Oppgave

Interaktivt innhold

Generell definisjon av sinus, cosinus og tangens

Gjør oppgaver med sinus, cosinus og tangens i forbindelse med enhetssirkelen. Nederst på siden kan du laste ned oppgavene som Word- og pdf-dokumenter.

Du kan bruke den interaktive simuleringen nedenfor i arbeidet med oppgavene.

Du kan laste ned simuleringen her dersom den ikke vises.(GGB)

Oppgave 1

Finn sinus, cosinus og tangens til følgende vinkler med simuleringen og med CAS i GeoGebra. I hvilken kvadrant ligger vinklene?

Tips til utregningen i GeoGebra

Legg inn alle vinklene i ei liste slik at du kan regne ut alt på én gang.

a) 30°

b) 60°

c) 135°

d) 225°

e) 300°

f) 360°

Løsning

CAS-utregning med GeoGebra, fire linjer. På linje 1 står det v kolon er lik sløyfeparentes 30, 60, 135, 225, 300, 360 sløyfeparentes slutt. Resultatet er det samme. På linje 2 står det sin parentes v gradsymbol parentes slutt. Svaret med tilnærming er 0,5, 0,0866, 0,707, minus 0,707, minus 0,866, 0. På linje 3 står det cos parentes v gradsymbol parentes slutt. Svaret med tilnærming er 0,866, 0,5, minus 0,707, minus 0,707, 0,5, 1. På linje 4 står det tan parentes v gradsymbol parentes slutt. Svaret med tilnærming er 0,577, 1,732, minus 1,1 minus 1,732, 0. Skjermutklipp. — Utregning av mange trigonometriske funksjoner med GeoGebra ved hjelp av liste

For å slippe så mye inntasting er det lurt å legge alle vinklene inn i ei liste først, slik vi har gjort her.

a) 30°: Vinkelen ligger i første kvadrant.

b) 60°: Vinkelen ligger i første kvadrant.

c) 135°: Vinkelen ligger i andre kvadrant.

d) 225°: Vinkelen ligger i tredje kvadrant.

e) 300°: Vinkelen ligger i fjerde kvadrant.

f) 360°: Vinkelen ligger mellom første kvadrant og fjerde kvadrant (den positive delen av $x$ -aksen).

Oppgave 2

Bruk simuleringen. I hvilken kvadrant ligger vinkelen $v$ når

a) $\cos v < 0 \land \sin v > 0$

Løsning

$\cos v$ er mindre enn 0 i andre og tredje kvadrant. $\sin v$ er større enn 0 i første og andre kvadrant. Da må vinkel $v$ ligge i andre kvadrant.

b) $\tan v < 0 \land \sin v > 0$

Løsning

$\tan v$ er mindre enn 0 i andre og fjerde kvadrant. $\sin v$ er større enn 0 i første og andre kvadrant. Da må vinkel $v$ ligge i andre kvadrant.

c) $\cos v < 0 \land \sin v < 0$

Løsning

$\cos v$ er mindre enn 0 i andre og tredje kvadrant. $\sin v$ er mindre enn 0 i tredje og fjerde kvadrant. Da må vinkel $v$ ligge i tredje kvadrant.

d) $\cos v < 0 \land \tan v > 0$

Løsning

$\cos v$ er mindre enn 0 i andre og tredje kvadrant. $\tan v$ er større enn 0 i første og tredje kvadrant. Da må vinkel $v$ ligge i tredje kvadrant.

e) $\sin v > 0 \land \tan v > 0$

Løsning

$\sin v$ er større enn 0 i første og andre kvadrant. $\tan v$ er større enn 0 i første og tredje kvadrant. Da må vinkel $v$ ligge i første kvadrant.

f) $\cos v > 0 \land \sin v < 0$

Løsning

$\cos v$ er større enn 0 i første og fjerde kvadrant. $\sin v$ er mindre enn 0 i tredje og fjerde kvadrant. Da må vinkel $v$ ligge i fjerde kvadrant.

Oppgave 3

a) Forklar hvordan du kan bruke symmetri på enhetssirkelen til å finne en vinkel som har den samme sinusverdien som en vinkel i første kvadrant.

