Oppgåve

Plan i rommet

Her kan du øve på grunnleggande oppgåver med plan i rommet. Løys oppgåvene utan hjelpemiddel om det ikkje står noko anna.

4.2.40

Planet $α$ er gitt ved likninga $- x + 3 y + 2 z - 8 = 0$ .

a) Skriv opp ein normalvektor $\vec{n}$ til planet $α$ .

Løysing

Vi les av koeffisientane framfor $x, y$ og $z$ i planlikninga. Ein normalvektor til planet $α$ er derfor

$\vec{n} = [- 1, 3, 2]$

b) Finn eit punkt i planet.

Tips til oppgåva

Start med å velje ein $x$ -koordinat og ein $y$ -koordinat.

Løysing

Vi vel $x = 0$ og $y = 0$ . Når vi set desse verdiane inn i planlikninga, får vi ei likning for $z$ der løysinga er den $z$ -koordinaten til punktet $(0, 0, z)$ som er slik at punktet ligg i planet $α$ .

$\begin{array}{rcl} - 0 + 3 \cdot 0 + 2 z - 8 & = & 0 \\ 2 z & = & 8 \\ z & = & 4 \end{array}$

Punktet $(0, 0, 4)$ ligg i planet $α$ .

c) Vis at vektoren $\vec{p} = [0, - 1, \frac{3}{2}]$ er parallell med planet $α$ .

Løysing

Vi har at $\vec{p} ∥ α \Leftrightarrow \vec{p} ⊥ \vec{n}$ og vidare at $\vec{p} ⊥ \vec{n} \Leftrightarrow \vec{p} \cdot \vec{n} = 0$ . Vi får

$\begin{array}{rcl} \vec{p} \cdot \vec{n} & = & [0, - 1, \frac{3}{2}] \cdot [- 1, 3, 2] \\ = & 0 \cdot (- 1) - 1 \cdot 3 + \frac{3}{2} \cdot 2 \\ = & 0 - 3 + 3 \\ = & 0 \end{array}$

Vektoren $\vec{p} = [0, - 1, \frac{3}{2}]$ er dermed parallell med planet $α$ .

d) Vis at vektoren $\vec{m} = [3, - 9, - 6]$ er ein normalvektor til planet $α$ .

Løysing

Vi kan vise dette ved å vise at $\vec{m} ∥ \vec{n}$ . Då må vi ha at

$\begin{array}{rcl} \vec{m} & = & k \cdot \vec{n} \\ [3, - 9, - 6] & = & k \cdot [- 1, 3, 2] \\ 3 & = & k \cdot (- 1), - 9 = k \cdot 3, - 6 = k \cdot 2 \\ k & = & - 3, k = - 3, k = - 3 \end{array}$

Vi får den same løysinga for $k$ , derfor er $\vec{m} ∥ \vec{n}$ . Då er $\vec{m}$ ein normalvektor til planet $α$ .

e) Adrian løyste den førre oppgåva på denne måten:

Dersom $\vec{m} = [3, - 9, - 6]$ er ein normalvektor til planet $α$ , må vi ha at $\vec{m} ⊥ \vec{p}$ . Det betyr at $\vec{m} \cdot \vec{p} = 0$ . Vi får

$\begin{array}{rcl} \vec{m} \cdot \vec{p} & = & [3, - 9, - 6] \cdot [0, - 1, \frac{3}{2}] \\ = & 3 \cdot 0 - 9 \cdot (- 1) - 6 \cdot \frac{3}{2} \\ = & 0 + 9 - 9 \\ = & 0 \end{array}$

Vektoren $\vec{m} = [3, - 9, - 6]$ er dermed ein normalvektor til planet $α$ .

Vurder framgangsmåten til Adrian.

Løysing

Det er rett at dersom $\vec{m}$ er ein normalvektor til planet $α$ , må vi ha at $\vec{m} ⊥ \vec{p}$ sidan $\vec{m}$ då må stå normalt på alle vektorar som er parallelle med planet $α$ . Matematisk kan vi skrive at

$\vec{m}$ er ein normalvektor til planet $\Rightarrow \vec{m} ⊥ \vec{p}$ .

