Hopp til innhald
Oppgåve

Eksakte trigonometriske verdiar

Øv på å finne eksakte trigonometriske verdiar her.

Før du går laus på oppgåvene her, bør du gjere øvinga nedst på teorisida "Eksakte trigonometriske verdiar". Øv på å kunne dei eksakte verdiane i øvinga.

Oppgåvene skal løysast utan hjelpemiddel.

2.1.30

Først skal du lage ein hjelpefigur til dei to neste oppgåvene.

  • Teikn ein einingssirkel.

  • Teikn ein vinkel v i første omløp.

  • Teikn inn vinklane 180°-v, 180°+v og 360°-v.

Løysing

2.1.31

Skriv svara i radianar.

a) Kva vinkel i første kvadrant har sinusverdi 123?

Løysing

π3

b) Kva vinkel i første kvadrant har cosinusverdi 123?

Løysing

π6

c) Kva vinkel i første kvadrant har tangensverdi 133?

Løysing

π6

d) Kva vinkel i andre kvadrant har sinusverdi 123?

Løysing

Supplementvinkelen til ein vinkel i andre kvadrant ligg i første kvadrant og har same sinusverdi. Sidan sinπ3=123, blir vinkelen

π-π3=2π3

e) Kva vinkel i tredje kvadrant har sinusverdi -123?

Løysing

Ein vinkel i første kvadrant har motsett sinusverdi av vinkelen som er π større og dermed ligg i tredje kvadrant. Sidan sinπ3=123, blir vinkelen i tredje kvadrant

π+π3=4π3

f) Kva vinkel i fjerde kvadrant har sinusverdi -123?

Løysing

Ein vinkel v i første kvadrant har motsett sinusverdi som vinkelen 2π-v i fjerde kvadrant. Vinkelen i fjerde kvadrant er

2π-π3=6π3-π3=5π3

g) Kva vinkel i tredje kvadrant har cosinusverdi -123?

Løysing

Ein vinkel i tredje kvadrant har motsett cosinusverdi av vinkelen som er π større og dermed ligg i tredje kvadrant. Vinkelen i tredje kvadrant er

π+π6=7π6

h) Kva vinkel i fjerde kvadrant har tangensverdi 1?

Løysing

Alle vinklar i fjerde kvadrant har negativ tangensverdi. Altså finst det ingen vinkel i fjerde kvadrant med tangensverdi 1.

i) Kva vinklar i første omløp har sinusverdi 12?

Løysing

Dette må vere to supplementvinklar der den eine ligg i første kvadrant og den andre ligg i andre kvadrant sidan dei har positiv sinusverdi. Vinklane er

π6 og π-π6=5π6

j) Kva vinklar i første omløp har cosinusverdi -122?

Løysing

Dette må vere to vinklar der den eine ligg i andre kvadrant og den andre ligg i tredje kvadrant sidan vinklane har negativ cosinusverdi. Vi kan finne vinkelen i andre kvadrant ved å bruke at han må ha motsett cosinusverdi av supplementvinkelen, som må vere π4. Vinkelen i tredje kvadrant må vere π større enn π4. Vinklane er

π-π4=3π4 og π+π4=5π4

k) Kva vinklar i første omløp har tangensverdi -1?

Løysing

Dette må vere to vinklar der den eine ligg i andre kvadrant og den andre ligg i fjerde kvadrant sidan tangensverdien er negativ. Vi kan finne vinkelen i fjerde kvadrant ved å bruke at ein vinkel v i første kvadrant har motsett tangensverdi av vinkelen 2π-v, som ligg i fjerde kvadrant. Den andre vinkelen er π mindre enn denne. Vinklane er

2π-π4=8π4-π4=7π4 og 7π4-π=3π4

l) Kva vinklar i første omløp har sinusverdi -122?

Løysing

Dette må vere to vinklar der den eine ligg i tredje kvadrant og den andre ligg i fjerde kvadrant sidan vinklane har negativ sinusverdi. Vi kan finne vinkelen i fjerde kvadrant ved å bruke at ein vinkel v i første kvadrant må ha motsett sinusverdi av vinkelen 2π-v, som ligg i fjerde kvadrant. Vinkelen i tredje kvadrant må vere π større enn v sidan π+v òg har motsett sinusverdi av v. Vinklane er

2π-π4=7π4 og π+π4=5π4

2.1.32

a) Finn dei eksakte verdiane til sin150°, cos150° og tan150°.

Løysing

Vinkelen er i andre omløp, som svarer til den grøne vinkelen på hjelpefiguren i a). Nedanfor har vi teke bort dei vinklane frå hjelpefiguren som vi ikkje treng.

Vi finn eksaktverdiane ved hjelp av supplementvinkelen til 150°. Supplementvinklar har same sinusverdi og motsett cosinus- og tangensverdi. Vi får at

sin150° = sin180°-150°=sin30°=12cos150° = -cos30°=-123tan150° = -tan30°=-133

tan150° kan vi òg finne ved å rekne ut sin150°cos150°.

b) Finn dei eksakte verdiane til sin2π3, cos2π3 og tan2π3.

Løysing

Vinkelen er i andre omløp, som svarer til den grøne vinkelen på hjelpefiguren i a). Nedanfor har vi teke bort dei vinklane frå hjelpefiguren som vi ikkje treng.

