Njuike sisdollui
Bargobihttá

Skalarproduktet til vektorer gitt på koordinatform

Her får du jobbe med oppgaver om skalarproduktet på koordinatform.

4.2.30

Vi har gitt vektorene 3,2 og 1,4.

a) Skriv vektorene uttrykt med enhetsvektorene.

Løsning

3,2=3ex+2ey1,4=ex+4ey

b) Vis at 3ex+2ey·ex+4ey kan skrives som 3ex2+14ex·ey+8ey2.

Løsning

3ex+2ey·ex+4ey = 3ex·ex+12ex·ey+2ey·ex+8ey·ey= 3ex2+14ex·ey+8ey2

c) Vis at skalarproduktene ex2=ex·ex og ey2=ey·ey begge er lik 1.

Løsning

Vinkelen mellom to like vektorer er 0º. Lengden av enhetsvektoren er 1.

Vi får da:

ex·ex = ex·ex·cosex,ex= 1·1·cos0°= 1·1·1= 1ey·ey = ey·ey·cosey,ey= 1·1·cos0°= 1·1·1= 1

d) Vis at skalarproduktet ex·ey=0.

Løsning

Vinkelen mellom enhetsvektorene er 90o. Vi får da:

ex·ey = ex·ey·cosex,ey= 1·1·cos90°= 1·1·0= 0

e) Bruk det du har funnet i c) og d), til å bestemme skalarproduktet fra b).

Løsning

3ex+2ey·ex+4ey = 3ex2+14ex·ey+8ey2= 3·1+14·0+8·1= 11

f) Kan du på bakgrunn av det du har gjort i denne oppgaven, foreslå en formel for skalarproduktet mellom to vektorer gitt på koordinatform?

Tips

Legg merke til at det midterste leddet forsvinner fordi det blir multiplisert med 0. Fant du ikke ut av det? Sjekk teoriartikkelen!

4.2.31

Vi har gitt punktene A(1,3), B(4,2), C(2,2) og D(3,5).

a) Uttrykk vektorene AB,AC,AD og CD på koordinatform.

Løsning

AB=4-1,2-3=3,-1AC=2-1,2-3=1,-1AD=3-1,5-3=2,2CD=3-2,5-2=1,3

b) Undersøk om noen av vektorene står vinkelrett på hverandre.

Løsning

Dersom to vektorer står vinkelrett på hverandre, er skalarproduktet likt 0. Vi finner de ulike skalarproduktene:

AB·AC=3,-1·1,-1=3·1+-1·-1=3+1=40AB·AD=3,-1·2,2=3·2+-1·2=6-2=40AB·CD=3,-1·1,3=3·1+-1·3=3-3=0AC·AD=1,-1·2,2=1·2+-1·2=2-2=0AC·CD=1,-1·1,3=1·1+-1·3=1-3=-20AD·CD=2,2·1,3=2·1+2·3=2+6=80

Vi ser at to av disse skalarproduktene blir lik 0. Vi har altså at ABCD og ACAD.

c) Finn en vektor som står vinkelrett på BD.


Løsning

Vi har at BD=-1,3.

Vi har generelt at vektorer på formen x, y og y, -x er parallelle. Dette bruker vi:

xBD = -1-xBD = 1yBD = 3

En vektor som står vinkelrett på BD, er altså 3,1.

d) Et punkt E ligger på y-aksen slik at EBAD . Finn koordinatene til E.

Løsning

Vi har at

AD = 2,2E = 0,yBE = 0-4,y-2= -4,y-2

Vi vet at for to vektorer som står normalt på hverandre, er skalarproduktet lik 0:

AD·BE = 02,2·-4,y-2 = 02·-4+2y-2 = 0-8+2y-4 = 02y = 12y = 6

Punktet E har altså koordinatene (0,6).

4.2.32

Vi har gitt vektorene a=[4,t], b=[1,5].

a) Uttrykk a·b ved t.

Løsning

a· b = [4,t]·[1,5]= 4·1+t·5= 5t+4

b) Bestem t slik at ab.

Løsning

aba·b=0a·b = 05t+4 = 05t = -4t = -45