Problemet er at Adrian gjer det motsette:

$\vec{m} ⊥ \vec{p} \Rightarrow$ $\vec{m}$ er ein normalvektor til planet.

Han trekker den konklusjonen at dersom vektorane står vinkelrett på kvarandre, må $\vec{m}$ vere ein normalvektor til planet. Det er ikkje tilfelle, for det er ikkje berre normalvektorar til eit plan som står normalt på éin bestemt vektor som er parallell med planet. Vi har derfor ikkje ekvivalens mellom dei to utsegna. Vi kan derfor ikkje seie at ein vektor er ein normalvektor til eit plan berre fordi han står normalt på ein vektor som er parallell med planet.

f) Finn ei ny likning for planet $α$ ved hjelp av $\vec{m}$ .

Løysing

Vi bruker koordinatane til $\vec{m}$ og punktet $(0, 2, 1)$ frå oppgåve b), set dette inn i den generelle planlikninga og skriv likninga så enkelt som mogleg.

$\begin{array}{rcl} a \cdot (x - x_{0}) + b \cdot (y - y_{0}) + c \cdot (z - z_{0}) & = & 0 \\ 3 (x - 0) - 9 (y - 2) - 6 (z - 1) & = & 0 \\ 3 x - 9 y + 18 - 6 z + 6 & = & 0 \\ 3 x - 9 y - 6 z + 24 & = & 0 \\ x - 3 y - 2 z + 8 & = & 0 \end{array}$

g) Vis at dette er den same likninga som den som er gitt øvst i oppgåva.

Løysing

Den opphavlege planlikninga var $- x + 3 y + 2 z - 8 = 0$ . Vi ser at dersom vi multipliserer likninga med $- 1$ , blir koeffisienten framfor $x$ endra til 1, som vi har i likninga i f). Vi prøver.

$\begin{array}{rcl} - x + 3 y + 2 z - 8 & = & 0 \\ - 1 (- x + 3 y + 2 z - 8) & = & - 1 \cdot 0 \\ x - 3 y - 2 z + 8 & = & 0 \end{array}$

Vi endar opp med fasitsvaret i oppgåve f), så dei to likningane er den same likninga.

4.2.41

a) Eit plan har normalvektoren $\vec{n} = [2, - 1, 3]$ og går gjennom punktet $(- 1, 3, 1)$ .

Finn likninga for planet utan hjelpemiddel.

Løysing

Vi bruker den generelle planlikninga

$a \cdot (x - x_{0}) + b \cdot (y - y_{0}) + c \cdot (z - z_{0}) = 0$

der $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ er eit punkt i planet og planet har normalvektor $\vec{n} = [a, b, c]$ . Likninga for planet blir

$\begin{array}{rcl} 2 (x - (- 1)) + (- 1) (y - 3) + 3 (z - 1) & = & 0 \\ 2 x + 2 - y + 3 + 3 z - 3 & = & 0 \\ 2 x - y + 3 z + 2 & = & 0 \end{array}$

Kontroller gjerne svaret ved å setje punktet inn i planlikninga.

b) Eit plan har normalvektoren $\vec{n} = [5, 2, - 3]$ og går gjennom punktet $(2, - 4, 2)$ .

Finn likninga for planet utan hjelpemiddel.

Løysing

Likninga for planet blir

$\begin{array}{rcl} a \cdot (x - x_{0}) + b \cdot (y - y_{0}) + c \cdot (z - z_{0}) & = & 0 \\ 5 (x - 2) + 2 (y - (- 4)) + (- 3) (z - 2) & = & 0 \\ 5 x - 10 + 2 y + 8 - 3 z + 6 & = & 0 \\ 5 x + 2 y - 3 z + 4 & = & 0 \end{array}$

Kontroller gjerne svaret ved å setje punktet inn i planlikninga.

c) Lag eit program som finn likninga til eit plan ut ifrå eit punkt i planet og ein normalvektor til planet.

Løysing

Ein algoritme for programmet kan vere dette:

Skriv inn koordinatane til normalvektoren i ei liste kalla n.
Skriv inn koordinatane til punktet i ei liste kalla P.
Set ein variabel d lik ‑(n[0]*P[0]+n[1]*P[1]+n[2]*P[2]).
Lag ei passande utskrift av planlikninga.

