Fagartikkel

Generell definisjon av sinus, cosinus og tangens

Vi ønsker å kunne berekne til dømes sinus til ein vinkel uansett kva verdi denne vinkelen har. Det får vi til ved å definere sinus til ein vinkel ved hjelp av einingssirkelen.

Definisjon av sinus, cosinus og tangens til ein vinkel mellom 0° og 90°

I matematikk 1T startar vi med å definere sinus, cosinus og tangens til ein vinkel $v$ i ein rettvinkla trekant ved hjelp av forholdet mellom dei ulike sidene i trekanten.

Hugsar du kva vi kallar dei ulike sidene i trekanten nedanfor sett frå hjørnet $B$ ? Dra dei tre namna på rett plass i trekanten $A B C$ .

Hugsar du korleis vi definerte sinus, cosinus og tangens til vinkel $v$ i ein rettvinkla trekant? Dra rett uttrykk til rett stad i figuren nedanfor. Nokre av uttrykka blir ikkje brukte og skal dragast til feltet "Blir ikkje brukt".

Generell definisjon av sinus, cosinus og tangens til ein vinkel

Einingssirkelen

Ein sirkel med radius 1 er plassert i eit koordinatsystem slik at sentrum i sirkelen er origo. P er eit punkt på sirkelen og har koordinatane a og b. Illustrasjon. — Einingssirkel med punkt P. Bilete: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

I 1T definerer vi òg dei trigonometriske funksjonane ved hjelp av einingssirkelen. Dette gjer at det til dømes blir mogleg å finne sinus til vinklar som er større enn 90 gradar.

Figuren viser ein sirkel med radius 1 og som er plassert med sentrum i origo i eit koordinatsystem. Ein slik sirkel kallar vi einingssirkelen. Eit punkt $P$ ligg på sirkelen. Vi kallar koordinatane til punktet for $(a, b)$ , og vinkelen mellom linjestykket mellom origo og $P$ og $x$ -aksen kallar vi $v$ .

Tenk over

Bruk figuren og definisjonane til sinus og cosinus til ein vinkel i ein rettvinkla trekant til å forklare kvifor

$\sin v = b$
$\cos v = a$
$\tan v = \frac{\sin v}{\cos v}, \cos v \neq 0$

Forklaring

$\sin v$ :
Vi ser på den rettvinkla trekanten der hjørna består av origo, punktet $P$ og det raude punktet på $x$ -aksen. Av figuren får vi at motståande katet til vinkel $v$ er linjestykket mellom det raude punktet og $P$ . Linjestykket har lengda $b$ , som er $y$ -koordinaten til $P$ . Vi får

$\sin v = \frac{motståande katet}{hypotenus} = \frac{b}{1} = b$

$\cos v$ :
På same måte får vi at den hosliggande kateten til vinkel $v$ er linjestykket mellom origo og det raude punktet. Dette linjestykket har lengda $a$ , som er $x$ -koordinaten til $P$ . Vi får

$\cos v = \frac{hosliggande katet}{hypotenus} = \frac{a}{1} = a$

$\tan v$ :
Til slutt får vi at

$\tan v = \frac{motståande katet}{hosliggande katet} = \frac{b}{a} = \frac{\sin v}{\cos v}$

Merk at vi i definisjonen for $\tan v$ må krevje at $\cos v \neq 0$ .

Ein sirkel med radius 1 er plassert i eit koordinatsystem slik at sentrum i sirkelen er origo. P er eit punkt på sirkelen og har koordinatane cosv og sinv. Illustrasjon. — Einingssirkelen med definisjon av cosinus til vinkel v og sinus til vinkel v. Bilete: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Vi definerer sinus og cosinus til vinkel $v$ slik:

$\cos v = x$ -koordinaten til punktet $P$
$\sin v = y$ -koordinaten til punktet $P$
$\tan v = \frac{\sin v}{\cos v}$

Punktet $P$ ligg på einingssirkelen. Med denne definisjonen er det ikkje noko problem at vinkel $v$ blir større enn 90°.

Kvadrantar

I det vidare arbeidet med vinklar i koordinatsystemet vil det vere nyttig å dele koordinatsystemet i fire kvadrantar. Sjå figuren.

Ein sirkel med radius 1 er plassert i eit koordinatsystem slik at sentrum i sirkelen ligg i origo. Den delen av koordinatsystemet der både x- og y-koordinatane er positive, blir kalla første kvadrant. Den delen av koordinatsystemet der x-koordinatane er negative og y-koordinatane er positive, blir kalla andre kvadrant. Den delen av koordinatsystemet der både x- og y-koordinatane er negative, blir kalla tredje kvadrant. Den delen av koordinatsystemet der x-koordinatane er positive og y-koordinatane er negative, blir kalla fjerde kvadrant. Illustrasjon. — Kvadrantane og einingssirkelen. Bilete: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Nummereringa følger den positive rotasjonsretninga i einingssirkelen, som er mot klokka.

