Parameterframstillingar for linjer og kurver i rommet

Rett linje i tre dimensjonar

Den interaktive figuren nedanfor viser ei rett linje i eit tredimensjonalt koordinatsystem. Det er to punkt $$ A$$ og $$ B$$ på linja. Du kan dra i biletet for å sjå linja frå forskjellige kantar.

Posisjonsvektoren for eit punkt på linja

Vi ønsker å beskrive denne linja matematisk. I to dimensjonar kan vi beskrive ei rett linje med éi likning: formelen $$ y=ax+b$$ der $$ a$$ og $$ b$$ er konstantar. Det går ikkje an å setje opp éi tilsvarande likning for ei linje i tre dimensjonar.

Vi kan bruke vektorar til å beskrive linja matematisk. Gitt to punkt $A$ og $B$. La $P$ vere eit vilkårleg punkt på linja gjennom $A$ og $B$. Då vil det alltid finnast ein skalar $t$ slik at

$\overrightarrow{AP}=t·\overrightarrow{AB}$

Vi kan få punktet $$ P$$ til å flytte seg kvar som helst på linja ved å velje rett verdi for $$ t$$. Posisjonsvektoren $\overrightarrow{OP}$ til punktet $$ P$$ kan vi skrive ved hjelp av posisjonsvektoren $$ \overrightarrow{OA}$$ til punktet $$ A$$ som

$$ \begin{array}{rcl}\overrightarrow{OP}& = & \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AP}\\ & =& \overrightarrow{OA}+t·\overrightarrow{AB}\end{array}$$

Når vi endrar verdien på $t$ gradvis, vil $P$ flytte seg langs linja. Då har vi funne den matematiske beskrivinga av linja som vi var på jakt etter. Vi kallar $\overrightarrow{OP}$ for posisjonsvektoren som beskriv linja gjennom $A$ og $B$.

Tenk over

Finst det berre éin unik posisjonsvektor som beskriv linja gjennom $$ A$$ og $$ B$$?

Retningsvektor

Legg merke til at $$ \overrightarrow{AB}$$ er ein vektor som er parallell med linja gjennom $$ A$$ og $$ B$$. Vi seier derfor at $$ \overrightarrow{AB}$$ er ein retningsvektor for linja. Vi kan bruke kva som helst vektor som er parallell med linja som retningsvektor for linja.

Døme

Ei linje $$ l$$ går gjennom punkta $A\left(3, 4, 2\right)$ og $B\left(5, 8, 10\right)$.

Ein posisjonsvektor $\overrightarrow{OP}$ for linja $$ l$$ er

$$ \begin{array}{l}\begin{array}{rcl}\overrightarrow{OP}& = & \overrightarrow{OA}+t·\overrightarrow{AB}\\ & =& \left[3, 4, 2\right]+t\left[5-3, 8-4, 10-2\right]\\ & =& \left[3, 4, 2\right]+t\left[2, 4, 8\right]\\ & =& \left[3+2t, 4+4t, 2+8t\right]\end{array}\end{array}$$

Parameterframstilling

I staden for å beskrive linja ved hjelp av vektorar kan vi bruke ei parameterframstilling av linja. Den tilsvarande parameterframstillinga for linja over blir

$$ x=3+2t, y=4+4t, z=2+8t$$

Dette inneheld den same informasjonen om linja som posisjonsvektoren $\overrightarrow{OP}$, men er skrive på ein annan måte utan vektornotasjon. Parameterframstillinga av linja kan òg skrivast slik:

$$ l:\left\{\begin{array}{l}x=3+2t\\ y=4+4t\\ z=2+8t\end{array}\right.$$

Tenk over

Kan du tenke deg kvifor parameterframstillinga i dømet over gir ei rett linje?

Parameterframstilling ut frå punkt og retningsvektor

I staden for å kjenne to punkt på ei linje er det nok å kjenne eitt punkt $A\left(x_0,y_0,z_0\right)$ på linja og ein retningsvektor $$ \overrightarrow{v_l}=\left[a,b,c\right]$$ for linja.

