Fagartikkel

Avstand og vinkel mellom to linjer i rommet

Vi kan beskrive korleis to linjer i rommet går i forhold til kvarandre ved hjelp av storleikane avstand og vinkel. Korleis finn vi desse storleikane?

Avstanden mellom to linjer i rommet

Definisjon

Med avstanden mellom to linjer i rommet meiner vi alltid den kortaste avstanden vi kan finne mellom linjene.

Tenk over

Vil to ikkje-parallelle linjer i rommet automatisk skjere kvarandre slik som ikkje-parallelle linjer i planet?

Ikkje-parallelle linjer i rommet

Ikkje-parallelle linjer i rommet kan skjere kvarandre, men må ikkje.

På den interaktive figuren nedanfor har vi teikna to ikkje-parallelle linjer $m$ og $n$ som ikkje skjer kvarandre. Vi har òg teikna eit punkt $P$ på $m$ og eit punkt $Q$ på $n$ som er slik at den rette linja mellom punkta står normalt både på $m$ og $n$ . Du kan dra i figuren for å rotere koordinatsystemet.

Filer

Last ned simuleringa her dersom ho ikkje blir vist.(GGB)

Tenk over

Kan du forklare kvifor linjestykket $P Q$ er den kortaste avstanden mellom dei to linjene?

Forklaring

Vi har at den kortaste avstanden frå eit punkt til ei linje måler vi langs normalen frå punktet ned på linja. Det betyr her at vi må finne eit punkt $P$ på $m$ der vi kan trekke ein normal til $n$ . Dette får vi til med alle punkt på $m$ (kvifor?). Vi kallar skjeringspunktet mellom normalen frå $P$ og $n$ for $Q$ . Samtidig må vi krevje at vi kan trekke ein normal frå $Q$ til $m$ for få den kortaste avstanden mellom $Q$ og $m$ . Vi måler derfor den kortaste avstanden mellom dei to linjene langs ei linje som står vinkelrett på både $m$ og $n$ .

Framgangsmåte

Vi bruker vektorrekning til å finne denne avstanden. Framgangsmåten for å finne den kortaste avstanden mellom to linjer i rommet er slik:

Vi lar $P$ vere eit vilkårleg punkt på $m$ og $Q$ eit vilkårleg punkt på $n$ .
Vi set opp eit generelt uttrykk for $\vec{P Q}$ .
Vi bruker at $\vec{P Q}$ står vinkelrett på retningsvektorane
for både $m$ og $n$ .
Vi finn $|\vec{P Q}|$ .

Døme

Vi skal finne avstanden mellom to linjer i rommet gitt ved

$m : {\begin{cases} x = t \\ y = 1 + t \\ z = 2 + 2 t \end{cases}, n : {\begin{cases} x = 3 + s \\ y = s \\ z = - 2 s \end{cases}$

Vi viser framgangsmåten med og utan bruk av CAS.

Linja $m$ har retningsvektor ${\vec{v}}_{m} = [1, 1, 2]$ , og linja $n$ har retningsvektoren ${\vec{v}}_{n} = [1, 1, - 2]$ .

Vi får at $P (t, 1 + t, 2 + 2 t)$ er eit vilkårleg punkt på $m$ , og $Q (3 + s, s, - 2 s)$ er eit vilkårleg punkt på $n$ .

Framgangsmåte utan hjelpemiddel

Vi finn først $\vec{P Q}$ .

$\begin{array}{rcl} \vec{P Q} & = & [(3 + s) - t, s - (1 + t), - 2 s - (2 + 2 t)] \\ = & [s - t + 3, s - t - 1, - 2 s - 2 t - 2] \end{array}$

Så krev vi at $\vec{P Q}$ står normalt på ${\vec{v}}_{m}$ , som betyr at $\vec{P Q} \cdot {\vec{v}}_{m} = 0$ . Det gir oss éi likning med $s$ og $t$ :

$\begin{array}{rcl} [s - t + 3, s - t - 1, - 2 s - 2 t - 2] \cdot [1, 1, 2] & = & 0 \\ s - t + 3 + s - t - 1 - 4 s - 4 t - 4 & = & 0 \\ - 2 s - 6 t - 2 & = & 0 \\ - s - 3 t - 1 & = & 0 \end{array}$

Så krev vi at $\vec{P Q}$ står normalt på ${\vec{v}}_{n}$ , som betyr at $\vec{P Q} \cdot {\vec{v}}_{n} = 0$ . Det gir oss ei ny likning med $s$ og $t$ :

$\begin{array}{l} \begin{array}{rcc} [s - t + 3, s - t - 1, - 2 s - 2 t - 2] \cdot [1, 1, - 2] & = & 0 \\ s - t + 3 + s - t - 1 + 4 s + 4 t + 4 & = & 0 \\ 6 s + 2 t + 6 & = & 0 \\ 3 s + t + 3 & = & 0 \end{array} \end{array}$

Vi får to likningar med to ukjende. Vi løyser likningssettet og finn dei verdiane for $s$ og $t$ som er slik at $\vec{P Q} ⊥ {\vec{v}}_{m}$ og $\vec{P Q} ⊥ {\vec{v}}_{n}$ . Vi vel å ta utgangspunkt i den første likninga.

