Eksakte trigonometriske verdier

$\frac{\pi }{3}$

$\frac{\pi }{6}$

$\frac{\pi }{6}$

Supplementvinkelen til en vinkel i andre kvadrant ligger i første kvadrant og har samme sinusverdi. Siden $\sin \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}\sqrt{3}$, blir vinkelen

$\pi -\frac{\pi }{3}=\frac{2\pi }{3}$

En vinkel i første kvadrant har motsatt sinusverdi av vinkelen som er π større og dermed ligger i tredje kvadrant. Siden $\sin \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}\sqrt{3}$, blir vinkelen i tredje kvadrant

$\pi +\frac{\pi }{3}=\frac{4\pi }{3}$

En vinkel $v$ i første kvadrant har motsatt sinusverdi som vinkelen $2\pi -v$ i fjerde kvadrant. Vinkelen i fjerde kvadrant er

$2\pi -\frac{\pi }{3}=\frac{6\pi }{3}-\frac{\pi }{3}=\frac{5\pi }{3}$

En vinkel i tredje kvadrant har motsatt cosinusverdi av vinkelen som er π større og dermed ligger i tredje kvadrant. Vinkelen i tredje kvadrant er

$\pi +\frac{\pi }{6}=\frac{7\pi }{6}$

Alle vinkler i fjerde kvadrant har negativ tangensverdi. Altså finnes det ingen vinkel i fjerde kvadrant med tangensverdi 1.

Dette må være to supplementvinkler der den ene ligger i første kvadrant og den andre ligger i andre kvadrant siden de har positiv sinusverdi. Vinklene er

$\frac{\pi }{6}$ og $\pi -\frac{\pi }{6}=\frac{5\pi }{6}$

Dette må være to vinkler der den ene ligger i andre kvadrant og den andre ligger i tredje kvadrant siden vinklene har negativ cosinusverdi. Vi kan finne vinkelen i andre kvadrant ved å bruke at den må ha motsatt cosinusverdi av supplementvinkelen, som må være $\frac{\pi }{4}$. Vinkelen i tredje kvadrant må være π større enn $\frac{\pi }{4}$. Vinklene er

$\pi -\frac{\pi }{4}=\frac{3\pi }{4}$ og $\pi +\frac{\pi }{4}=\frac{5\pi }{4}$

Dette må være to vinkler der den ene ligger i andre kvadrant og den andre ligger i fjerde kvadrant siden tangensverdien er negativ. Vi kan finne vinkelen i fjerde kvadrant ved å bruke at en vinkel $v$ i første kvadrant har motsatt tangensverdi av vinkelen $2\pi -v$, som ligger i fjerde kvadrant. Den andre vinkelen er π mindre enn denne. Vinklene er

$2\pi -\frac{\pi }{4}=\frac{8\pi }{4}-\frac{\pi }{4}=\frac{7\pi }{4}$ og $\frac{7\pi }{4}-\pi =\frac{3\pi }{4}$

Dette må være to vinkler der den ene ligger i tredje kvadrant og den andre ligger i fjerde kvadrant siden vinklene har negativ sinusverdi. Vi kan finne vinkelen i fjerde kvadrant ved å bruke at en vinkel $v$ i første kvadrant må ha motsatt sinusverdi av vinkelen $2\pi -v$, som ligger i fjerde kvadrant. Vinkelen i tredje kvadrant må være π større enn $v$ siden $\pi +v$ også har motsatt sinusverdi av $v$. Vinklene er

$2\pi -\frac{\pi }{4}=\frac{7\pi }{4}$ og $\pi +\frac{\pi }{4}=\frac{5\pi }{4}$

Vinkelen er i andre omløp, som tilsvarer den grønne vinkelen på hjelpefiguren i a). Nedenfor har vi tatt bort de vinklene fra hjelpefiguren som vi ikke trenger.

Vi finner eksaktverdiene ved hjelp av supplementvinkelen til 150°. Supplementvinkler har samme sinusverdi og motsatt cosinus- og tangensverdi. Vi får at

$\begin{array}{rcl}\sin 150° & =& \sin \left(180°-150°\right)=\sin 30°=\frac{1}{2}\\ \cos 150° & =& -\cos 30°=-\frac{1}{2}\sqrt{3}\\ \tan 150° & =& -\tan 30°=-\frac{1}{3}\sqrt{3}\end{array}$

$\tan 150\begin{array}{rcl}& & °\end{array}$ kan vi også finne ved å regne ut $\begin{array}{rcl}& & \frac{\sin 150°}{\cos 150°}\end{array}$.

