Skjering og vinkel mellom linje og plan

Vi ønsker å finne kvar linja $$ l$$ gitt som

$$ l:\left\{\begin{array}{l}x=4-t\\ y=5t\\ z=2-t\end{array}\right.$$

skjer $$ xy$$-planet.

Tenk over

Kva er likninga for $$ xy$$-planet?

Skjeringspunktet

Sidan skjeringspunktet må oppfylle kravet $$ z=0$$, kan vi finne kva verdi for parameteren $$ t$$ i parameterframstillinga til $$ l$$ som gir at $$ z=0$$.

$$ \begin{array}{rcl}z & =& 0\\ 2-t & =& 0\\ t & =& 2\end{array}$$

Så kan vi rekne ut dei to andre koordinatane.

$$ \begin{array}{rcl}x & =& 4-t=4-2=2\\ y & =& 5t=5·2=10\end{array}$$

Skjeringspunktet mellom linja $$ l$$ og $$ xy$$-planet er $$ \left(2,10,0\right)$$.

For å finne skjeringspunktet mellom linja og dei to andre koordinatplana gjer vi tilsvarande ved å bruke at i $$ xz$$-planet er $$ y$$-koordinaten lik 0, mens i $$ yz$$-planet er $$ x$$-koordinaten lik 0.

Vi ønsker å finne ein framgangsmåte for å finne skjeringspunktet mellom eit generelt plan og ei linje.

Døme

Vi skal finne skjeringspunktet mellom linja $l$ og planet $\beta$ gitt ved

$$ \begin{array}{rcl}l: \{\begin{array}{l}x=5+t\\ y=6+2t\\ z=1-5t\end{array} \beta : 2x+3y-z-1 & =& 0\end{array}$$

Løysing utan hjelpemiddel

For hand må vi først finne den verdien for linjeparameteren $t$ som gir det punktet på $l$ som har koordinatar som passar i likninga for $\beta$. Det får vi til ved å setje uttrykka for koordinatane i definisjonen til linja inn i planlikninga. Det betyr at vi erstattar $$ x$$ i planlikninga med $$ 5+t$$ og gjer tilsvarande med $$ y$$ og $$ z$$. Vi kan seie at vi set parameterframstillinga for $$ l$$ inn i planlikninga til $$ \beta $$.

$$ \begin{array}{rcl}2\left(5+t\right)+3\left(6+2t\right)-\left(1-5t\right)-1& = & 0\\ 10+2t+18+6t-1+5t-1& =& 0\\ 13t& =& -26\\ t& =& -2\end{array}$$

Så set vi denne parameterverdien inn i parameterframstillinga til $$ l$$. Dette gir

$$ \begin{array}{rcl}x& = & 5+\left(-2\right)=3\\ y& =& 6+2·\left(-2\right)=2\\ z& =& 1-5·\left(-2\right)=11\end{array}$$

Skjeringspunktet mellom $$ l$$ og $$ \beta $$ er altså $(3, 2, 11)$.

Løysing med hjelpemiddel

For å finne skjeringspunktet med GeoGebra kan vi starte med å skrive inn linja $$ l$$ i CAS på vanleg måte som ein vektorfunksjon. Så gjer vi det same som vi gjorde utan hjelpemiddel: set koordinatane til $$ l$$ inn i planlikninga og løyser likninga vi får. Til slutt set vi $$ t$$-verdien inn i vektorfunksjonen for $$ l$$, som vi har kalla r(t).

I algebrafeltet kan vi bruke kommandoen Skjering(β,r). Vi kan i tillegg bruke verktøyet "Skjering mellom to objekt" i 3D-grafikkfeltet for å finne skjeringspunktet. Resultatet i 3D-grafikkfeltet blir som på figuren over. Her heiter skjeringspunktet $A$.

Tenk over

Kva er forskjellen på framgangsmåten når vi skal finne skjeringspunktet mellom ei linje og eitt av koordinatplana, og framgangsmåten når vi skal finne skjeringspunktet mellom ei linje og eit generelt plan?

Vi ønsker å finne vinkelen mellom ei vilkårleg linje $$ l$$ og eit plan $$ \alpha $$.

I figuren nedanfor har vi teikna $$ l$$ med ein retningsvektor $$ \overrightarrow{v}$$ og $$ \alpha $$ med ein normalvektor $$ \overrightarrow{n}$$. $$ \alpha $$ ser ut som ei linje på figuren fordi vi ser langs planet. $$ u$$ er vinkelen mellom $$ \overrightarrow{v}$$ og $$ \overrightarrow{n}$$.

Tenk over

Kva for ein av vinklane på figuren er vinkelen mellom planet $$ \alpha $$ og linja $$ l$$ som vi ønsker å finne?

Tenk over

Korleis kan vi uttrykke $$ w$$ ved hjelp av $$ u$$?

Vi finn vinkelen $$ w$$ mellom planet $$ \alpha $$ og linja $$ l$$ ved å finne vinkelen $$ u$$ mellom retningsvektoren $$ \overrightarrow{v}$$ til linja og normalvektoren $$ \overrightarrow{n}$$ til planet og rekne ut $$ \frac{\pi }{2}-u$$.

Tenk over

Kva gjer vi dersom vi får at vinkelen mellom retningsvektoren $$ \overrightarrow{v}$$ til linja og normalvektoren $$ \overrightarrow{n}$$ til planet blir større enn $$ \frac{\pi }{2}$$?

Forklaring

Sjå figuren nedanfor. Dersom vinkelen $$ u>\frac{\pi }{2}$$, finn vi $$ w$$ ved å snu reknestykket og rekne ut $$ u-\frac{\pi }{2}$$.

Oppsummering, vinkel mellom plan og linje