Hopp til innhald
Oppgåve

Posisjonsvektor og vektor mellom punkt

Her får du jobbe med oppgåver om posisjonsvektorar og vektorar mellom punkt.

4.2.20

Vi har gitt punkta A4,0,B3,5,C0,7,D-3,5,E-4,0,F-3,-5 og G3,-5

a) Skriv ned posisjonsvektorane til alle punkta.

Løysing

OA=4,0OB=3,5OC=0,7OD=-3,5OE=-4,0OF=-3,-5OG=3,-5

b) Uttrykk vektorane AB,CD,EF,GC,FAogEC ved hjelp av posisjonsvektorane til endepunkta.

Løysing

AB=-OA+OB=OB-OACD=-OC+OD=OD-OCEF=-OE+OF=OF-OEGC=-OG+OC=OC-OGFA=-OF+OA=OA-OFEC=-OE+OC=OC-OE

c) Uttrykk vektorane i b) på koordinatform.

Løysing

AB=3-4,5-0=-1,5CD=-3-0,5-7=-3,-2EF=-3--4,-5-0=1,-5GC=0-3,7--5=-3,12FA=4--3,0--5=7,5EC=0--4,7-0=4,7

4.2.21

Vi har gitt punktet A(2,3).

a) Eit punkt B ligg slik at AB=4,7. Finn koordinatane til B.

Løysing

AB = xB-xA,yB-yA4,7 = xB-2,yB-34 = xB-2xB = 67 = yB-3yB = 10B=6,10

b) Eit punkt C ligg slik at AC=BA. Finn koordinatane til C:

Løysing

AC = BA=-AB=-4,7=-4,-7AC = xC-xA,yC-yA-4,-7 = xC-2,yC-3-4 = xC-2xC = -2-7 = yC-3yC =- 4C=-2,-4

4.2.22

Vi har gitt punkta A(1,3), B(4,2), C(3,1) og D(7,1).

a) Undersøk om vektorane AB og AD er parallelle.

Løysing

Vi må undersøkje om det finst eit tal som gjer at den eine vektoren kan skrivast som eit multiplum av den andre. Det gjer vi enklast ved å undersøkje forholdet mellom x-koordinatane og y-koordinatane til vektorane:

AB=4-1,2-3=3,-1AD=7-1,1-3=6,-2xABxAD=36=12yAByAD=-1-2=12AB=12AD

Her har vi AB=t·AD, der t = 12, altså er dei to vektorane parallelle

b) Undersøk om vektorane AC og AD er parallelle.

Løysing

Vi gjer som i oppgåve a) og leitar etter ein t som gjer at AC=t·AD

AC=3-1,1-3=2,-2AD=7-1,1-3=6,-2xACxAD=26=13yACyAD=-2-2=1

Vi kan ikkje finne nokon slik t, altså er dei to vektorane ikkje parallelle.

c) Bruk resultata i a) og b) til å avgjere om punkta A, B og D ligg på linje, og om punkta A, C og D ligg på linje.

Løysing

A, B og D ligg på linje, sidan dei to vektorane startar i same punkt og er parallelle. A, C og D ligg ikkje på linje, sidan vektorane ikkje er parallelle.

4.2.23

Vi har gitt punkta A(1,-3) og B(5,2).

a) Uttrykk vektoren AB på koordinatform.

b) Finn ein vektor som går i same retning som AB og er dobbelt så lang.

c) Finn ein vektor som er parallell med AB, går i motsett retning og er halvparten så lang.

Løysing

a)
AB = xB-xA,yB-yA= 5-1,2--3= 4,5

b)
2·AB = 2·4,5= 8,10

c)
12·-AB = 12-4,5= -42,-52= -2,-52

4.2.24

Vi har gitt punkta A(1,3), B(2,2) og C(4,2). Eit punkt D ligg slik at x(D) = x(A) og ABCD. Finn koordinatane til punktet D.

Løysing

Vi har at D=1,y og at CD kan skrivast på følgjande to måtar:

CD = t·AB= t·2-1,2-3= t·1,-1= t,-tCD = 1-4,y-2= -3,y-2

Vi veit at dei to x-koordinatane må vere like, og det same må dei to y-koordinatane vere. Dette kan vi bruke for å finne t og dermed y:

-3=ty-2 = -ty-2 = --3y-2 = 3y = 5

Punkt D er altså (1,5).