Eksakte trigonometriske verdiar
Før du går laus på oppgåvene her, bør du gjere øvinga nedst på teorisida "Eksakte trigonometriske verdiar". Øv på å kunne dei eksakte verdiane i øvinga.
Oppgåvene skal løysast utan hjelpemiddel.
2.1.30
Først skal du lage ein hjelpefigur til dei to neste oppgåvene.
Teikn ein einingssirkel.
Teikn ein vinkel i første omløp.
Teikn inn vinklane
,180 ° - v og180 ° + v .360 ° - v
Løysing
2.1.31
Skriv svara i radianar.
a) Kva vinkel i første kvadrant har sinusverdi
Løysing
b) Kva vinkel i første kvadrant har cosinusverdi
Løysing
c) Kva vinkel i første kvadrant har tangensverdi
Løysing
d) Kva vinkel i andre kvadrant har sinusverdi
Løysing
Supplementvinkelen til ein vinkel i andre kvadrant ligg i første kvadrant og har same sinusverdi. Sidan
e) Kva vinkel i tredje kvadrant har sinusverdi
Løysing
Ein vinkel i første kvadrant har motsett sinusverdi av vinkelen som er π større og dermed ligg i tredje kvadrant. Sidan
f) Kva vinkel i fjerde kvadrant har sinusverdi
Løysing
Ein vinkel
g) Kva vinkel i tredje kvadrant har cosinusverdi
Løysing
Ein vinkel i tredje kvadrant har motsett cosinusverdi av vinkelen som er π større og dermed ligg i tredje kvadrant. Vinkelen i tredje kvadrant er
h) Kva vinkel i fjerde kvadrant har tangensverdi
Løysing
Alle vinklar i fjerde kvadrant har negativ tangensverdi. Altså finst det ingen vinkel i fjerde kvadrant med tangensverdi 1.
i) Kva vinklar i første omløp har sinusverdi
Løysing
Dette må vere to supplementvinklar der den eine ligg i første kvadrant og den andre ligg i andre kvadrant sidan dei har positiv sinusverdi. Vinklane er
j) Kva vinklar i første omløp har cosinusverdi
Løysing
Dette må vere to vinklar der den eine ligg i andre kvadrant og den andre ligg i tredje kvadrant sidan vinklane har negativ cosinusverdi. Vi kan finne vinkelen i andre kvadrant ved å bruke at han må ha motsett cosinusverdi av supplementvinkelen, som må vere
k) Kva vinklar i første omløp har tangensverdi
Løysing
Dette må vere to vinklar der den eine ligg i andre kvadrant og den andre ligg i fjerde kvadrant sidan tangensverdien er negativ. Vi kan finne vinkelen i fjerde kvadrant ved å bruke at ein vinkel
l) Kva vinklar i første omløp har sinusverdi
Løysing
Dette må vere to vinklar der den eine ligg i tredje kvadrant og den andre ligg i fjerde kvadrant sidan vinklane har negativ sinusverdi. Vi kan finne vinkelen i fjerde kvadrant ved å bruke at ein vinkel
2.1.32
a) Finn dei eksakte verdiane til
Løysing
Vinkelen er i andre omløp, som svarer til den grøne vinkelen på hjelpefiguren i a). Nedanfor har vi teke bort dei vinklane frå hjelpefiguren som vi ikkje treng.
Vi finn eksaktverdiane ved hjelp av supplementvinkelen til 150°. Supplementvinklar har same sinusverdi og motsett cosinus- og tangensverdi. Vi får at
b) Finn dei eksakte verdiane til
Løysing
Vinkelen er i andre omløp, som svarer til den grøne vinkelen på hjelpefiguren i a). Nedanfor har vi teke bort dei vinklane frå hjelpefiguren som vi ikkje treng.
Vi finn eksaktverdiane ved hjelp av supplementvinkelen til
c) Finn dei eksakte verdiane til
Løysing
Vinkelen er i fjerde omløp, som svarer til den svarte vinkelen på hjelpefiguren i a). Vi finn derfor eksaktverdiane ved hjelp av vinkelen
d) Finn dei eksakte verdiane til
Løysing
Vinkelen er i tredje omløp, som svarer til den blå vinkelen på hjelpefiguren i a). Vi finn derfor eksaktverdiane ved hjelp av vinkelen som er π mindre enn
e) Finn dei eksakte verdiane til
Løysing
Vinkelen er i fjerde omløp, som svarer til den svarte vinkelen på hjelpefiguren i a). Vi finn derfor eksaktverdiane ved hjelp av vinkelen
f) Finn dei eksakte verdiane til
Løysing
Vinkelen er i andre omløp, som svarer til den grøne vinkelen på hjelpefiguren i a). Vi finn derfor eksaktverdiane ved hjelp av supplementvinkelen
Supplementvinklar har same sinusverdi og motsett cosinus- og tangensverdi. Vi får at
g) Finn dei eksakte verdiane til
Løysing
Vinkelen er i tredje omløp, som svarer til den blå vinkelen på hjelpefiguren i a). Vi finn derfor eksaktverdiane ved hjelp av vinkelen som er 180° mindre enn 225°.
45° har motsett sinus- og cosinusverdi og same tangensverdi som 225°. Vi får at
h) Finn dei eksakte verdiane til
Løysing
Vinkelen er i fjerde omløp, som svarer til den svarte vinkelen på hjelpefiguren i a). Vi finn derfor eksaktverdiane ved hjelp av vinkelen
i) Finn dei eksakte verdiane til
Løysing
Vinkelen er i tredje omløp, som svarer til den blå vinkelen på hjelpefiguren i a). Vi finn derfor eksaktverdiane ved hjelp av vinkelen som er π mindre enn
2.1.33
I firkanten
a) Finn lengda
Løysing
Vi teiknar ein hjelpefigur.
Trekanten
b) Finn den eksakte høgda frå
Løysing
Oppgåva spør etter
c) Finn det eksakte arealet av firkanten
Tips til oppgåva
Del opp firkanten i to trekantar.
Løysing
Vi deler opp firkanten
d) Set
Løysing
Når
Då får vi