Vi finn eksaktverdiane ved hjelp av supplementvinkelen til 2π3. Supplementvinklar har same sinusverdi og motsett cosinus- og tangensverdi. Vi får at

sin2π3 = sinπ-2π3=sinπ3=123cos2π3 = -cosπ3=-12tan2π3 = -tanπ3=-3

c) Finn dei eksakte verdiane til sin300°, cos300° og tan300°.

Løysing

Vinkelen er i fjerde omløp, som svarer til den svarte vinkelen på hjelpefiguren i a). Vi finn derfor eksaktverdiane ved hjelp av vinkelen 360°-300°=60°. Denne vinkelen har same cosinusverdi og motsett sinus- og tangensverdi som 300°. Vi får at

sin300° = -sin60°=-123cos300° = cos60°=12tan300° = -tan60°=-3

d) Finn dei eksakte verdiane til sin4π3, cos4π3 og tan4π3.

Løysing

Vinkelen er i tredje omløp, som svarer til den blå vinkelen på hjelpefiguren i a). Vi finn derfor eksaktverdiane ved hjelp av vinkelen som er π mindre enn 4π3.

4π3-π=π3

π3 har motsett sinus- og cosinusverdi og same tangensverdi som 4π3. Vi får at

sin4π3 = - sinπ3=-123cos4π3 = - cosπ3=-12tan4π3 = tanπ3=3

e) Finn dei eksakte verdiane til sin7π4, cos7π4 og tan7π4.

Løysing

Vinkelen er i fjerde omløp, som svarer til den svarte vinkelen på hjelpefiguren i a). Vi finn derfor eksaktverdiane ved hjelp av vinkelen

2π-7π4=84-74π=π4

π4 har motsett sinus- og tangensverdi og same sinusverdi som 7π4. Vi får at

sin7π4 = - sinπ4=-122cos7π4 =  cosπ4=122tan7π4 = -tanπ4=-1

f) Finn dei eksakte verdiane til sin3π4, cos3π4 og tan3π4.

Løysing

Vinkelen er i andre omløp, som svarer til den grøne vinkelen på hjelpefiguren i a). Vi finn derfor eksaktverdiane ved hjelp av supplementvinkelen

π-3π4=π4

Supplementvinklar har same sinusverdi og motsett cosinus- og tangensverdi. Vi får at

sin3π4 = sinπ4=122cos3π4 = -cosπ4=-122tan3π4 = -tanπ4=-1

g) Finn dei eksakte verdiane til sin225°, cos225° og tan225°.

Løysing

Vinkelen er i tredje omløp, som svarer til den blå vinkelen på hjelpefiguren i a). Vi finn derfor eksaktverdiane ved hjelp av vinkelen som er 180° mindre enn 225°.

225°-180°=45°

45° har motsett sinus- og cosinusverdi og same tangensverdi som 225°. Vi får at

sin225° = - sin45°=-122cos225° = - cos45°=-122tan225° = tan45°=1

h) Finn dei eksakte verdiane til sin11π6, cos11π6 og tan11π6.

Løysing

Vinkelen er i fjerde omløp, som svarer til den svarte vinkelen på hjelpefiguren i a). Vi finn derfor eksaktverdiane ved hjelp av vinkelen

2π-11π6=126-116π=π6

π6 har motsett sinus- og tangensverdi og same sinusverdi som 11π6. Vi får at

sin11π6 = - sinπ6=-12cos11π6 =  cosπ6=123tan11π6 = -tanπ6=-133

i) Finn dei eksakte verdiane til sin7π6, cos7π6 og tan7π6.

Løysing

Vinkelen er i tredje omløp, som svarer til den blå vinkelen på hjelpefiguren i a). Vi finn derfor eksaktverdiane ved hjelp av vinkelen som er π mindre enn 7π6.

7π6-π=π6

π6 har motsett sinus- og cosinusverdi og same tangensverdi som 4π3. Vi får at

sin7π6 = - sinπ6=-12cos7π6 = - cosπ6=-123tan7π6 = tanπ6=133

2.1.33

I firkanten ABCD er AB=AC=AD=1, BAC=60° og BAD=90°.

a) Finn lengda BC.

Løysing

Vi teiknar ein hjelpefigur.

Trekanten ABC er likesida sidan AB=AC=1 og A=60°, for då må B=C=180°-60°2=60°. Det betyr at BC=1.

b) Finn den eksakte høgda frå C ned på AB.

Løysing

Oppgåva spør etter h på figuren i a).

sin60° = motståande katethypotenus=hAC=h1=hh = sin60°=123

c) Finn det eksakte arealet av firkanten ABCD.

Tips til oppgåva

Del opp firkanten i to trekantar.

Løysing

Vi deler opp firkanten ABCD i trekantane ABC og ACD. I trekanten ACD bruker vi AD som grunnlinje fordi høgda frå C til AD må vere halvparten av AB.

ArealABCD = ArealABC+ArealACD= AB·h2+AD·12AB2= 1·1232+1·12·12= 123+122= 3+14

d) Set AB=r og finn arealet av firkanten ABCD uttrykt ved r.

Løysing

Når AB=r, får vi òg at AC=AD=r og

sin60° = motståande katethypotenus=hrh = r·sin60°= r·123= r23

Då får vi

ArealABCD = ArealABC+ArealACD= AB·h2+AD·12AB2= r·r232+r·12·r2= r2·123+r2122= r2·3+14