90 gradar frå vinkelen heilt til resultatet blir mindre enn 90 gradar og telje kor mange gonger 90 gradar kan trekkast frå.

Løysing

Alternativ 1

Forslag til algoritme:

Set variabelen "vinkel" lik $- 1$ .
Skriv til skjermen "Dette programmet finn ut kva kvadrant ein vinkel frå og med 0° til og med 360° ligg i.".
Så lenge "vinkel" er mindre enn 0 eller større enn 360:
- Skriv til skjermen "Skriv inn storleiken på vinkelen: ".
- Ta imot verdien frå brukaren og lagre han i variabelen "vinkel".
- Dersom "vinkel" er mindre enn 0 eller større enn 360:
  - Skriv til skjermen "Vinkelen <vinkel>° er utanfor det gyldige området.".
Test om "vinkel" har verdien 0, 90, 180, 270 eller 360, og gi tilbakemelding om kva to kvadrantar vinkelen ligg mellom.
Test om "vinkel" har verdi mellom 0 og 90 for første kvadrant, 90 og 180 for andre kvadrant og så vidare. Gi tilbakemelding om kvadrant alt etter kva test som slår til.

python

1vinkel = -1
2print("Dette programmet finn ut kva kvadrant ein vinkel")
3print("med verdi frå og med 0° til og med 360° ligg i.")
4    # testar om vinkelen er utanfor området,
5    # og lar brukaren eventuelt skrive inn vinkelen på nytt
6while vinkel < 0 or vinkel > 360:
7  vinkel = float(input("Skriv inn storleiken på vinkelen: "))
8  if vinkel < 0 or vinkel > 360:
9    print(f"Vinkelen {vinkel}° er utanfor det gyldige området.")
10
11if vinkel == 0 or vinkel == 360:
12  print(f"Vinkelen {vinkel}° ligg mellom første og fjerde kvadrant.")
13elif vinkel == 90:
14  print(f"Vinkelen {vinkel}° ligg mellom første og andre kvadrant.")
15elif vinkel == 180:
16  print(f"Vinkelen {vinkel}° ligg mellom andre og tredje kvadrant.")
17elif vinkel == 270:
18  print(f"Vinkelen {vinkel}° ligg mellom tredje og fjerde kvadrant.")
19
20elif vinkel < 90:
21  print(f"Vinkelen {vinkel}° ligg i første kvadrant.")
22elif vinkel > 90 and vinkel < 180:
23  print(f"Vinkelen {vinkel}° ligg i andre kvadrant.")
24elif vinkel > 180 and vinkel < 270:
25  print(f"Vinkelen {vinkel}° ligg i tredje kvadrant.")
26else:
27  print(f"Vinkelen {vinkel}° ligg i fjerde kvadrant.")

Alternativ 2

Dette alternativet gir eit litt kortare program. Forslag til algoritme:

Set variabelen "vinkel" lik $- 1$ .
Skriv til skjermen "Dette programmet finn ut kva kvadrant ein vinkel frå og med 0° til og med 360° ligg i.".
Så lenge "vinkel" er mindre enn 0 eller større enn 360:
- Skriv til skjermen "Skriv inn storleiken på vinkelen: ".
- Ta imot verdien frå brukaren og lagre han i variabelen "vinkel".
- Dersom "vinkel" er mindre enn 0 eller større enn 360:
  - Skriv til skjermen "Vinkelen <vinkel>° er utanfor det gyldige området.".
Set variabelen "testvinkel" lik "vinkel".
Set variabelen "kvadrant" lik 1.
Så lenge "testvinkel" er større eller lik 90:
- Set "testvinkel" lik "testvinkel" minus 90.
- Set "kvadrant" lik "kvadrant" pluss 1.
Dersom "vinkel" er 0 eller 360, skriv til skjermen 'Vinkelen <"vinkel">° ligg mellom kvadrantane 1 og 4.'.
Eller dersom "testvinkel" er lik 0, skriv til skjermen "Vinkelen <"vinkel">° ligg mellom kvadrantane <"kvadrant" minus 1> og <"kvadrant">.".
Viss ikkje, skriv til skjermen "Vinkelen <"vinkel">° ligg i <"kvadrant">. kvadrant.".

Forslag til program:

python

1vinkel = -1
2print("Dette programmet finn ut kva kvadrant ein vinkel")
3print("med verdi frå og med 0° til og med 360° ligg i.")
4    # testar om vinkelen er utanfor området,
5    # og lar brukaren eventuelt skrive inn vinkelen på nytt
6while vinkel < 0 or vinkel > 360:
7  vinkel = float(input("Skriv inn storleiken på vinkelen: "))
8  if vinkel < 0 or vinkel > 360:
9    print(f"Vinkelen {vinkel}° er utanfor det gyldige området.")
10
11testvinkel = vinkel
12kvadrant = 1
13
14while testvinkel >= 90:
15  testvinkel = testvinkel - 90
16  kvadrant = kvadrant + 1
17  
18if vinkel == 0 or vinkel == 360:  # desse to alternativa blir behandla spesielt
19  print(f"Vinkelen {vinkel}° ligg mellom kvadrantane 1 og 4.")
20elif testvinkel == 0:
21  print(f"Vinkelen {vinkel}° ligg mellom kvadrantane {kvadrant - 1} og {kvadrant}.")
22else:
23  print(f"Vinkelen {vinkel}° ligg i {kvadrant}. kvadrant.")

Nedlastbare filer

Her kan du laste ned oppgåvene som Word- og pdf-dokument.

Grunnleggande definisjonar