Njuike sisdollui
Fágaartihkal

Vektorer på koordinatform

Ved å plassere vektorer i et koordinatsystem kan vi beskrive dem ved tallkoordinater.

Det er ikke særlig effektivt å regne med vektorer når de er representert med piler. Da må vi for eksempel parallellforskyve vektorpilene for å finne summer og differanser.

Det er imidlertid mulig å beskrive vektorene med tall slik at vi kan regne oss fram til for eksempel summer, differanser og skalarprodukt. Det oppnår vi ved å plassere vektorene i et koordinatsystem.

I koordinatsystemet på figuren har vi plassert to vektorer med utgangspunkt i origo. Vektoren ex går fra origo til punktet (1, 0), og ey går fra origo til punktet (0, 1).

Disse vektorene har lengde 1, er parallelle med henholdsvis x-aksen og y-aksen og står normalt på hverandre. Vi kaller dem enhetsvektorer.

I koordinatsystemet har vi også tegnet a. Vi ser at vi kan skrive a som en sum av de to vektorene ax og ay.

a=ax+ay=5·ex+3·ey

Alle vektorer kan på tilsvarende måte skrives som en kombinasjon av enhetsvektorene.

Når vi skal tegne a, kan vi starte hvor som helst i koordinatsystemet og så gå 5 enheter mot høyre og 3 enheter oppover for å finne vektorens endepunkt. Når tallene 5 og 3 er kjent, er vektoren bestemt. Vi innfører en forenklet skrivemåte for a:

a=5, 3

Denne skrivemåten ligner på måten punkt blir angitt på, men det er en viktig forskjell. For vektorer bruker vi klammeparenteser mens vi for punkt bruker vanlige parenteser.

(5, 3) kalles punktkoordinater og angir punktet som har x-koordinat lik 5 og y-koordinat lik 3.

5, 3 kalles vektorkoordinater, og det er det samme som vektoren 5·ex+3·ey.

Eksempel

b = -2·ex+-3·ey = -2,-3

Når vi skal tegne b, kan vi starte hvor som helst i koordinatsystemet og så gå 2 enheter mot venstre og 3 enheter nedover for å finne vektorens endepunkt.

Definisjon

Alle vektorer kan skrives som en vektorsum av enhetsvektorer. Dette gir grunnlag for innføring av vektorkoordinater.

x, y=x·ex+y·ey

Vi bruker klammeparenteser for å betegne en vektor mens vi bruker vanlige parenteser for å betegne et punkt.

I GeoGebra brukes ikke klammeparenteser. Her kan (5, 3) angi både en vektor og et punkt. Bruker du stor bokstav og skriver A= (5, 3), får du punktet. Bruker du liten bokstav og skriver v=(5, 3), får du vektoren [5, 3] med start i origo. GeoGebra bruker også skrivemåten 53 for vektorer, som vi ser av bildet nedenfor.

Video om vektorer på koordinatform

Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA 4.0