Avstand punkt–linje. Vektorfunksjonar

Med avstanden frå eit punkt $$ A$$ til ei rett linje $$ l$$ meiner vi den kortaste avstanden vi kan få frå $$ A$$ til eit punkt på linja.

Prøv sjølv

Du kan dra i punktet $$ P$$ på linja i den interaktive figuren nedanfor eller bruke piltastane med punktet $$ P$$ aktivt. Du kan lese av avstanden $$ AP$$ frå $$ A$$ til $$ P$$ og vinkelen mellom linja og linjestykket $$ AP$$ i figuren.

Kor stor er vinkelen mellom linja og linjestykket $$ AP$$ når avstanden er kortast?

Kortaste avstand

Den kortaste avstanden frå punktet $A$ til linja $l$ måler vi langs normalen frå $A$ ned på linja, sjå figuren nedanfor.

Vi skal her vise to metodar for å finne denne avstanden. Det er viktig at du lærer deg begge metodane fordi dette er generelle metodar som kan brukast på andre problemstillingar.

Vi skal bruke ein trekant slik som på figuren til hjelp.

Tenk over

Korleis kan ein slik trekant hjelpe oss med å finne avstanden frå eit punkt til ei linje?

Vi set opp to ulike måtar for å finne arealet av ein trekant slik at vi får ei likning der vi kan bestemme $$ h$$.

1. Vi kan rekne ut arealet ved hjelp av den vanlege arealformelen for trekantar:
   $$ A_{△}=\frac{1}{2}g·h=\frac{1}{2}\left|\overrightarrow{a}\right|·h$$

2. Vi kan bruke arealformelen som inneheld vektorproduktet mellom $$ \overrightarrow{a}$$ og $$ \overrightarrow{b}$$:
   $$ A_{△}=\frac{1}{2}\left|\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}\right|$$

Desse to formlane må gi det same arealet. Vi får

$$ \begin{array}{rcl}\frac{1}{2}\left|\overrightarrow{a}\right|·h & =& \frac{1}{2}\left|\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}\right|\\ h & =& \frac{\left|\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}\right|}{\left|\overrightarrow{a}\right|}\end{array}$$

Døme

Vi har gitt punkta $$ A\left(0,7,2\right)$$, $$ B\left(4,0,2\right)$$ og $$ C\left(3,5,1\right)$$. Finn avstanden frå $$ A$$ til linja gjennom $$ B$$ og $$ C$$.

Løysing utan hjelpemiddel

Vi byrjar med å finne $$ \overrightarrow{a}$$, $$ \overrightarrow{b}$$ og $$ \overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}$$ og lengda av desse.

$$ \begin{array}{rcl}\overrightarrow{a} & =& \overrightarrow{BC}=\left[3-4,5-0,1-2\right]=\left[-1,5,-1\right]\\ \left|\overrightarrow{a}\right| & =& \sqrt{{\left(-1\right)}^2+5^2+{\left(-1\right)}^2}=\sqrt{1+25+1}=\sqrt{27}\\ & & \\ \overrightarrow{b} & =& \overrightarrow{BA}=\left[0-4,7-0,2-2\right]=\left[-4,7,0\right]\\ \overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b} & =& [5·0-7·\left(-1\right),-1·\left(-4\right)-0·\left(-1\right),-1·7-\left(-4\right)·5]\\ & =& \left[7,4,13\right]\\ \left|\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}\right| & =& \sqrt{7^2+4^2+{13}^2}\\ & =& \sqrt{49+16+169}\\ & =& \sqrt{234}\end{array}$$

Vi får

$$ \begin{array}{rcl}h & =& \frac{\left|\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}\right|}{\left|\overrightarrow{a}\right|}=\frac{\sqrt{234}}{\sqrt{27}}=\frac{\sqrt{9·26}}{\sqrt{9·3}}=\sqrt{\frac{26}{3}}\end{array}$$

Avstanden frå $$ A$$ til linja gjennom $$ B$$ og $$ C$$ er $$ \sqrt{\frac{26}{3}}$$.

Løysing med hjelpemiddel

Med CAS går dette raskare:

Kontroller at dette er det same svaret som vi fekk utan hjelpemiddel.

Er det vanskeleg å hugse formelen for avstanden $$ h$$? Då er det bra at formelen er lett å utleie ut ifrå dei to formlane for arealet av ein trekant – dersom du hugsar dei.

I den andre metoden bruker vi denne framgangsmåten:

• Vi finn eit uttrykk for vektoren frå punktet $A$ til eit vilkårleg punkt $$ P(x,y,z)$$ på linja $l$.
• Vi finn deretter den verdien av parameteren som gjer at denne vektoren står vinkelrett på $l$ sidan vi har frå øvst på sida at det er då avstanden er kortast. Vi bruker då at skalarproduktet $$ \overrightarrow{AP}·{\overrightarrow{v}}_l=0$$, der $$ {\overrightarrow{v}}_l$$ er ein
  retningsvektor for linja $l$.

• Lengda av den vektoren vi då får, er avstanden frå $A$ til $l$.