Vinkelen er i andre omløp, som tilsvarer den grønne vinkelen på hjelpefiguren i a). Nedenfor har vi tatt bort de vinklene fra hjelpefiguren som vi ikke trenger.

Vi finner eksaktverdiene ved hjelp av supplementvinkelen til $\frac{2\pi }{3}$. Supplementvinkler har samme sinusverdi og motsatt cosinus- og tangensverdi. Vi får at

$\begin{array}{rcl}\sin \frac{2\pi }{3} & =& \sin \left(\pi -\frac{2\pi }{3}\right)=\sin \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}\sqrt{3}\\ \cos \frac{2\pi }{3} & =& -\cos \frac{\pi }{3}=-\frac{1}{2}\\ \tan \frac{2\pi }{3} & =& -\tan \frac{\pi }{3}=-\sqrt{3}\end{array}$

Vinkelen er i fjerde omløp, som tilsvarer den svarte vinkelen på hjelpefiguren i a). Vi finner derfor eksaktverdiene ved hjelp av vinkelen $360°-300°=60°$. Denne vinkelen har samme cosinusverdi og motsatt sinus- og tangensverdi som 300°. Vi får at

$\begin{array}{rcl}\sin 300° & =& -\sin 60°=-\frac{1}{2}\sqrt{3}\\ \cos 300° & =& \cos 60°=\frac{1}{2}\\ \tan 300° & =& -\tan 60°=-\sqrt{3}\end{array}$

Vinkelen er i tredje omløp, som tilsvarer den blå vinkelen på hjelpefiguren i a). Vi finner derfor eksaktverdiene ved hjelp av vinkelen som er π mindre enn $\frac{4\pi }{3}$.

$\frac{4\pi }{3}-\pi =\frac{\pi }{3}$

$\frac{\pi }{3}$ har motsatt sinus- og cosinusverdi og samme tangensverdi som $\frac{4\pi }{3}$. Vi får at

$\begin{array}{rcl}\sin \frac{4\pi }{3} & =& - \sin \frac{\pi }{3}=-\frac{1}{2}\sqrt{3}\\ \cos \frac{4\pi }{3} & =& - \cos \frac{\pi }{3}=-\frac{1}{2}\\ \tan \frac{4\pi }{3} & =& \tan \frac{\pi }{3}=\sqrt{3}\end{array}$

Vinkelen er i fjerde omløp, som tilsvarer den svarte vinkelen på hjelpefiguren i a). Vi finner derfor eksaktverdiene ved hjelp av vinkelen

$2\mathrm{\pi }-\frac{7\pi }{4}=\left(\frac{8}{4}-\frac{7}{4}\right)\mathrm{\pi }=\frac{\mathrm{\pi }}{4}$

$\frac{\pi }{4}$ har motsatt sinus- og tangensverdi og samme sinusverdi som $\frac{7\pi }{4}$. Vi får at

$\begin{array}{rcl}\sin \frac{7\pi }{4} & =& - \sin \frac{\pi }{4}=-\frac{1}{2}\sqrt{2}\\ \cos \frac{7\pi }{4} & =& \cos \frac{\pi }{4}=\frac{1}{2}\sqrt{2}\\ \tan \frac{7\pi }{4} & =& -\tan \frac{\pi }{4}=-1\end{array}$

Vinkelen er i andre omløp, som tilsvarer den grønne vinkelen på hjelpefiguren i a). Vi finner derfor eksaktverdiene ved hjelp av supplementvinkelen

$\mathrm{\pi }-\frac{3\mathrm{\pi }}{4}=\frac{\mathrm{\pi }}{4}$

Supplementvinkler har samme sinusverdi og motsatt cosinus- og tangensverdi. Vi får at

$\begin{array}{rcl}\sin \frac{3\pi }{4} & =& \sin \frac{\pi }{4}=\frac{1}{2}\sqrt{2}\\ \cos \frac{3\pi }{4} & =& -\cos \frac{\pi }{4}=-\frac{1}{2}\sqrt{2}\\ \tan \frac{3\pi }{4} & =& -\tan \frac{\pi }{4}=-1\end{array}$

Vinkelen er i tredje omløp, som tilsvarer den blå vinkelen på hjelpefiguren i a). Vi finner derfor eksaktverdiene ved hjelp av vinkelen som er 180° mindre enn 225°.

