Njuike sisdollui
Fágaartihkal

Lengden av en vektor gitt på koordinatform

Vi kan enkelt regne ut lengden til en vektor gitt på koordinatform. Dette kan vi blant annet bruke til å finne avstand mellom punkter i planet og til å finne vinkler mellom vektorer på koordinatform.

Lengden av vektorer på koordinatform

Vi har sett at når en vektor prikkes med seg selv, får vi at:

a·a = a·a·cos0°  a2=a2·1   a2=a2  

Det betyr at vi har

a=a2

For en vektor gitt på koordinatform får vi da

x, y=x, y2=x, y·x, y=x2+y2

Lengden av vektoren x, y finner vi slik

x, y=x2+y2

Illustrert med Pytagoras

Vi kan også illustrere formelen for lengden av en vektor ved hjelp av Pytagoras’ læresetning. Vi tegner vektoren 3,4 i et koordinatsystem. For enkelhets skyld velger vi å tegne den fra origo. Vi ser at vi får en rettvinklet trekant hvor de to katetene er 3 og 4 enheter lange. Da finner vi lengden på hypotenusen slik:

h2=32+42h=32+42

Generelt har vi altså, som over: x, y=x2+y2

Regneeksempel

6, 8=62+82=36+64=100=10

Med CAS i GeoGebra skriver vi lengde(vektor((6,8)) for å finne lengden av en vektor.

Avstand mellom punkter i planet

Vi har sett hvordan vi finner vektoren mellom to punkter i planet, og hvordan vi finner lengden av en vektor. Da kan vi finne avstanden mellom to punkter som lengden til vektoren mellom punktene.

Gitt punktene Ax1, y1 og Bx2, y2. Avstanden mellom A og B er

AB=x2-x1, y2-y1=x2-x12+y2-y12

Vi ser på punktene A(2, 3) og B(5, 7). Avstanden mellom A og B er

AB=5-2, 7 -3=5-22+7-32=32+42=25=5

Vinkelen mellom vektorer på koordinatform

Gitt vektorene

p=1, 2  og  q=3, 1

La α være vinkelen mellom vektorene. (Vi minner om at vinkelen mellom to vektorer er den minste vinkelen mellom dem når vektorene plasseres med samme utgangspunkt.)

Definisjon av skalarproduktet gir da


          p·q = p·q·cosα1, 2·3, 1=1, 2·3, 1·cosα         cosα=1, 2·3, 11, 2·3, 1         cosα=1·3+2·112+22·32+12        cosα=55·10=12=22             α=cos-122=45°

Vinkel mellom vektorer i GeoGebra

Vi kan regne ut vinkelen mellom to vektorer i GeoGebra. Her er det viktig å være klar over at GeoGebra har som default å regne ut vinkler i et annet vinkelmål enn grader, nemlig radianer. Dette vinkelmålet vil du bli bedre kjent med i R2. I linje 4 ser du hvordan du kan gjøre om til grader ved å bruke Vinkel-kommandoen en gang til.

Video om lengden av en vektor

Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA 4.0

Video om avstand mellom punkter i planet

Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY-NC-SA 4.0