Løsning

Sirkel med radius lik 1 plassert med sentrum i origo i et koordinatsystem. Vinklene v og u med x-aksen er tegnet inn, og vinklene er slik at summen av dem er 180 grader. Sinus og cosinus til vinklene er markert på figuren. Skjermutklipp. — Enhetssirkel med supplementvinklene v og u

Vi kan speile vinkelbeinet til vinkelen $v$ på figuren om $y$ -aksen. Da får vi vinkel $u$ på figuren. For $u$ gjelder at $u = 180 ° - v$ , og $u$ har da den samme sinusverdien som $v$ , det vil si

$\sin u = \sin v$

$u$ og $v$ kalles supplementvinkler fordi de har den samme sinusverdien. Vi kan også skrive dette som

$\sin (180 ° - v) = \sin v$

b) Forklar hvordan du kan bruke symmetri på enhetssirkelen til å finne en vinkel som har den samme cosinusverdien som en vinkel i første kvadrant.

Løsning

Enhetssirkel med to vinkler v og u. Vinklene har den samme cosinusverdien. Cosinus til v er x-koordinaten til skjæringspunktet mellom høyre vinkelbein til vinkel v og enhetssirkelen. Det er tilsvarende for cosinus til vinkel u. Illustrasjon. — To vinkler v og u med den samme cosinusverdien

Vi kan speile vinkelbeinet til vinkelen $v$ på figuren om $x$ -aksen. Da får vi vinkel $u$ på figuren. For $u$ gjelder at $u = 360 ° - v$ , og $u$ har da den samme cosinusverdien som $v$ , det vil si

$\cos u = \cos v$

Vi kan også skrive dette som

$\cos (360 ° - v) = \cos v$

c) Forklar hvorfor vinklene $u$ og $v$ på figuren har den samme tangensverdien.

Enhetssirkel med to vinkler v og u. Vinklene har den samme tangensverdien. Den direkte sammenhengen mellom vinklene er at u er lik v pluss 180 grader. Cosinus til u er lik minus cosinus til v. Det er tilsvarende for sinus til vinklene. Illustrasjon. — Vinklene u og v har den samme tangensverdien

Løsning

Først kan vi notere at siden vinkelbeina til $v$ og $u$ ligger langs den samme linja (eller speiler hverandre om origo), får vi at

$u = v + 180 °$

Av samme grunn får vi at

$\cos u = - \cos v \land \sin u = - \sin v$

Da har vi at

$\tan u = \frac{\sin u}{\cos u} = \frac{- \sin v}{- \cos v} = \frac{\sin v}{\cos v} = \tan v$

Vi kan også skrive dette som

$\tan (v + 180 °) = \tan v$

Oppgave 4

Bruk simuleringen øverst på siden til å løse oppgavene.

a) Finn to vinkler som er slik at $\sin v = \frac{1}{2}$ .

Løsning

$v = 30 ° \lor v = 150 °$

b) Finn to vinkler som er slik at $\sin v = - \frac{1}{2}$ .

Løsning

$v = 210 ° \lor v = 330 °$

c) Finn to vinkler som er slik at $\cos v = \frac{1}{2}$ .

Løsning

$v = 60 ° \lor v = 300 °$

d) Finn to vinkler som er slik at $\cos v = - \frac{1}{2}$ .

Løsning

$v = 120 ° \lor v = 240 °$

e) Finn to vinkler som er slik at $\tan v = 1$ .

Løsning

$v = 45 ° \lor v = 225 °$

f) Finn to vinkler som er slik at $\tan v = - 1$ .

Løsning

$v = 135 ° \lor v = 315 °$

Oppgave 5

En sirkel med radius 1 er plassert i et koordinatsystem slik at sentrum i sirkelen er origo. P er et punkt på sirkelen. Linja x er lik 1 er tegnet inn. Skjæringspunktet mellom x-aksen og linja kalles B. Skjæringspunktet mellom linja gjennom origo og P og linja x er lik 1, kalles A. Illustrasjon.

Bruk figuren til å forklare hvorfor $\tan v$ blir lik lengden av linjestykket $A B$ .

Tips til oppgaven

Bruk formlike trekanter.

Løsning

Vi har definisjonen $\tan v = \frac{\sin v}{\cos v}$ . På figuren har vi at $\sin v = b$ og $\cos v = a$ , og disse er motstående katet og hosliggende katet i forhold til vinkel $v$ i den rettvinklede trekanten inni enhetssirkelen.