Programmet kan sjå slik ut:

python

1n = [2,-1,3]
2P = [-1,3,1]
3        # reknar ut konstanten i planlikninga
4d = -(n[0]*P[0]+n[1]*P[1]+n[2]*P[2]) 
5
6print(f"Likninga for planet er {n[0]}x {n[1]:+}y {n[2]:+}z {d:+} = 0.")

Legg merke til at i utskrifta har vi formatert med + tre stader. Dette gjer at forteiknet til variabelen blir skrive ut uansett om det er pluss eller minus.

d) Ligg punktet $(0, - 2, 0)$ i planet i oppgåve b)?

Løysing

Vi set punktet inn i planlikninga.

$5 \cdot 0 + 2 \cdot (- 2) - 3 \cdot 0 + 4 = - 4 + 4 = 0$

Punktet ligg i planet.

e) Punktet $A (- 5, 3, s)$ ligg i planet i oppgåve b). Bestem $s$ .

Løysing

Vi set punktet $A$ inn i likninga for planet. Vi får

$\begin{array}{rcl} 5 \cdot (- 5) + 2 \cdot 3 - 3 \cdot s + 4 & = & 0 \\ - 25 + 6 - 3 s + 4 & = & 0 \\ - 3 s & = & 15 \\ s & = & - 5 \end{array}$

f) Løys oppgåve b), d) og e) med GeoGebra.

Løysing

Vi løyser oppgåva med CAS.

Skjermutklipp frå CAS-feltet i GeoGebra. På linje 1 er n definert med koordinatane 5, 2 og minus 3. På linje 2 er P definert med koordinatane 2, minus 4 og 2. På linje 3 er alfa definert med kommandoen Normalplan med argumenta P og n. Svaret er alfa kolon er lik 5 x pluss 2 y minus 3 z er lik minus 4. På linje 4 er B definert med koordinatane 0, minus 2 og 0. På linje 5 er n multiplisert med B rekna ut til minus 4. På linje 6 er A definert med koordinatane minus 5, 3 og s. På linje 7 er n multiplisert med A sett lik minus 4. Svaret med Løys er s er lik minus 5. Skjermutklipp. — Bilete: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Når vi skal sjekke om punktet $B$ ligg i eit plan, set vi vanlegvis inn koordinatane til punktet inn i planlikninga. Dette kan vi gjere ved å rekne ut x(n)·x(B)+y(n)·y(B)+z(n)·z(B) og sjekke om det er lik $- 4$ . Vi har brukt kortforma av dette, som er n·B. Vi har gjort tilsvarande i linje 7.

g) Lag eit program som tek utgangspunkt i likninga for planet $α$ og koordinatane til punktet $B$ , og som finn ut om punktet ligg i planet eller ikkje.

Løysing

Ein algoritme for programmet kan vere dette:

Legg konstantane $a, b, c$ og $d$ frå planlikninga inn i lista plan.
Legg inn koordinatane til punktet i lista punkt.
Opprett ein variabel d for utrekninga av ledda $a x + b y + c z$ i planlikninga.
Dersom variabelen d har same verdi som -plan[3]: Skriv til skjermen at punktet ligg i planet.
Viss ikkje: Skriv til skjermen at punktet ikkje ligg i planet.

Programmet kan sjå slik ut:

python

1plan = [5,2,-3,4]
2punkt = [0,-2,0]
3
4d = plan[0]*punkt[0] + plan[1]*punkt[1] + plan[2]*punkt[2]
5        # Testar om d = -plan[3]
6if d == -plan[3]:
7  print("Punktet ligg i planet.")
8else:
9  print("Punktet ligg ikkje i planet.")

4.2.42

Løys deloppgåvene utan hjelpemiddel dersom det ikkje står noko anna.

a) Vi har gitt punkta $A (3, 0, 0), B (0, 4, 0)$ og $C (0, 0, 4)$ .

Finn ei likning for planet $α$ gjennom dei tre punkta.

Løyning

Vektorproduktet $\vec{A B} \times \vec{A C}$ vil vere ein normalvektor for planet.