Vi plasserer ein vinkel med toppunkt i origo og eitt vinkelbein langs den positive $x$ -aksen slik som i figurane over. Dersom det andre vinkelbeinet ligg i andre kvadrant, seier vi at vinkelen ligg i andre kvadrant. Til dømes vil vinklar mellom 90° og 180° ligge i andre kvadrant.

Tenk over

I kva kvadrant ligg vinkel $v$ frå definisjonen over?

Svar

Vinkel $v$ ligg i andre kvadrant.

I kva kvadrant ligg ein vinkel på 200°?

Svar

Den andre kvadranten sluttar på 180°, så vinkelen må ligge i tredje kvadrant. (Tredje kvadrant sluttar på 270°.)

Utforsking av einingssirkelen

Prøv sjølv

Dra i glidebrytaren for å endre på vinkelen 𝑣 i det interaktive GeoGebra-arket nedanfor. Observer samanhengen mellom vinkelen $v$ og sinus- og cosinusverdien til vinkelen.

Filer

Du kan laste ned simuleringa her om ho ikkje dukkar opp.(GGB)

Aktivitetar til den interaktive einingssirkelen

Bruk den interaktive einingssirkelen når du svarer på spørsmåla.

Kan sin 𝑣 og cos 𝑣 ha negative verdiar? For kva vinklar er funksjonane positive og negative?

Forklaring

Når punktet $P$ kjem utanfor første kvadrant, blir minst ein av dei trigonometriske funksjonane negativ.

Dersom vi dreg glidebrytaren over heile området, får vi at sin 𝑣 er større enn eller lik null frå 0 gradar til 180 gradar. $\sin v$ er mindre enn null i intervallet frå 180 gradar til 360 gradar.

Vi får vidare at cos 𝑣 er større enn null når vinkelen 𝑣 er mellom 0 og 90 gradar og mellom 270 gradar og 360 gradar. $\cos v$ mindre enn null når vinkelen er mellom 90 gradar og 270 gradar.

Matematisk:

$\sin v > 0 når 0 ° < v < 180 °$ (1. og 2. kvadrant)

$\sin v < 0 når 180 ° < v < 360 °$ (3. og 4. kvadrant)

$\cos v > 0 når 0 ° < v < 90 ° \land 270 ° < v < 360 °$ (1. kvadrant og 4. kvadrant)

$\cos v < 0 når 90 ° < v < 270 °$ (2. og 3. kvadrant)

Bruk det interaktive GeoGebra-arket til å finne $\cos 120 °$ , $\sin 120 °$ og $\tan 120 °$ .

Resultat

$\begin{array}{rcl} cos 120° & = & - 0,5 \\ \sin 120 ° & = & 0, 866 \\ \tan 120 ° & = & \frac{0, 866}{- 0, 5} = - 1, 732 \end{array}$

Kan du finne to vinklar som har sinusverdi lik 0,5?

Resultat

Ved å dra i glidebrytaren får vi at

$\sin 30 ° = \sin 150 ° = 0, 5$

Vi observerer at når vinkelen aukar frå 0 gradar til 90 gradar, aukar verdien for sin 𝑣 frå 0 til 1. Når vinkelen aukar vidare frå 90 gradar til 180 gradar, minkar verdien for sin 𝑣 frå 1 til 0. Det må bety at det finst to vinklar som har same sinusverdi i dette området, éin vinkel mellom 0 og 90 gradar og éin vinkel mellom 90 og 180 gradar.

I ei av oppgåvene skal du utforske meir om slike samanhengar.

Kva trur du skjer med sinus, cosinus og tangens dersom $v = 360 °$ ?

Forklaring

Når $v = 360 °$ , har vi den same situasjonen som når $v = 0 °$ . Det må bety at

$\begin{array}{rcl} \cos 360 ° & = & \cos 0 ° = 1 \\ \sin 360 ° & = & \sin 0 ° = 0 \\ \tan 360 ° & = & \tan 0 ° = \frac{0}{1} = 0 \end{array}$

Kvifor kallar vi sirkelen vi har brukt på denne sida, einingssirkelen, trur du?

Svar

Sirkelen blir kalla einingssirkelen fordi han har radius lik 1.

Film om einingssirkelen

Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA 4.0