Denne rettvinklede trekanten er formlik med den rettvinklede trekanten der hjørnene er origo, $A$ og $B$ . Da kan vi sette opp

$\begin{array}{rcl} \frac{b}{a} & = & \frac{A B}{1} \\ \frac{\sin v}{\cos v} & = & A B \\ \tan v & = & A B \end{array}$

Alternativt kan vi bruke at

$\tan v = \frac{motstående katet}{hosliggende katet} = \frac{A B}{1} = A B$

Oppgave 6

a) Du får vite følgende om vinklene $u$ og $v$ :

$u, v \in [0 °, 360 ° 〉$
$\cos u = \cos v$
$\sin u > \sin v$
$\tan u > 0$

I hvilken kvadrant ligger $u$ , og i hvilken kvadrant ligger $v$ ?

Løsning

Siden vinklene har den samme cosinusverdien, må vinklene enten ligge i første og fjerde kvadrant eller i andre og tredje kvadrant, hvis de ikke er like.

Siden $\sin u > \sin v$ , kan ikke vinklene være like, og det er $u$ som ligger i enten første eller i andre kvadrant.

Siden $\tan u > 0$ , må $u$ ligge i første kvadrant, og da må $v$ ligge i fjerde kvadrant.

b) Du får vite følgende om vinklene $u$ og $v$ :

$u, v \in [0 °, 360 ° 〉$
$\sin u = \sin v$
$\cos v > 0$
$\tan u = 1$

Finn vinklene.

Løsning

Når $\tan u = 1$ , betyr det at

$u = 45 ° \lor u = 45 ° + 180 ° = 225 °$

Når $\cos v > 0$ , betyr det at $v$ ligger enten i første eller fjerde kvadrant.

Vinklene har den samme sinusverdien. Dersom $u = 45 °$ , må $v = 180 ° - 45 ° = 135 °$ . Men da er $\cos v < 0$ , så det går ikke. Dersom $u = 225 °$ , det vil si ligger i tredje kvadrant, må $v$ ligge i fjerde kvadrant for at vinklene skal ha den samme sinusverdien. Da er $\cos v > 0$ , som er greit.

Vi får til slutt at

$\begin{array}{rcl} u & = & 225 ° \\ v & = & 180 ° - 225 ° = - 45 ° \\ = & 360 ° - 45 ° = 315 ° \end{array}$

c) Lag tilsvarende oppgaver som de to forrige, og prøv dem på noen medelever.

Oppgave 7

Lag et program som finner ut hvilken kvadrant en vinkel $v$ ligger i når vi antar at $v \in [0 °, 360 °]$ . Programmet skal sjekke at vinkelen ikke ligger utenfor dette området. Husk at vinkelen kan ligge mellom to kvadranter dersom den for eksempel har verdien 90°. Husk å skrive algoritmen først.

Tips til oppgaven

Det er mange måter å gjøre dette på. Én metode er å teste direkte om vinkelen har verdi innenfor eller mellom de ulike kvadrantene. En annen metode er å trekke 90 grader fra vinkelen helt til resultatet blir mindre enn 90 grader og telle hvor mange ganger 90 grader kan trekkes fra.

Løsning

Alternativ 1

Forslag til algoritme:

Sett variabelen "vinkel" lik $- 1$ .
Skriv til skjermen "Dette programmet finner ut hvilken kvadrant en vinkel fra og med 0° til og med 360° ligger i.".
Så lenge "vinkel" er mindre enn 0 eller større enn 360:
- Skriv til skjermen "Skriv inn størrelsen på vinkelen: ".
- Ta imot verdien fra brukeren og lagre den i variabelen "vinkel".
- Hvis "vinkel" er mindre enn 0 eller større enn 360:
  - Skriv til skjermen "Vinkelen <vinkel>° er utenfor det gyldige området.".
Test om "vinkel" har verdien 0, 90, 180, 270 eller 360, og gi tilbakemelding om hvilke to kvadranter vinkelen ligger mellom.
Test om "vinkel" har verdi mellom 0 og 90 for første kvadrant, 90 og 180 for andre kvadrant og så videre. Gi tilbakemelding om kvadrant alt etter hvilken test som slår til.