$\begin{array}{rcl} - s - 3 t - 1 & = & 0 \\ s & = & - 3 t - 1 \end{array}$

Så set vi dette inn i den andre likninga.

$\begin{array}{rcl} 3 s + t + 3 & = & 0 \\ 3 (- 3 t - 1) + t + 3 & = & 0 \\ - 9 t - 3 + t + 3 & = & 0 \\ - 8 t & = & 0 \\ t & = & 0 \\ s & = & - 3 t - 1 \\ = & - 3 \cdot 0 - 1 \\ = & - 1 \end{array}$

Vi set desse verdiane inn i utrykket for $\vec{P Q}$ for å finne koordinatane til den vektoren som står normalt på retningsvektorane til dei to linjene.

$\begin{array}{rcl} \vec{P Q} & = & [s - t + 3, s - t - 1, - 2 s - 2 t - 2] \\ = & [- 1 - 0 + 3, - 1 - 0 - 1, - 2 \cdot (- 1) - 2 \cdot 0 - 2] \\ = & [2, - 2, 0] \end{array}$

Til slutt finn vi lengda av $\vec{P Q}$ .

$|\vec{P Q}| = \sqrt{2^{2} + {(- 2)}^{2} + 0^{2}} = \sqrt{8} = 2 \sqrt{2}$

Avstanden mellom dei to linjene er $2 \sqrt{2}$ .

Framgangsmåte med CAS i GeoGebra

Skjermutklipp frå CAS-vindauget i GeoGebra. På linje 1 er m av t definert med koordinatane t, 1 pluss t og 2 pluss 2 t. På linje 2 er n av s definert med koordinatane 3 pluss s, s og minus 2 s. På linje 3 er P Q av s og t definert som Vektor parentes m komma, n parentes slutt. På linje 4 er det skrive P Q multiplisert med m derivert av t er lik 0. Svaret er minus 2 s minus 6 t minus 2 er lik 0. På linje 5 er det skrive P Q multiplisert med n derivert av s er lik 0. Svaret er 6 s pluss 2 t pluss 6 er lik 0. På linje 6 er det skrive sløyfeparentes dollarteikn 4 komma, dollarteikn 5 sløyfeparentes slutt. Svaret med Løys er s er lik minus 1 og t er lik 0. På linje 7 er det skrive absoluttverdien av P Q av minus 1 og 0. Svaret er 2 rota av 2. Skjermutklipp. — Bilete: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Legg merke til at i linje 7 gjer vi to operasjonar i éin kommando: Vi set både inn parameterverdiane i vektorfunksjonen PQ og finn lengda av vektoren som blir resultatet av innsetjinga. Vi får det same svaret som vi fekk utan hjelpemiddel.

Tenk over

Linjene $m$ og $n$ har ulik parameter, $t$ og $s$ . Kva inneber det om linjene har den same parameteren?

Forklaring

Vi tenker oss no at $P$ er i det punktet på $m$ der avstanden er kortast, og at parameterverdien der er $t_{1}$ . Vi veit ikkje om denne parameterverdien gjer at $Q$ er i det tilsvarande punktet på $n$ der avstanden er kortast. Vi må derfor kunne velje parameteren for linja $n$ uavhengig av parameteren for $m$ , og då må vi ha to ulike parametrar. Vi har òg sett i dette dømet at parameterverdiane som gir den kortaste avstanden mellom $P$ og $Q$ , er ulike.

I praktiske døme står parameteren $t$ ofte for tida. Til dømes kan det vere to fly som følger kvar sin bane gitt ved kvar si parameterframstilling. Når vi skal undersøke kor nær kvarandre flya kjem, held det ikkje å finne ut kor nære banane er på det næraste sidan det skal noko til at flya er i desse punkta samtidig. Dette ser vi nærare på under "Fart og akselerasjon".

Vinkelen mellom to linjer i rommet

Sidan alle retningsvektorar til ei linje er parallelle med linja, kan vi bruke vinkelen mellom retningsvektorane til dei to linjene for å finne vinkelen mellom linjene. Vi bruker derfor skalarproduktet mellom retningsvektorane til å finne vinkelen mellom linjene.

