Generell definisjon av sinus, cosinus og tangens
Definisjon av sinus, cosinus og tangens til ein vinkel mellom 0° og 90°
I matematikk 1T startar vi med å definere sinus, cosinus og tangens til ein vinkel i ein rettvinkla trekant ved hjelp av forholdet mellom dei ulike sidene i trekanten.
Hugsar du kva vi kallar dei ulike sidene i trekanten nedanfor sett frå hjørnet
Hugsar du korleis vi definerte sinus, cosinus og tangens til vinkel
Generell definisjon av sinus, cosinus og tangens til ein vinkel
Einingssirkelen
I 1T definerer vi òg dei trigonometriske funksjonane ved hjelp av einingssirkelen. Dette gjer at det til dømes blir mogleg å finne sinus til vinklar som er større enn 90 gradar.
Figuren viser ein sirkel med radius 1 og som er plassert med sentrum i origo i eit koordinatsystem. Ein slik sirkel kallar vi einingssirkelen. Eit punkt
Tenk over
Bruk figuren og definisjonane til sinus og cosinus til ein vinkel i ein rettvinkla trekant til å forklare kvifor
sin v = b cos v = a tan v = sin v cos v , cos v ≠ 0
Forklaring
Vi ser på den rettvinkla trekanten der hjørna består av origo, punktet
På same måte får vi at den hosliggande kateten til vinkel
Til slutt får vi at
Merk at vi i definisjonen for
Vi definerer sinus og cosinus til vinkel
-koordinaten til punktetcos v = x P -koordinaten til punktetsin v = y P tan v = sin v cos v
Punktet
Kvadrantar
I det vidare arbeidet med vinklar i koordinatsystemet vil det vere nyttig å dele koordinatsystemet i fire kvadrantar. Sjå figuren.
Nummereringa følger den positive rotasjonsretninga i einingssirkelen, som er mot klokka.
Vi plasserer ein vinkel med toppunkt i origo og eitt vinkelbein langs den positive
Tenk over
I kva kvadrant ligg vinkel
Svar
Vinkel
I kva kvadrant ligg ein vinkel på 200°?
Svar
Den andre kvadranten sluttar på 180°, så vinkelen må ligge i tredje kvadrant. (Tredje kvadrant sluttar på 270°.)
Utforsking av einingssirkelen
Prøv sjølv
Dra i glidebrytaren for å endre på vinkelen 𝑣 i det interaktive GeoGebra-arket nedanfor. Observer samanhengen mellom vinkelen
Filer
Aktivitetar til den interaktive einingssirkelen
Bruk den interaktive einingssirkelen når du svarer på spørsmåla.
Kan sin 𝑣 og cos 𝑣 ha negative verdiar? For kva vinklar er funksjonane positive og negative?
Forklaring
Når punktet
Dersom vi dreg glidebrytaren over heile området, får vi at sin 𝑣 er større enn eller lik null frå 0 gradar til 180 gradar.
Vi får vidare at cos 𝑣 er større enn null når vinkelen 𝑣 er mellom 0 og 90 gradar og mellom 270 gradar og 360 gradar.
Matematisk:
Bruk det interaktive GeoGebra-arket til å finne
Resultat
Kan du finne to vinklar som har sinusverdi lik 0,5?
Resultat
Ved å dra i glidebrytaren får vi at
Vi observerer at når vinkelen aukar frå 0 gradar til 90 gradar, aukar verdien for sin 𝑣 frå 0 til 1. Når vinkelen aukar vidare frå 90 gradar til 180 gradar, minkar verdien for sin 𝑣 frå 1 til 0. Det må bety at det finst to vinklar som har same sinusverdi i dette området, éin vinkel mellom 0 og 90 gradar og éin vinkel mellom 90 og 180 gradar.
I ei av oppgåvene skal du utforske meir om slike samanhengar.
Kva trur du skjer med sinus, cosinus og tangens dersom
Forklaring
Når
Kvifor kallar vi sirkelen vi har brukt på denne sida, einingssirkelen, trur du?
Svar
Sirkelen blir kalla einingssirkelen fordi han har radius lik 1.