python

1vinkel = -1
2print("Dette programmet finner ut hvilken kvadrant en vinkel")
3print("med verdi fra og med 0° til og med 360° ligger i.")
4    # tester om vinkelen er utenfor området,
5    # og lar brukeren eventuelt skrive inn vinkelen på nytt
6while vinkel < 0 or vinkel > 360:
7  vinkel = float(input("Skriv inn størrelsen på vinkelen: "))
8  if vinkel < 0 or vinkel > 360:
9    print(f"Vinkelen {vinkel}° er utenfor det gyldige området.")
10
11if vinkel == 0 or vinkel == 360:
12  print(f"Vinkelen {vinkel}° ligger mellom første og fjerde kvadrant.")
13elif vinkel == 90:
14  print(f"Vinkelen {vinkel}° ligger mellom første og andre kvadrant.")
15elif vinkel == 180:
16  print(f"Vinkelen {vinkel}° ligger mellom andre og tredje kvadrant.")
17elif vinkel == 270:
18  print(f"Vinkelen {vinkel}° ligger mellom tredje og fjerde kvadrant.")
19
20elif vinkel < 90:
21  print(f"Vinkelen {vinkel}° ligger i første kvadrant.")
22elif vinkel > 90 and vinkel < 180:
23  print(f"Vinkelen {vinkel}° ligger i andre kvadrant.")
24elif vinkel > 180 and vinkel < 270:
25  print(f"Vinkelen {vinkel}° ligger i tredje kvadrant.")
26else:
27  print(f"Vinkelen {vinkel}° ligger i fjerde kvadrant.")

Alternativ 2

Dette alternativet gir et litt kortere program. Forslag til algoritme:

Sett variabelen "vinkel" lik $- 1$ .
Skriv til skjermen "Dette programmet finner ut hvilken kvadrant en vinkel fra og med 0° til og med 360° ligger i.".
Så lenge "vinkel" er mindre enn 0 eller større enn 360:
- Skriv til skjermen "Skriv inn størrelsen på vinkelen: ".
- Ta imot verdien fra brukeren og lagre den i variabelen "vinkel".
- Hvis "vinkel" er mindre enn 0 eller større enn 360:
  - Skriv til skjermen "Vinkelen <vinkel>° er utenfor det gyldige området.".
Sett variabelen "testvinkel" lik "vinkel".
Sett variabelen "kvadrant" lik 1.
Så lenge "testvinkel" er større eller lik 90:
- Sett "testvinkel" lik "testvinkel" minus 90.
- Sett "kvadrant" lik "kvadrant" pluss 1.
Hvis "vinkel" er 0 eller 360, skriv til skjermen 'Vinkelen <"vinkel">° ligger mellom kvadrantene 1 og 4.'.
Eller hvis "testvinkel" er lik 0, skriv til skjermen "Vinkelen <"vinkel">° ligger mellom kvadrantene <"kvadrant" minus 1> og <"kvadrant">.".
Hvis ikke, skriv til skjermen "Vinkelen <"vinkel">° ligger i <"kvadrant">. kvadrant.".

Forslag til program:

python

1vinkel = -1
2print("Dette programmet finner ut hvilken kvadrant en vinkel")
3print("med verdi fra og med 0° til og med 360° ligger i.")
4    # tester om vinkelen er utenfor området,
5    # og lar brukeren eventuelt skrive inn vinkelen på nytt
6while vinkel < 0 or vinkel > 360:
7  vinkel = float(input("Skriv inn størrelsen på vinkelen: "))
8  if vinkel < 0 or vinkel > 360:
9    print(f"Vinkelen {vinkel}° er utenfor det gyldige området.")
10
11testvinkel = vinkel
12kvadrant = 1
13
14while testvinkel >= 90:
15  testvinkel = testvinkel - 90
16  kvadrant = kvadrant + 1
17  
18if vinkel == 0 or vinkel == 360:  # disse to alternativene behandles spesielt
19  print(f"Vinkelen {vinkel}° ligger mellom kvadrantene 1 og 4.")
20elif testvinkel == 0:
21  print(f"Vinkelen {vinkel}° ligger mellom kvadrantene {kvadrant - 1} og {kvadrant}.")
22else:
23  print(f"Vinkelen {vinkel}° ligger i {kvadrant}. kvadrant.")

Nedlastbare filer

Her kan du laste ned oppgavene som Word- og pdf-dokumenter.

Grunnleggende definisjoner