Njuike sisdollui
Bargobihttá

Lengden av en vektor gitt på koordinatform

Her kan du jobbe med oppgaver om lengden av vektorer gitt på koordinatform.

4.2.40

Vi har gitt punktene A (2,3) og B (5,7).

a) Skriv AB på koordinatform.

Løsning

AB=5-2,7-3=3,4

b) Regn ut lengden av AB.

Løsning

AB=3,4=32+42=25=5

c) Et punkt C ligger slik at AC=4 og x-koordinaten til C er lik x-koordinaten til A. Finn y-koordinaten til C.

Løsning

AC = 42-2,y-3 = 402+y-32 = 4y-32 = 16y-3 = 4        y-3=-4y = 7        y=-1

4.2.41

Vi har gitt punktene A (1,6), B (4,10) og C (4,8).

a) Finn avstanden mellom A og B.

Løsning

Avstanden mellom A og B er det samme som lengden av AB:

AB=4-1,10-6=32+42=5

b) Punktet D ligger slik at CD=2AB og CD32,-2. CD skal gå i samme retning som 32,-2. Finn koordinatene til D.

Løsning

Vi begynner med å finne lengden til CD , som er 10.

Videre har vi at CD=x-4,y-8 og at CD=t32,-2=32t,-2t.

Nå kan vi finne t:

CD=322t2+-22t2=t294+4=t254=t·52CD=10t·52=10t=4

Siste trinn: Vi setter inn 4 for t og finner koordinatene til D:

CD=432,-2=6,-8CD=x-4,y-8=6,-8x-4=6y-8=-8x=10y=0

Punktet D er altså (10,0).

c) Finn vinkelen mellom AB og CD.

Løsning

Vi bruker formelen for skalarproduktet:

AB=3,4CD=6,-8AB=5CD=10AB·CD=3,4·6,-8=3·6+4·-8=18-32=-14cosAB,CD=AB·CDAB·CD=-145·10=-1450AB,CD=106,26o106,3o

Løsning 4.2.41 i GeoGebra

4.2.42

Vi har gitt punktene A (-3,-2), B (2,-1) og C (1,4).

a) Bruk vektorregning og regn ut sidelengdene og vinklene i trekant ABC.

Løsning

Vi begynner med sidelengdene:

AB=2--3,)-1--2=5,1=52+12=26AC=1--3,4--2=4,6=42+62=52BC=1-2,4--1=-1,5=-12+52=26

Vi observerer at trekanten er likebeint der BAC=ACB. Det betyr at vi kan finne CBA ved hjelp av vektorregning og så finne resten ved at vinkelsummen i en trekant er 180 grader.

BC·BA=BC·-AB=-1,5·-5,-1=-1·-5+5·-1=5-5=0

Siden skalarproduktet er lik 0, har vi at vinkelen er 90 grader. Siden de to andre vinklene er like store og 90 grader til sammen, er disse 45 grader hver.

b) Punktet D ligger på x-aksen slik at trekant ADC er likebeint, med AC = CD. Finn koordinatene til D.

Løsning

Vi observerer at punktet D kan skrives som (x,0). Vi har at AC=CD og at CD=x-1,0-4=x-1,-4.

Vi regner ut:

AC=CD52=x-12+-4252=x2-2x+1+16x2-2x-35=0x+5x-7=0x=-5x=7

Vi har altså to mulige plasseringer for punktet D, men hvis vi går mot klokka (som er vanlig), får vi at punktet D er (7,0).