$225°-180°=45°$

45° har motsatt sinus- og cosinusverdi og samme tangensverdi som 225°. Vi får at

$\begin{array}{rcl}\sin 225° & =& - \sin 45°=-\frac{1}{2}\sqrt{2}\\ \cos 225° & =& - \cos 45°=-\frac{1}{2}\sqrt{2}\\ \tan 225° & =& \tan 45°=1\end{array}$

Vinkelen er i fjerde omløp, som tilsvarer den svarte vinkelen på hjelpefiguren i a). Vi finner derfor eksaktverdiene ved hjelp av vinkelen

$2\mathrm{\pi }-\frac{11\pi }{6}=\left(\frac{12}{6}-\frac{11}{6}\right)\mathrm{\pi }=\frac{\mathrm{\pi }}{6}$

$\frac{\pi }{6}$ har motsatt sinus- og tangensverdi og samme sinusverdi som $\frac{11\pi }{6}$. Vi får at

$\begin{array}{rcl}\sin \frac{11\pi }{6} & =& - \sin \frac{\pi }{6}=-\frac{1}{2}\\ \cos \frac{11\pi }{6} & =& \cos \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}\sqrt{3}\\ \tan \frac{11\pi }{6} & =& -\tan \frac{\pi }{6}=-\frac{1}{3}\sqrt{3}\end{array}$

Vinkelen er i tredje omløp, som tilsvarer den blå vinkelen på hjelpefiguren i a). Vi finner derfor eksaktverdiene ved hjelp av vinkelen som er π mindre enn $\frac{7\pi }{6}$.

$\frac{7\pi }{6}-\pi =\frac{\pi }{6}$

$\frac{\pi }{6}$ har motsatt sinus- og cosinusverdi og samme tangensverdi som $\frac{4\pi }{3}$. Vi får at

$\begin{array}{rcl}\sin \frac{7\pi }{6} & =& - \sin \frac{\pi }{6}=-\frac{1}{2}\\ \cos \frac{7\pi }{6} & =& - \cos \frac{\pi }{6}=-\frac{1}{2}\sqrt{3}\\ \tan \frac{7\pi }{6} & =& \tan \frac{\pi }{6}=\frac{1}{3}\sqrt{3}\end{array}$

Vi tegner en hjelpefigur.

Trekanten $ABC$ er likesidet siden $AB=AC=1$ og $\angle A=60°$, for da må $\angle B=\angle C=\frac{180°-60°}{2}=60°$. Det betyr at $BC=1$.

Oppgaven spør etter $h$ på figuren i a).

$\begin{array}{rcl}\sin 60° & =& \frac{\mathrm{motstående} \mathrm{katet}}{\mathrm{hypotenus}}=\frac{h}{AC}=\frac{h}{1}=h\\ h & =& \sin 60°=\frac{1}{2}\sqrt{3}\end{array}$

Del opp firkanten i to trekanter.

Vi deler opp firkanten $ABCD$ i trekantene $ABC$ og $ACD$. I trekanten $ACD$ bruker vi $AD$ som grunnlinje fordi høyden fra $C$ til $AD$ må være halvparten av $AB$.

$\begin{array}{rcl}{\mathrm{Areal}}_{\square ABCD} & =& {\mathrm{Areal}}_{∆ABC}+{\mathrm{Areal}}_{△ACD}\\ & =& \frac{AB·h}{2}+\frac{AD·{\displaystyle \frac{1}{2}}AB}{2}\\ & =& \frac{1·{\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{3}}{2}+\frac{1·{\displaystyle \frac{1}{2}}·1}{2}\\ & =& \frac{{\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{3}+{\displaystyle \frac{1}{2}}}{2}\\ & =& \frac{\sqrt{3}+1}{4}\end{array}$

Når $AB=r$, får vi også at $AC=AD=r$ og

$\begin{array}{rcl}\sin 60° & =& \frac{\mathrm{motstående} \mathrm{katet}}{\mathrm{hypotenus}}=\frac{h}{r}\\ h & =& r·\sin 60°\\ & =& r·\frac{1}{2}\sqrt{3}\\ & =& \frac{r}{2}\sqrt{3}\end{array}$

Da får vi

$\begin{array}{rcl}{\mathrm{Areal}}_{\square ABCD} & =& {\mathrm{Areal}}_{∆ABC}+{\mathrm{Areal}}_{△ACD}\\ & =& \frac{AB·h}{2}+\frac{AD·{\displaystyle \frac{1}{2}}AB}{2}\\ & =& \frac{r·{\displaystyle \frac{r}{2}}\sqrt{3}}{2}+\frac{r·{\displaystyle \frac{1}{2}}·r}{2}\\ & =& \frac{r^2·{\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{3}+r^2{\displaystyle \frac{1}{2}}}{2}\\ & =& r^2·\frac{\sqrt{3}+1}{4}\end{array}$