Njuike sisdollui
Bargobihttá

Posisjonsvektor og vektor mellom punkter

Her får du jobbe med oppgaver om posisjonsvektorer og vektorer mellom punkter.

4.2.20

Vi har gitt punktene A4,0,B3,5,C0,7,D-3,5,E-4,0,F-3,-5 og G3,-5

a) Skriv ned posisjonsvektorene til alle punktene.

Løsning

OA=4,0OB=3,5OC=0,7OD=-3,5OE=-4,0OF=-3,-5OG=3,-5

b) Uttrykk vektorene AB,CD,EF,GC,FAogEC ved hjelp av posisjonsvektorene til endepunktene.

Løsning

AB=-OA+OB=OB-OACD=-OC+OD=OD-OCEF=-OE+OF=OF-OEGC=-OG+OC=OC-OGFA=-OF+OA=OA-OFEC=-OE+OC=OC-OE

c) Uttrykk vektorene i b) på koordinatform.

Løsning

AB=3-4,5-0=-1,5CD=-3-0,5-7=-3,-2EF=-3--4,-5-0=1,-5GC=0-3,7--5=-3,12FA=4--3,0--5=7,5EC=0--4,7-0=4,7

4.2.21

Vi har gitt punktet A(2,3).

a) Et punkt B ligger slik at AB=4,7. Finn koordinatene til B.

Løsning

AB = xB-xA,yB-yA4,7 = xB-2,yB-34 = xB-2xB = 67 = yB-3yB = 10B=6,10

b) Et punkt C ligger slik at AC=BA. Finn koordinatene til C:

Løsning

AC = BA=-AB=-4,7=-4,-7AC = xC-xA,yC-yA-4,-7 = xC-2,yC-3-4 = xC-2xC = -2-7 = yC-3yC =- 4C=-2,-4

4.2.22

Vi har gitt punktene A(1,3), B(4,2), C(3,1) og D(7,1).

a) Undersøk om vektorene AB og AD er parallelle.

Løsning

Vi må undersøke om det finnes et tall som gjør at den ene vektoren kan skrives som et multiplum av den andre. Det gjør vi enklest ved å undersøke forholdet mellom x-koordinatene og y-koordinatene til vektorene:

AB=4-1,2-3=3,-1AD=7-1,1-3=6,-2xABxAD=36=12yAByAD=-1-2=12AB=12AD

Her har vi AB=t·AD, der t = 12, altså er de to vektorene parallelle

b) Undersøk om vektorene AC og AD er parallelle.

Løsning

Vi gjør som i oppgave a) og leter etter en t som gjør at AC=t·AD

AC=3-1,1-3=2,-2AD=7-1,1-3=6,-2xACxAD=26=13yACyAD=-2-2=1

Vi kan ikke finne noen slik t, altså er de to vektorene ikke parallelle.

c) Bruk resultatene i a) og b) til å avgjøre om punktene A, B og D ligger på linje, og om punktene A, C og D ligger på linje.

Løsning

A, B og D ligger på linje, siden de to vektorene starter i samme punkt og er parallelle. A, C og D ligger ikke på linje, siden vektorene ikke er parallelle.

4.2.23

Vi har gitt punktene A(1,-3) og B(5,2).

a) Uttrykk vektoren AB på koordinatform.

b) Finn en vektor som går i samme retning som AB og er dobbelt så lang.

c) Finn en vektor som er parallell med AB, går i motsatt retning og er halvparten så lang.

Løsning

a)
AB = xB-xA,yB-yA= 5-1,2--3= 4,5

b)
2·AB = 2·4,5= 8,10

c)
12·-AB = 12-4,5= -42,-52= -2,-52

4.2.24

Vi har gitt punktene A(1,3), B(2,2) og C(4,2). Et punkt D ligger slik at x(D) = x(A) og ABCD. Finn koordinatene til punktet D.

Løsning

Vi har at D=1,y og at CD kan skrives på følgende to måter:

CD = t·AB= t·2-1,2-3= t·1,-1= t,-tCD = 1-4,y-2= -3,y-2

Vi vet at de to x-koordinatene må være like, og det samme må de to y-koordinatene være. Dette kan vi bruke for å finne t og dermed y:

-3=ty-2 = -ty-2 = --3y-2 = 3y = 5

Punkt D er altså (1,5).