Vi har gitt vektorene .
a) Skriv vektorene uttrykt med enhetsvektorene.
Løsning
3,2=3ex→+2ey→1,4=ex→+4ey→
b) Vis at 3ex→+2ey→·ex→+4ey→ kan skrives som 3ex→2+14ex·→ey→+8ey→2.
Løsning
3ex→+2ey→·ex→+4ey→ = 3ex→·ex→+12ex→·ey→+2ey→·ex→+8ey→·ey→= 3ex→2+14ex·→ey→+8ey→2
c) Vis at skalarproduktene ex→2=ex→·ex→ og ey→2=ey→·ey→ begge er lik 1.
Løsning
Vinkelen mellom to like vektorer er 0º. Lengden av enhetsvektoren er 1.
Vi får da:
ex→·ex→ = ex→·ex→·cos∠ex→,ex→= 1·1·cos0°= 1·1·1= 1ey→·ey→ = ey→·ey→·cos∠ey→,ey→= 1·1·cos0°= 1·1·1= 1
d) Vis at skalarproduktet ex→·ey→=0.
Løsning
Vinkelen mellom enhetsvektorene er 90o. Vi får da:
ex→·ey →= ex→·ey→·cos∠ex→,ey→= 1·1·cos90°= 1·1·0= 0
e) Bruk det du har funnet i c) og d), til å bestemme skalarproduktet fra b).
Løsning
3ex→+2ey→·ex→+4ey→ = 3ex→2+14ex·→ey→+8ey→2= 3·1+14·0+8·1= 11
f) Kan du på bakgrunn av det du har gjort i denne oppgaven, foreslå en formel for skalarproduktet mellom to vektorer gitt på koordinatform?
Tips
Legg merke til at det midterste leddet forsvinner fordi det blir multiplisert med 0. Fant du ikke ut av det? Sjekk teoriartikkelen!
Vi har gitt punktene A(1,3), B(4,2), C(2,2) og D(3,5).
a) Uttrykk vektorene AB→,AC→,AD→ og CD→ på koordinatform.
Løsning
AB→=4-1,2-3=3,-1AC→=2-1,2-3=1,-1AD→=3-1,5-3=2,2CD→=3-2,5-2=1,3
b) Undersøk om noen av vektorene står vinkelrett på hverandre.
Løsning
Dersom to vektorer står vinkelrett på hverandre, er skalarproduktet likt 0. Vi finner de ulike skalarproduktene:
AB→·AC→=3,-1·1,-1=3·1+-1·-1=3+1=4≠0AB→·AD→=3,-1·2,2=3·2+-1·2=6-2=4≠0AB→·CD→=3,-1·1,3=3·1+-1·3=3-3=0AC→·AD→=1,-1·2,2=1·2+-1·2=2-2=0AC→·CD→=1,-1·1,3=1·1+-1·3=1-3=-2≠0AD→·CD→=2,2·1,3=2·1+2·3=2+6=8≠0
Vi ser at to av disse skalarproduktene blir lik 0. Vi har altså at AB→⊥CD→ og AC→⊥AD→.
c) Finn en vektor som står vinkelrett på BD→.
Løsning
Vi har at BD→=-1,3.
Vi har generelt at vektorer på formen x, y og y, -x er parallelle. Dette bruker vi:
xBD→ = -1-xBD→ = 1yBD→ = 3
En vektor som står vinkelrett på BD→, er altså 3,1.
d) Et punkt E ligger på y-aksen slik at EB→⊥AD→ . Finn koordinatene til E.
Løsning
Vi har at
AD→ = 2,2E = 0,yBE→ = 0-4,y-2= -4,y-2
Vi vet at for to vektorer som står normalt på hverandre, er skalarproduktet lik 0:
AD→·BE→ = 02,2·-4,y-2 = 02·-4+2y-2 = 0-8+2y-4 = 02y = 12y = 6
Punktet E har altså koordinatene (0,6).
Vi har gitt vektorene a→=[4,t], b→=[1,5].
a) Uttrykk a→·b→ ved t.
Løsning
a→· b→ = [4,t]·[1,5]= 4·1+t·5= 5t+4
b) Bestem t slik at a→⊥b→.
Løsning
a→⊥b→⇔a→·b→=0a→·b→ = 05t+4 = 05t = -4t = -45