Vi vel å vise framgangsmåten med eit døme.

Døme

Gitt ei linje på parameterform

$$ l:\left\{\begin{array}{l}x=4-t\\ y=5t\\ z=2-t\end{array}\right.$$

Finn avstanden frå punktet $$ A(0,7,2)$$ til eit vilkårleg punkt $P$ på linja.

Løysing utan hjelpemiddel

Eit vilkårleg punkt $$ P$$ på linja har dei same koordinatane som posisjonsvektoren $$ \overrightarrow{OP}$$. Det gir at $$ P=\left(4-t,5t,2-t\right)$$.

Vidare får vi at

$$ \overrightarrow{AP}=\left[\left(4-t\right)-0,5t-7,\left(2-t\right)-2\right]=\left[4-t,5t-7,-t\right]$$

For at lengda av $\overrightarrow{AP}$ skal bli så kort som mogleg, skal $\overrightarrow{AP}$ stå vinkelrett på retningsvektoren til linja, som er $$ {\overrightarrow{v}}_l=\left[-1,5,-1\right]$$. Då må skalarproduktet mellom vektorane vere lik 0. Matematisk skriv vi

$$ \begin{array}{rcl}\overrightarrow{AP}\perp {\overrightarrow{v}}_l \iff \overrightarrow{AP}·{\overrightarrow{v}}_l& = & 0\end{array}$$

Dette gir vidare

$$ \begin{array}{rcl}\left[4-t,5t-7,-t\right]·\left[-1,5,-1\right] & =& 0\\ \left(4-t\right)·\left(-1\right)+\left(5t-7\right)·5+\left(-t\right)·\left(-1\right) & =& 0\\ -4+t+25t-35+t & =& 0\\ 27t & =& 39\\ t & =& \frac{39}{27}=\frac{13}{9}\end{array}$$

Vi set denne $t$-verdien inn i uttrykket for $\overrightarrow{AP}$.

$$ \begin{array}{rcl}\overrightarrow{AP}& = & \left[4-\frac{13}{9}, 5·\frac{13}{9}-7, -\frac{13}{9}\right]=\left[\frac{23}{9}, \frac{2}{9}, -\frac{13}{9}\right]\end{array}$$

Avstanden frå $A$ til $l$ blir lengda av denne vektoren.

$$ \begin{array}{rcl}\left|\overrightarrow{AP}\right| & =& \sqrt{{\left(\frac{23}{9}\right)}^2+{\left(\frac{2}{9}\right)}^2+{\left(-\frac{13}{9}\right)}^2}=\sqrt{\frac{702}{9^2}}=\sqrt{\frac{78·9}{9^2}}=\frac{\sqrt{78}}{3}\end{array}$$

Avstanden frå punktet $A$ til linja $l$ er $\frac{\sqrt{78}}{3}$.

Løysing med hjelpemiddel

Legg merke til i framgangsmåten med CAS nedanfor at vi skriv inn linja $$ l$$som ein funksjon og kallar han r(t). Vi gjer tilsvarande med $\overrightarrow{AP}$ og kallar han AP(t). Dette er nødvendig for å kunne rekne med uttrykka på ein enkel måte.

Vi kan òg finne ein retningsvektor $$ {\overrightarrow{v}}_l$$ for $$ l$$ med CAS på ein enkel måte: Vi deriverer r(t). (Sjå forklaring lenger ned.)

I linje 4 finn vi ein retningsvektor vl for linja ved å derivere r(t). Vi ser at vi får same retningsvektor som vi brukte då vi løyste oppgåva utan hjelpemiddel over. I linje 5 løyser vi likninga $$ \overrightarrow{AP}·{\overrightarrow{v}}_l=0$$ for å finne $$ t$$-verdien som gjer at skalarproduktet blir 0, og i linje 6 reknar vi ut avstanden mellom $$ A$$ og linja som lengda av $$ \overrightarrow{AP}$$ når vi set denne $$ t$$-verdien inn i AP(t).

Tenk over

Kvifor får vi ein retningsvektor for linja $$ l$$ når vi deriverer r(t)?

Når vi skriv linja $$ l$$ som r(t):=(4-t,5t,2-t) slik vi har gjort det i linje 1 i CAS-biletet over, kallar vi r(t) for ein vektorfunksjon. Vi ser på vektoren som ein funksjon av variabelen $$ t$$.

Tenk over

Er AP(t) i linje 3 ein vektorfunksjon?

Vektorfunksjonar og kurver

Når vi skal rekne med linjer og kurver i CAS i GeoGebra som i dømet her, bør vi skrive dei inn som vektorfunksjonar slik vi har gjort. Dersom vi berre ønsker å teikne ei kurve, eller delar av ho, bruker vi kommandoen "Kurve".

I dømet i metode 1 (arealmetoden) hadde vi gitt tre punkt. Då er det som regel enklast å bruke denne metoden. I dømet i metode 2 (skalarproduktmetoden) der vi har gitt parameterframstillinga av linja, er det som regel enklast å bruke metode 2.