$\begin{array}{rcl} \vec{A B} & = & [0 - 3, 4 - 0, 0 - 0] \\ = & [- 3, 4, 0] \\ \vec{A C} & = & [0 - 3, 0 - 0, 4 - 0] \\ = & [- 3, 0, 4] \end{array}$

Så må vi rekne ut vektorproduktet.

$\begin{array}{rcl} \vec{A B} \times \vec{A C} & = & [- 3, 4, 0] \times [- 3, 0, 4] \\ = & [4 \cdot 4 - 0 \cdot 0, 0 \cdot (- 3) - 4 \cdot (- 3), ((- 3) \cdot 0 - (- 3) \cdot 4)] \\ = & [16, 12, 12] \\ = & 4 [4, 3, 3] \end{array}$

Vi vel å bruke $[4, 3, 3]$ som normalvektorar for planet $α$ og $A (3, 0, 0)$ som eit punkt i planet. Planlikninga for $α$ blir

$\begin{array}{rcl} a \cdot (x - x_{0}) + b \cdot (y - y_{0}) + c \cdot (z - z_{0}) & = & 0 \\ 4 (x - 3) + 3 (y - 0) + 3 (z - 0) & = & 0 \\ 4 x - 12 + 3 y + 3 z & = & 0 \\ 4 x + 3 y + 3 z - 12 & = & 0 \end{array}$

b) Finn ei parameterframstilling for planet $α$ .

Løysing

Vi treng eit punkt i planet og to ikkje-parallelle vektorar som er parallelle med planet. Vi bruker $A$ som eit punkt i planet og vektorane $\vec{A B}$ og $\vec{A C}$ . Vi har at

$A = (3, 0, 0), \vec{A B} = [- 3, 4, 0], \vec{A C} = [- 3, 0, 4]$

Då blir ei parameterframstilling for planet $α$

$α : {\begin{cases} x = 3 - 3 s - 3 t \\ y = 0 + 4 s + 0 t \\ z = 0 + 0 s + 4 t \end{cases} = {\begin{cases} x = 3 - 3 s - 3 t \\ y = 4 s \\ z = 4 t \end{cases}$

c) Sjekk om punktet $P (1, 1, 2)$ ligg i planet $α$ .

Løysing

Vi set punktet inn i planlikninga.

$4 \cdot 1 + 3 \cdot 1 + 3 \cdot 2 - 12 = 4 + 3 + 6 - 12 = - 1$

Sidan punktet $P$ ikkje oppfyller planlikninga, ligg ikkje $P$ i $α$ .

d) Vi har gitt punktet $Q (- 5, 2, t)$ der $t$ er ein vilkårleg parameter. Bestem $t$ slik at $Q$ ligg i planet $α$ .

Løysing

Vi set punktet inn i planlikninga. Vi får

$\begin{array}{rcl} 4 \cdot (- 5) + 3 \cdot 2 + 3 \cdot t - 12 & = & 0 \\ - 20 + 6 + 3 t - 12 & = & 0 \\ 3 t & = & 26 \\ t & = & \frac{26}{3} \end{array}$

e) Eit anna plan $β$ er parallelt med planet $α$ og går gjennom punktet $R (1, 2, 3)$ . Finn likninga og ei parameterframstilling for planet $β$ .

Løysing

Planet $β$ må ha same normalvektor som $α$ sidan plana er parallelle. Då kan vi gå rett til den generelle planlikninga. Likninga for $β$ blir

$\begin{array}{rcl} a \cdot (x - x_{0}) + b \cdot (y - y_{0}) + c \cdot (z - z_{0}) & = & 0 \\ 4 (x - 1) + 3 (y - 2) + 3 (z - 3) & = & 0 \\ 4 x - 4 + 3 y - 6 + 3 z - 9 & = & 0 \\ 4 x + 3 y + 3 z - 19 & = & 0 \end{array}$

For å finne ei parameterframstilling for planet, bruker vi $R$ som eit punkt i planet. Vi kan bruke vektorane $\vec{A B}$ og $\vec{A C}$ sidan plana $α$ og $β$ er parallelle. Vi har at

$R = (1, 2, 3), \vec{A B} = [- 3, 4, 0], \vec{A C} = [- 3, 0, 4]$

Då blir ei parameterframstilling for planet $α$

$α : {\begin{cases} x = 1 - 3 s - 3 t \\ y = 2 + 4 s + 0 t \\ z = 3 + 0 s + 4 t \end{cases} = {\begin{cases} x = 1 - 3 s - 3 t \\ y = 2 + 4 s \\ z = 3 + 4 t \end{cases}$

f) Løys alle deloppgåvene med GeoGebra.

