Fagartikkel

Rekning med vektorar på koordinatform

Koordinatform gjer det lettare å rekne med vektorar.

Sum av vektorar på pilform teikna i eit koordinatsystem. p-vektor er eitt skritt til høgre og to skritt opp. Minus q-vektor er tre skritt til venstre og eitt skritt ned. Vektorsummen er p-vektor pluss q-vektor og er fire skritt til høgre og tre skritt opp. Skjermutklipp. — Bilete: Tove Annette Holter / CC BY-SA 4.0

Gitt vektorane

$\vec{p} = [1, 2] og \vec{q} = [3, 1]$

Vi ser av teikninga at

$\vec{p} + \vec{q} = [4, 3]$

Vi har altså at

$[1, 2] + [3, 1] = [4, 3]$

CAS-utrekning i GeoGebra. I linje 1 står det a kolon er lik parentes 1 komma 2 parentes slutt. I linje 2 står det b kolon er lik parentes 3 komma 1 parentes slutt. I linje 3 står det w kolon er lik a pluss b. Svaret er gitt som parentes 4 over 3 parentes slutt. Skjermutklipp. — Bilete: Tove Annette Holter / CC BY-SA 4.0

Med CAS i GeoGebra kan du leggje saman to vektorar $\vec{a}$ og $\vec{b}$ ved først å definere dei to i CAS.

Ser du samanhengen?

$[1, 2] + [3, 1] = [1 + 3, 2 + 1] = [4, 3]$

Vi finn summen av to vektorar på koordinatform ved å addere førstekoordinatane og andrekoordinatane kvar for seg.

Vi kan vise at denne setninga er riktig ved å skrive vektorane som ein sum av einingsvektorar.

$\begin{array}{rcl} [x_{1}, y_{1}] + [x_{2}, y_{2}] & = & (x_{1} \cdot \vec{e_{x}} + y_{1} \cdot \vec{e_{y}}) + (x_{2} \cdot \vec{e_{x}} + y_{2} \cdot \vec{e_{y}}) \\ = & x_{1} \cdot \vec{e_{x}} + x_{2} \cdot \vec{e_{x}} + y_{1} \cdot \vec{e_{y}} + y_{2} \cdot \vec{e_{y}} \\ = & (x_{1} + x_{2}) \cdot \vec{e_{x}} + (y_{1} + y_{2}) \cdot \vec{e_{y}} \\ = & [x_{1} + x_{2}, y_{1} + y_{2}] \end{array}$

Subtraksjon av vektorar på koordinatform

Vi hugsar at å trekkje ein vektor frå ein annan er det same som å addere den negative vektoren som på denne måten:

$\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (- \vec{b})$

Då kjem det kanskje heller ikkje som ei overrasking at vi finn differansen mellom to vektorar slik som dette:

Differanse mellom vektorar på pilform teikna i eit koordinatsystem. p-vektor er eitt skritt til høgre og to skritt opp. Minus q-vektor er tre skritt til venstre og eitt skritt ned. Vektorsummen er p-vektor minus q-vektor og er to skritt til venstre og eitt skritt opp. Skjermutklipp. — Bilete: Tove Annette Holter / CC BY-SA 4.0

Gitt vektorane

$\vec{p} = [1, 2] og \vec{q} = [3, 1]$

Vi ser at

$\vec{p} - \vec{q} = [- 2, 1]$

Vi har altså at

$[1, 2] - [3, 1] = [- 2, 1]$

Du ser sikkert samanhengen her?

$[1, 2] - [3, 1] = [1 - 3, 2 - 1] = [- 2, 1]$

Vi finn differansen mellom to vektorar på koordinatform ved å subtrahere førstekoordinatane og andrekoordinatane kvar for seg.

$[x_{1}, y_{1}] - [x_{2}, y_{2}] = [x_{1} - x_{2}, y_{1} - y_{2}]$

Vi kan, på same måte som ved addisjon, vise at denne setninga er riktig ved å skrive vektorane som ein sum av einingsvektorar.

$\begin{array}{rcl} [x_{1}, y_{1}] - [x_{2}, y_{2}] & = & (x_{1} \cdot \vec{e_{x}} + y_{1} \cdot \vec{e_{y}}) - (x_{2} \cdot \vec{e_{x}} + y_{2} \cdot \vec{e_{y}}) \\ = & x_{1} \cdot \vec{e_{x}} - x_{2} \cdot \vec{e_{x}} + y_{1} \cdot \vec{e_{y}} - y_{2} \cdot \vec{e_{y}} \\ = & (x_{1} - x_{2}) \cdot \vec{e_{x}} + (y_{1} - y_{2}) \cdot \vec{e_{y}} \\ = & [x_{1} - x_{2}, y_{1} - y_{2}] \end{array}$

Multiplikasjon av vektor med tal

Vi multipliserer ein vektor på koordinatform med eit tal ved å multiplisere begge vektorkoordinatane med talet.

Vektorar på pilform teikna i eit koordinatsystem. p-vektor er eitt skritt til høgre og to skritt opp. 2p-vektor er to skritt til høgre og fire skritt opp. Skjermutklipp. — Bilete: Tove Annette Holter / CC BY-SA 4.0

Gitt vektoren

$\vec{p} = [1, 2]$

Vi ser av figuren at

$2 \cdot \vec{p} = [2, 4]$

Vi har altså at

$2 \cdot [1, 2] = [2 \cdot 1, 2 \cdot 2] = [2, 4]$

Multiplikasjon av vektor med tal i CAS i GeoGebra. I linje 1 står det a kolon er lik parentes 1 komma 2. I linje 2 står det 2 multiplisert med a. Svaret er gitt som parentes 2 over 4 parentes slutt. Skjermutklipp. — Bilete: Tove Annette Holter / CC BY-SA 4.0

Med CAS i GeoGebra får vi det same resultatet. Vi minner om at det er viktig å definere vektoren for å kunne rekne vidare med han, og at den vesle bokstaven a gjer at CAS tolkar dette som ein vektor.

Vi multipliserer ein vektor med eit tal ved å multiplisere begge vektorkoordinatane med talet.

$t \cdot [x, y] = [t \cdot x, t \cdot y]$

Vi kan igjen vise at denne setninga er riktig ved å skrive vektorane som ein sum av einingsvektorar.

$\begin{array}{rcl} t \cdot [x, y] & = & t \cdot (x \cdot \vec{e_{x}} + y \cdot \vec{e_{y}}) \\ = & (t \cdot x \cdot \vec{e_{x}} + t \cdot y \cdot \vec{e_{y}}) \\ = & [t \cdot x, t \cdot y] \end{array}$

Videoar om rekning med vektorar på koordinatform

Addisjon

Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY-NC-SA 4.0

Subtraksjon

Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA 4.0

Multiplikasjon

Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA 4.0