Døme

Vi skal finne vinkelen mellom to linjer i rommet gitt ved

$m : {\begin{cases} x = - 3 + t \\ y = - 2 t \\ z = 1 + t \end{cases}, n : {\begin{cases} x = 4 - 2 s \\ y = 1 + s \\ z = - 1 + s \end{cases}$

Retningsvektorar for dei to linjene er

${\vec{v}}_{m} = [1, - 2, 1]$ for $m$
${\vec{v}}_{n} = [- 2, 1, 1]$ for $n$

Framgangsmåte utan hjelpemiddel

Først kallar vi vinkelen mellom dei to retningsvektorane for $u$ . Skalarproduktet mellom vektorane gir oss

$\begin{array}{rcl} {\vec{v}}_{m} \cdot {\vec{v}}_{n} & = & | {\vec{v}}_{m} | \cdot | {\vec{v}}_{n} | \cdot \cos u \\ \cos u & = & \frac{{\vec{v}}_{m} \cdot {\vec{v}}_{n}}{| {\vec{v}}_{m} | \cdot | {\vec{v}}_{n} |} \\ = & \frac{[1, - 2, 1] \cdot [- 2, 1, 1]}{\sqrt{1^{2} + {(- 2)}^{2} + 1^{2}} \cdot \sqrt{{(- 2)}^{2} + 1^{2} + 1^{2}}} \\ = & \frac{- 2 - 2 + 1}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} \\ = & \frac{- 3}{6} \\ = & - \frac{1}{2} \\ u & = & \frac{2 π}{3} \lor u = \frac{4 π}{3} \end{array}$

Sidan vi definerer vinkelen mellom to vektorar som den minste av dei to moglege vinklane, får vi at $u = \frac{2 π}{3}$ .

Tenk over

Har vi funne vinkelen mellom linjene no? Kva skjer dersom vi vel ein retningsvektor for $m$ som går motsett veg? Studer figuren.

To vektorar v m og v n som kryssar kvarandre. Vinkelen u mellom vektorane er større enn pi halve. Illustrasjon. — Vinkelen u mellom to vektorar. Bilete: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Forklaring

Figuren viser vektorane ${\vec{v}}_{m}$ og ${\vec{v}}_{n}$ i dømet. Dersom vi tilfeldigvis hadde valt ein retningsvektor for $n$ som hadde gått i motsett retning av ${\vec{v}}_{n}$ på figuren, ville vi ha enda opp med vinkelen $π - u$ .

Vi definerer at vinkelen $w$ mellom to linjer er den minste vinkelen vi kan få mellom to retningsvektorar for linjene. Sidan $u = \frac{2 π}{3}$ i dømet vårt, blir vinkelen $π - u < u$ . Vinkelen $w$ mellom linje $m$ og linje $n$ er derfor

$w = π - u = π - \frac{2 π}{3} = \frac{π}{3}$

Tenk over

Når er det vi finn vinkelen mellom linjene som $π - u$ og ikkje som $u$ ?

Forklaring

Dersom vinkelen $u$ mellom retningsvektorane tilfredsstiller $\frac{π}{2} < u \leq π$ , blir vinkelen mellom linjene $π - u$ .

Framgangsmåte med CAS

Med CAS finn vi vinkelen enklast med kommandoen "Vinkel".

Skjermutklipp frå CAS-vindauget i GeoGebra. På linje 1 er m av t definert med koordinatane minus 3 pluss t, minus 2 t og 1 pluss t. På linje 2 er n av s definert med koordinatane 4 minus 2 s, 1 pluss s og minus 1 pluss s. På linje 3 er u definert som Vinkel parentes m derivert av t komma, n derivert av s parentes slutt. Svaret er u kolon er lik 2 tredjedels pi. På linje 4 er w definert som pi minus u. Svaret er w kolon er lik ein tredjedels pi. Skjermutklipp. — Bilete: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Tenk over

Må vi skrive inn linjene med ulike parametrar her?

Forklaring

Nei. Vi bruker berre retningsvektorane i rekninga vidare. Retningsvektorane finn vi ved å derivere vektorfunksjonane, og koordinatane til retningsvektorane er konstantar.

Nedanfor har vi formulert definisjonen på vinkelen mellom to linjer meir matematisk.

Matematisk definisjon

La $u$ vere vinkelen mellom retningsvektorane til to linjer, $m$ og $n$ .

Vi definerer vinkelen $w$ mellom linjene $m$ og $n$ slik at

$w = u$ viss $u \leq \frac{π}{2}$

og

$w = π - u$ viss $u > \frac{π}{2}$

Video om avstanden mellom to linjer i rommet

Legg merke til at det er gjort ein liten reknefeil cirka 17 minutt ut i videoen, men reknefeilen har inga betydning for svaret.

Avstanden mellom to linjer i rommet. Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA 4.0

Video om vinkelen mellom to linjer i rommet

Vinkelen mellom to linjer i rommet. Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA 4.0