Løysing

Vi løyser oppgåvene med CAS.

Skjermutklipp frå CAS-feltet i GeoGebra. På linje 1 er A definert med koordinatane 3, 0 og 0. På linje 2 er B definert med koordinatane 0, 4 og 0. På linje 3 er C definert med koordinatane 0, 0 og 4. På linje 4 er alfa definert med kommandoen Plan med argumenta A, B og C. Svaret er alfa kolon 16 x pluss 12 y pluss 12 z er lik 48. På linje 5 er r alfa av s og t definert som A pluss s multiplisert med Vektor av A og B pluss t multiplisert med Vektor av A og C. Svaret er r alfa av s og t kolon er lik koordinatane 3 minus 3 s minus 3 t, 4 s og 4 t. På linje 6 er P definert med koordinatane 1, 1 og 2. På linje 7 er n definert som Normalvektor av alfa. På linje 8 er n multiplisert med P rekna ut til 52. På linje 9 er Q definert med koordinatane minus 5, 2 og t. På linje 10 er n multiplisert med Q satt lik 48. Svaret med Løys er t er lik 26 tredjedelar. På linje 11 er R definert med koordinatane 1, 2 og 3. På linje 12 er beta definert som Normalplan av R og n. Svaret er beta kolon er lik 4 x pluss 3 y pluss 3 z er lik 19. På linje 13 er r beta av s og t definert som R pluss s multiplisert med Vektor av A og B pluss t multiplisert med Vektor av A og C. Svaret er r beta av s og t kolon er lik koordinatane 1 minus 3 s minus 3 t, 2 pluss 4 s og 3 pluss 4 t. Skjermutklipp. — Bilete: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

4.2.43

a) Vi ønsker å finne likninga for $x y$ -planet. Bruk den vanlege framgangsmåten med å bruke eit punkt i planet og ein normalvektor til planet til å løyse oppgåva.

Løysing

Vi treng eit punkt i $x y$ -planet, og då er origo enklast. Ein normalvektor til planet er ${\vec{e}}_{z} = [0, 0, 1]$ . Vi set dette inn i den generelle planlikninga og får

$\begin{array}{rcl} 0 \cdot (x - 0) + 0 (y - 0) + 1 (z - 0) & = & 0 \\ z & = & 0 \end{array}$

b) Prøv å resonnere deg fram til likninga for $x y$ -planet utan å rekne.

Løysing

Det vi veit om alle punkt i $x y$ -planet, er at $z$ -koordinaten er null. Vi kan fritt velje $x$ - og $y$ -koordinatane, men må krevje at $z = 0$ . Det er det einaste kravet til eit punkt i $x y$ -planet. Derfor er likninga for $x y$ -planet $z = 0$ .

c) Finn likningane for dei to andre koordinatplana.

Løysing

Vi vel den alternative løysingsmetoden frå den førre deloppgåva. Det vi veit om punkt i $x z$ -planet, er at $y$ -koordinaten er null. Derfor er likninga for $x z$ -planet $y = 0$ . Ved tilsvarande argumentasjon får vi at likninga for $y z$ -planet er $x = 0$ .

4.2.44

a) Eit plan $α$ går gjennom dei tre punkta $A (3, 1, 0), B (0, 4, 2)$ og $C (1, 0, 4)$ . Finn likninga til planet utan hjelpemiddel først og med hjelpemiddel etterpå.

Løysing

Vektorproduktet $\vec{A B} \times \vec{A C}$ vil vere ein normalvektor for planet.

$\begin{array}{rcl} \vec{A B} & = & [0 - 3, 4 - 1, 2 - 0] \\ = & [- 3, 3, 2] \\ \vec{A C} & = & [1 - 3, 0 - 1, 4 - 0] \\ = & [- 2, - 1, 4] \end{array}$

Så må vi rekne ut vektorproduktet.