Ein posisjonsvektor for denne linja blir

$$ \begin{array}{rcl}\overrightarrow{OP}& = & \overrightarrow{OA}+t·\overrightarrow{v_l}\\ & =& \left[x_0, y_0, z_0\right]+t·\left[a, b, c\right]\\ & =& \left[x_0+at, y_0+bt, z_0+ct\right]\end{array}$$

Den tilsvarande parameterframstillinga for linja blir

$$ x=x_0+at, y=y_0+bt, z=z_0+ct$$

eller

$$ l:\left\{\begin{array}{l}x=x_0+at\\ y=y_0+bt\\ z=z_0+ct\end{array}\right.$$

Test deg sjølv

Ei rett linje $$ l$$ går gjennom punktet $$ \left(-2,5,1\right)$$. Vektoren $$ \left[3,2,-4\right]$$ er parallell med linja.

Kan du skrive opp ei parameterframstilling for linja?

Døme

Ei rett linje $$ l$$ er gitt ved parameterframstillinga

$$ l:\left\{\begin{array}{l}x=-1+2t\\ y=3t\\ z=1-t\end{array}\right.$$

Vi skal finne ein retningsvektor til linja $$ l$$ og eit punkt på linja.

For å finne retningsvektoren må vi lese av koeffisientane $$ a, b$$ og $$ c$$ framfor $$ t$$-ledda. Vi får at retningsvektoren er $$ \left[2,3,-1\right]$$.

Eit punkt på linja finn vi enklast ved å lese av $$ x_0,y_0$$ og $$ z_0$$ i parameterframstillinga. Eit punkt på linja blir derfor $$ \left(-1,0,1\right)$$.

Vi kan òg finne eit punkt på linja ved å setje ein bestemd $$ t$$-verdi inn i parameterframstillinga. Ved å velje $$ t=1$$ får vi punktet

$$ \left(2·1,1+2,1^2-1\right)=\left(2,3,0\right)$$

Tenk over

Når vi finn punktet på linja ved å lese av $$ x_0,y_0$$ og $$ z_0$$ , har vi eigentleg valt ein bestemd $$ t$$-verdi. Kva for ein?

GeoGebra

Det er vanskeleg å lage skisser for hand av rette linjer i tre dimensjonar. I GeoGebra får vi teikna linja i dømet over ved å bruke kommandoen "Kurve". Vi vel å kalle kurva $$ r$$ og teikne ho for $$ t\in \left[0,5\right]$$. I algebrafeltet kan vi då skrive

r=Kurve(-1+2t,3t,1-t,t,0,5)

I kommandoen skriv vi først inn vektorkoordinatane, så må vi skrive at det er $$ t$$ som er parameteren. Til slutt skriv vi inn grensene for $$ t$$, som er 0 og 5. Det er verdt å nemne at vi må ha med desse grensene når vi bruker kommandoen "Kurve". Dersom den aktuelle oppgåva eller situasjonen ikkje gir ei avgrensing, må vi derfor velje ei.

For å teikne punktet på linja der $$ t=0$$ kan vi skrive

A=r(0)

Dersom ei eller fleire av likningane i ei parameterframstilling ikkje er av første grad, vil generelt ikkje parameterframstillinga gi ei rett linje, men ei kurve som bøyer seg.

Døme

Vi har gitt parameterframstillinga

$$ k:\left\{\begin{array}{l}x=2t\\ y=t+2\\ z=t^2-1\end{array}\right.$$

På biletet har vi brukt parameterframstillinga og kommandoen "Kurve" til å teikne ei kurve for $$ t\in \left[0,3\right]$$. Som biletet viser, får vi ikkje ei rett linje, men ei parabelforma kurve.

Prøv sjølv

Bruk parameterframstillinga

$$ x=2\sin t, y=2\cos t, z=0.2t$$

til å teikne ei kurve for $$ t\in \left[0,6\pi \right]$$. Kva får du?