Posisjonsvektor og vektor mellom punkt

Vektoren frå origo $O(0, 0)$ til punktet $P(7, 2)$ har koordinatane
$$ \overrightarrow{OP}=7·\overrightarrow{e_x}+2·\overrightarrow{e_y}=\left[7, 2\right]$$

Vi ser at koordinatane til vektoren er dei same som koordinatane til punktet, og $$ \overrightarrow{OP}$$ blir derfor kalla for posisjonsvektoren til punktet $P$.

Gitt punkta $A(2, 4)$ og $B(7, 1)$.

Vektoren mellom punkta er teikna på figuren.

Vi skal finne koordinatane til vektoren som har utgangspunkt i $A$ og endepunkt i $B$, $$ \overrightarrow{AB}$$.

Kan du lese av koordinatane på figuren til høgre?

Vi kan òg finne koordinatane ved «å gå ein omveg om origo» og bruke posisjonsvektorane til dei to punkta.

Vi har:

$$ \begin{array}{l}\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB}, \overrightarrow{AO}=-\overrightarrow{OA}\\ \\ \overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB} \end{array}$$

Vektoren frå punkt $A$ til punkt $B$, $\overrightarrow{AB}$ kan altså uttrykkjast ved hjelp av posisjonsvektorane til punkta $A$ og $B$. Litt rekning fører oss fram til koordinatforma til vektoren:

$$ \begin{array}{rcl}\overrightarrow{AB}& =& \overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB } = -\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\\ & =& \overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\\ & =& \left[7, 1\right]-\left[2, 4\right]\\ & =& \left[7-2, 1-4\right]\\ & =& \left[5, -3\right]\end{array}$$

La no punkta $A$ og $B$ vere gitt som to generelle punkt i planet$A=\left(x_1, y_1\right)$og$B=\left(x_2, y_2\right)$. Også no kan $\overrightarrow{AB}$ uttrykkjast ved hjelp av posisjonsvektorane til punkta $A$ og $B$.

På koordinatform får vi

$$ \begin{array}{rcl}\overrightarrow{AB} & =& \overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB}\\ & =& -\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\\ & =& \overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\\ & =& \left[x_2, y_2\right]-\left[x_1, y_1\right]\\ & =& \left[x_2-x_1, y_2-y_1\right]\end{array}$$

Føresett at alle vektorane har lengde ulik frå null, gjeld:

Vi kan bruke det vi no veit, til å undersøkje om to vektorar på koordinatform er parallelle. Vi minner om at $$ \overrightarrow{a}=\left[3, 4\right]$$ og $$ \overrightarrow{b}=\left[6, 8\right]$$ er parallelle.

$$ \begin{array}{l}2·\left[3, 4\right]=\left[6, 8\right]\\ \\ \overrightarrow{a}\parallel \overrightarrow{b} \mathrm{fordi} 2·\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}\end{array}$$