$\begin{array}{rcl} \vec{A B} \times \vec{A C} & = & [- 3, 3, 2] \times [- 2, - 1, 4] \\ = & [3 \cdot 4 - (- 1) \cdot 2, 2 \cdot (- 2) - 4 \cdot (- 3), ((- 3) \cdot (- 1) - (- 2) \cdot 3)] \\ = & [14, 8, 9] \end{array}$

Vi vel å bruke $A (3, 1, 0)$ som eit punkt i planet. Planlikninga for $α$ blir

$\begin{array}{rcl} a \cdot (x - x_{0}) + b \cdot (y - y_{0}) + c \cdot (z - z_{0}) & = & 0 \\ 14 (x - 3) + 8 (y - 1) + 9 (z - 0) & = & 0 \\ 14 x - 42 + 8 y - 8 + 9 z & = & 0 \\ 14 x + 8 y + 9 z - 50 & = & 0 \end{array}$

Med CAS i GeoGebra blir det same resultat.

Skjermutklipp frå CAS-feltet i GeoGebra. På linje 1 er A definert med koordinatane 3, 1 og 0. På linje 2 er B definert med koordinatane 0, 4 og 2. På linje 3 er C definert med koordinatane 1, 0 og 4. På linje 4 er alfa definert med kommandoen Plan med argumenta A, B og C. Svaret er alfa kolon 14 x pluss 8 y pluss 9 z er lik 50. Skjermutklipp. — Bilete: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

b) Eit anna plan $β$ er parallelt med planet $α$ og går gjennom punktet $Q (- 1, 1, 0)$ . Finn likninga for planet $β$ .

Løysing

Planet $β$ må ha same normalvektor som $α$ sidan plana er parallelle. Då kan vi gå rett til den generelle planlikninga. Likninga for $β$ blir

$\begin{array}{rcl} a \cdot (x - x_{0}) + b \cdot (y - y_{0}) + c \cdot (z - z_{0}) & = & 0 \\ 14 (x - (- 1)) + 8 (y - 1) + 9 (z - 0) & = & 0 \\ 14 x + 14 + 8 y - 8 + 9 z & = & 0 \\ 14 x + 8 y + 9 z + 6 & = & 0 \end{array}$

4.2.45

Eit plan $α$ er gitt ved parameterframstillinga

$α : {\begin{cases} x = - 1 - 2 s + t \\ y = 3 - 3 s + 2 t \\ z = 1 + 2 s - 2 t \end{cases}$

Finn likninga for planet utan hjelpemiddel.

Løysing

Vi finn enklast eit punkt i planet ved å setje $s = t = 0$ . Dette gir punktet $A (- 1, 3, 1)$ . Vi les av éin vektor i planet med koeffisientane framfor $s$ og ein annan med koeffisientane framfor $t$ . Dette gir vektorane

$\vec{a} = [- 2, - 3, 2], \vec{b} = [1, 2, - 2]$

Ein normalvektor til planet blir derfor

$\begin{array}{rcl} \vec{a} \times \vec{b} & = & [- 3 \cdot (- 2) - 2 \cdot 2, 2 \cdot 1 - (- 2) \cdot (- 2), - 2 \cdot 2 - 1 \cdot (- 3)] \\ = & [6 - 4, 2 - 4, - 4 + 3] \\ = & [2, - 2, - 1] \end{array}$

Då har vi alt vi treng for å kunne bruke den generelle planlikninga til å komme fram til likninga for $α$ , som blir

$\begin{array}{rcl} a \cdot (x - x_{0}) + b \cdot (y - y_{0}) + c \cdot (z - z_{0}) & = & 0 \\ 2 (x - (- 1)) - 2 (y - 3) - 1 (z - 1) & = & 0 \\ 2 x + 2 - 2 y + 6 - z + 1 & = & 0 \\ 2 x - 2 y - z + 9 & = & 0 \end{array}$

4.2.40

4.2.41

4.2.42

4.2.43

4.2.44

4.2.45

Reglar for bruk av teksten "Plan i rommet"