Først skal du lage ein hjelpefigur til dei to neste oppgåvene.
Teikn ein einingssirkel.
Teikn ein vinkel i første omløp.
Teikn inn vinklane 180°-v, 180°+v og 360°-v.
Løysing
2.1.31
Skriv svara i radianar.
a) Kva vinkel i første kvadrant har sinusverdi 123?
Løysing
π3
b) Kva vinkel i første kvadrant har cosinusverdi 123?
Løysing
π6
c) Kva vinkel i første kvadrant har tangensverdi 133?
Løysing
π6
d) Kva vinkel i andre kvadrant har sinusverdi 123?
Løysing
Supplementvinkelen til ein vinkel i andre kvadrant ligg i første kvadrant og har same sinusverdi. Sidan sinπ3=123, blir vinkelen
π-π3=2π3
e) Kva vinkel i tredje kvadrant har sinusverdi -123?
Løysing
Ein vinkel i første kvadrant har motsett sinusverdi av vinkelen som er π større og dermed ligg i tredje kvadrant. Sidan sinπ3=123, blir vinkelen i tredje kvadrant
π+π3=4π3
f) Kva vinkel i fjerde kvadrant har sinusverdi -123?
Løysing
Ein vinkel v i første kvadrant har motsett sinusverdi som vinkelen 2π-v i fjerde kvadrant. Vinkelen i fjerde kvadrant er
2π-π3=6π3-π3=5π3
g) Kva vinkel i tredje kvadrant har cosinusverdi -123?
Løysing
Ein vinkel i tredje kvadrant har motsett cosinusverdi av vinkelen som er π større og dermed ligg i tredje kvadrant. Vinkelen i tredje kvadrant er
π+π6=7π6
h) Kva vinkel i fjerde kvadrant har tangensverdi 1?
Løysing
Alle vinklar i fjerde kvadrant har negativ tangensverdi. Altså finst det ingen vinkel i fjerde kvadrant med tangensverdi 1.
i) Kva vinklar i første omløp har sinusverdi 12?
Løysing
Dette må vere to supplementvinklar der den eine ligg i første kvadrant og den andre ligg i andre kvadrant sidan dei har positiv sinusverdi. Vinklane er
π6 og π-π6=5π6
j) Kva vinklar i første omløp har cosinusverdi -122?
Løysing
Dette må vere to vinklar der den eine ligg i andre kvadrant og den andre ligg i tredje kvadrant sidan vinklane har negativ cosinusverdi. Vi kan finne vinkelen i andre kvadrant ved å bruke at han må ha motsett cosinusverdi av supplementvinkelen, som må vere π4. Vinkelen i tredje kvadrant må vere π større enn π4. Vinklane er
π-π4=3π4 og π+π4=5π4
k) Kva vinklar i første omløp har tangensverdi -1?
Løysing
Dette må vere to vinklar der den eine ligg i andre kvadrant og den andre ligg i fjerde kvadrant sidan tangensverdien er negativ. Vi kan finne vinkelen i fjerde kvadrant ved å bruke at ein vinkel v i første kvadrant har motsett tangensverdi av vinkelen 2π-v, som ligg i fjerde kvadrant. Den andre vinkelen er π mindre enn denne. Vinklane er
2π-π4=8π4-π4=7π4 og 7π4-π=3π4
l) Kva vinklar i første omløp har sinusverdi -122?
Løysing
Dette må vere to vinklar der den eine ligg i tredje kvadrant og den andre ligg i fjerde kvadrant sidan vinklane har negativ sinusverdi. Vi kan finne vinkelen i fjerde kvadrant ved å bruke at ein vinkel v i første kvadrant må ha motsett sinusverdi av vinkelen 2π-v, som ligg i fjerde kvadrant. Vinkelen i tredje kvadrant må vere π større enn v sidan π+v òg har motsett sinusverdi av v. Vinklane er
2π-π4=7π4 og π+π4=5π4
2.1.32
a) Finn dei eksakte verdiane til sin150°, cos150° og tan150°.
Løysing
Vinkelen er i andre omløp, som svarer til den grøne vinkelen på hjelpefiguren i a). Nedanfor har vi teke bort dei vinklane frå hjelpefiguren som vi ikkje treng.
Vi finn eksaktverdiane ved hjelp av supplementvinkelen til 150°. Supplementvinklar har same sinusverdi og motsett cosinus- og tangensverdi. Vi får at
tan150° kan vi òg finne ved å rekne ut sin150°cos150°.
b) Finn dei eksakte verdiane til sin2π3, cos2π3 og tan2π3.
Løysing
Vinkelen er i andre omløp, som svarer til den grøne vinkelen på hjelpefiguren i a). Nedanfor har vi teke bort dei vinklane frå hjelpefiguren som vi ikkje treng.
Vi finn eksaktverdiane ved hjelp av supplementvinkelen til 2π3. Supplementvinklar har same sinusverdi og motsett cosinus- og tangensverdi. Vi får at
c) Finn dei eksakte verdiane til sin300°, cos300° og tan300°.
Løysing
Vinkelen er i fjerde omløp, som svarer til den svarte vinkelen på hjelpefiguren i a). Vi finn derfor eksaktverdiane ved hjelp av vinkelen 360°-300°=60°. Denne vinkelen har same cosinusverdi og motsett sinus- og tangensverdi som 300°. Vi får at
d) Finn dei eksakte verdiane til sin4π3, cos4π3 og tan4π3.
Løysing
Vinkelen er i tredje omløp, som svarer til den blå vinkelen på hjelpefiguren i a). Vi finn derfor eksaktverdiane ved hjelp av vinkelen som er π mindre enn 4π3.
4π3-π=π3
π3 har motsett sinus- og cosinusverdi og same tangensverdi som 4π3. Vi får at
sin4π3=-sinπ3=-123cos4π3=-cosπ3=-12tan4π3=tanπ3=3
e) Finn dei eksakte verdiane til sin7π4, cos7π4 og tan7π4.
Løysing
Vinkelen er i fjerde omløp, som svarer til den svarte vinkelen på hjelpefiguren i a). Vi finn derfor eksaktverdiane ved hjelp av vinkelen
2π-7π4=84-74π=π4
π4 har motsett sinus- og tangensverdi og same sinusverdi som 7π4. Vi får at
g) Finn dei eksakte verdiane til sin225°, cos225° og tan225°.
Løysing
Vinkelen er i tredje omløp, som svarer til den blå vinkelen på hjelpefiguren i a). Vi finn derfor eksaktverdiane ved hjelp av vinkelen som er 180° mindre enn 225°.
225°-180°=45°
45° har motsett sinus- og cosinusverdi og same tangensverdi som 225°. Vi får at
i) Finn dei eksakte verdiane til sin7π6, cos7π6 og tan7π6.
Løysing
Vinkelen er i tredje omløp, som svarer til den blå vinkelen på hjelpefiguren i a). Vi finn derfor eksaktverdiane ved hjelp av vinkelen som er π mindre enn 7π6.
7π6-π=π6
π6 har motsett sinus- og cosinusverdi og same tangensverdi som 4π3. Vi får at