Radianar – absolutte vinkelmål

$$ 30°=30·\frac{\pi }{180}=\frac{3\pi }{18}=\frac{\pi }{6}$$

$$ $ 45°=45·\frac{\pi }{180}=\frac{\pi }{4}$$$

$$ $ 70°=70·\frac{\pi }{180}=\frac{7\pi }{18}$$$

$$ $ 100°=100·\frac{\pi }{180}=\frac{10\pi }{18}=\frac{5\pi }{9}$$$

$$ $ 390°=390·\frac{\pi }{180}=\frac{39\pi }{18}=\frac{13\pi }{6}$$$

$$ $ -60°=-60·\frac{\pi }{180}=-\frac{6\pi }{18}=-\frac{\pi }{3}$$$

$$ \frac{\pi }{3}=\left(\frac{{\displaystyle \pi }}{{\displaystyle 3}}·\frac{180}{\pi }\right)°=60°$$

$$ $ \frac{5\pi }{9}=\left(\frac{{\displaystyle 5\pi }}{{\displaystyle 9}}·\frac{180}{\pi }\right)°=100°$$$

$$ $ $ \frac{9\pi }{10}=\left(\frac{9\pi }{10}·\frac{180}{\pi }\right)°=\left(9·18\right)°=162°$$$$

Sirkel med vinklar målt i radianar

$$ 0<\frac{\pi }{5}<\frac{\pi }{2}$$

Vinkelen ligg i første kvadrant.

$$ \frac{\pi }{2}<\frac{5\pi }{6}<\pi $$

Vinkelen ligg i andre kvadrant.

$$ \frac{3\pi }{2}<\frac{7\pi }{4}<2\pi $$

Vinkelen ligg i fjerde kvadrant.

$$ \frac{\pi }{2}<2<\pi $$

Vinkelen ligg i andre kvadrant.

$$ \pi <3,5<\frac{3\pi }{2}$$

Vinkelen ligg i tredje kvadrant.

$$ 0<1,2<\frac{\pi }{2}$$

Vinkelen ligg i første kvadrant.

$$ \frac{3\pi }{2}<5<2\pi $$

Vinkelen ligg i fjerde kvadrant.

Her kan vi bruke definisjonen på ein vinkel målt i radianar:

$$ v=\frac{b}{r}$$

Vi får at $$ v=\frac{5}{4}=\left(\frac{225}{\pi }\right)°=71,6°$$.

Først reknar vi om vinkelen frå gradar til radianar i linje 2. Så lagar vi likning av formelen for ein vinkel som bogen delt på radiusen. Vi får til slutt at

$$ r=\frac{12}{\pi }$$

Du hugsar kanskje frå matematikk 1T at vi må skrive inn gradsymbolet når vi skal bruke dei trigonometriske funksjonane. Det er altså den første utrekninga som er riktig. Vi kan òg sjå det ut ifrå at vi veit at $$ \sin 30°=0,5$$, og at 35° er litt større en 30° slik at sinus til 35° må vere litt større enn sinus til 30°.

Framgangsmåten i andre linje kan ikkje vere riktig, for ein vinkel i første kvadrant kan ikkje ha negativ sinusverdi.

Svaret er 45 gradar gjorde om til radianar.

Prøv til dømes kommandoane 90°, 1°, ° og (π/4)/°.

Gradsymbolet reknar om ein vinkel i gradar til ein vinkel i radianar. Det er det same som å multiplisere med π og dele på 180. Gradsymbolet i GeoGebra betyr rett og slett konstanten $$ \frac{\pi }{180}$$, og utrekningane under "Tips til oppgåva" stadfestar det.

Vi kan gjere om ein vinkel i gradar til ein vinkel i radianar ved å multiplisere vinkelen med °. Motsett kan vi gjere om ein vinkel i radianar til ein vinkel i gradar ved å dele på °.

Prøv kommandoen sin(π/6).

Når 30 blir multiplisert med gradsymbolet, betyr det, ut ifrå resultatet i oppgåve d), at vinkelen blir gjord om til radianar. Det vil seie at når GeoGebra skal bruke trigonometriske funksjonar, må vinkelen alltid vere oppgitt i radianar. Vi får stadfesta det ved å prøve kommandoen under "Tips til oppgåva".

Du reknar ut sinus til vinkelen 35 (målt i radianar). Denne vinkelen er samanfallande med vinkelen

$$ 35-5·2\pi =35-31,4=3,6$$

Dette er ein vinkel tredje kvadrant (litt større enn π) og vil derfor ha negativ sinusverdi. Utrekninga over viser at vinkelen 35 er ein vinkel i sjette omløp.

Dei vanlege klokkesletta er bytte ut med vinkelmål i radianar slik vi framstiller dei i einingssirkelen.

Visarane bør peike på 0 eller det største talet på klokka – 2π. Det betyr at midnatt (og klokka 12.00) er når begge visarane peiker rett til høgre.

Klokka bør gå den vegen som gjer at klokkesletta aukar gradvis. Denne klokka bør altså gå i positiv rotasjonsretning i einingssirkelen, det vil seie motsett av ei vanleg analog klokke ("mot klokka").

Når langvisaren peiker på 2π, er klokka ein heil time. Når kortvisaren peiker på π/2, er klokka π/2. Dette er tre timar etter midnatt (eller etter klokka 12 midt på dagen). Det betyr at klokkeslettet er 03.00 eller 15.00. Uansett er klokka 3.

Langvisaren står rett opp. Det er 15 minutt etter at langvisaren stod rett til høgre på heil time. Det betyr at klokka er "kvart over" noko.

Kortvisaren står på $$ \frac{7\pi }{6}$$. Det er 7 timar sidan midnatt (eller sidan klokka 12.00). Klokka er altså kvart over 7.

(Strengt teke burde kortvisaren ha vore litt forbi $$ \frac{7\pi }{6}$$ sidan klokka er kvart over.)

Vinkelen målt i radianar er

$$ \frac{7\pi }{6}-\frac{\pi }{2}=\left(\frac{7}{6}-\frac{3}{6}\right)\pi =\frac{4}{6}\pi =\frac{{\displaystyle 2}}{{\displaystyle 3}}\pi $$

Vinkelen målt i gradar er

$$ \frac{2}{3}\pi ·\frac{180°}{\pi }=2·60°=120°$$

Når klokka er $$ \frac{5}{6}\pi $$, står kortvisaren på $$ \frac{5}{6}\pi $$ og langvisaren på $$ 2\pi $$, det vil seie 0. Då er vinkelen mellom visarane det same som klokkeslettet, altså $$ \frac{5}{6}\pi =150°$$.