Vi har gitt punkta
a) Skriv ned posisjonsvektorane til alle punkta.
Løysing
OA→=4,0OB→=3,5OC→=0,7OD→=-3,5OE→=-4,0OF→=-3,-5OG→=3,-5
b) Uttrykk vektorane AB→, CD→, EF→, GC→, FA→ og EC→ ved hjelp av posisjonsvektorane til endepunkta.
Løysing
AB→=-OA→+OB→=OB→-OA→CD→=-OC→+OD→=OD→-OC→EF→=-OE→+OF→=OF→-OE→GC→=-OG→+OC→=OC→-OG→FA→=-OF→+OA→=OA→-OF→EC→=-OE→+OC→=OC→-OE→
c) Uttrykk vektorane i b) på koordinatform.
Løysing
AB→=3-4,5-0=-1,5CD→=-3-0,5-7=-3,-2EF→=-3--4,-5-0=1,-5GC→=0-3,7--5=-3,12FA→=4--3,0--5=7,5EC→=0--4,7-0=4,7
Vi har gitt punktet A(2,3).
a) Eit punkt B ligg slik at AB→=4,7. Finn koordinatane til B.
Løysing
AB→ = xB-xA,yB-yA4,7 = xB-2,yB-34 = xB-2xB = 67 = yB-3yB = 10B=6,10
b) Eit punkt C ligg slik at AC→=BA→. Finn koordinatane til C:
Løysing
AC→ = BA→=-AB→=-4,7=-4,-7AC→ = xC-xA,yC-yA-4,-7 = xC-2,yC-3-4 = xC-2xC = -2-7 = yC-3yC =- 4C=-2,-4
Vi har gitt punkta A(1,3), B(4,2), C(3,1) og D(7,1).
a) Undersøk om vektorane AB→ og AD→ er parallelle.
Løysing
Vi må undersøkje om det finst eit tal som gjer at den eine vektoren kan skrivast som eit multiplum av den andre. Det gjer vi enklast ved å undersøkje forholdet mellom x-koordinatane og y-koordinatane til vektorane:
AB→=4-1,2-3=3,-1AD→=7-1,1-3=6,-2xAB→xAD→=36=12yAB→yAD→=-1-2=12AB→=12AD→
Her har vi AB→=t·AD→, der t = 12, altså er dei to vektorane parallelle
b) Undersøk om vektorane AC→ og AD→ er parallelle.
Løysing
Vi gjer som i oppgåve a) og leitar etter ein t som gjer at AC→=t·AD→
AC→=3-1,1-3=2,-2AD→=7-1,1-3=6,-2xAC→xAD→=26=13yAC→yAD→=-2-2=1
Vi kan ikkje finne nokon slik t, altså er dei to vektorane ikkje parallelle.
c) Bruk resultata i a) og b) til å avgjere om punkta A, B og D ligg på linje, og om punkta A, C og D ligg på linje.
Løysing
A, B og D ligg på linje, sidan dei to vektorane startar i same punkt og er parallelle. A, C og D ligg ikkje på linje, sidan vektorane ikkje er parallelle.
Vi har gitt punkta A(1,-3) og B(5,2).
a) Uttrykk vektoren AB→ på koordinatform.
b) Finn ein vektor som går i same retning som AB→ og er dobbelt så lang.
c) Finn ein vektor som er parallell med AB→, går i motsett retning og er halvparten så lang.
Løysing
a)
AB→ = xB-xA,yB-yA= 5-1,2--3= 4,5
b)
2·AB→ = 2·4,5= 8,10
c)
12·-AB→ = 12-4,5= -42,-52= -2,-52
Vi har gitt punkta A(1,3), B(2,2) og C(4,2). Eit punkt D ligg slik at x(D) = x(A) og AB→∥CD→. Finn koordinatane til punktet D.
Løysing
Vi har at D=1,y og at CD→ kan skrivast på følgjande to måtar:
CD→ = t·AB→= t·2-1,2-3= t·1,-1= t,-tCD→ = 1-4,y-2= -3, y-2
Vi veit at dei to x-koordinatane må vere like, og det same må dei to y-koordinatane vere. Dette kan vi bruke for å finne t og dermed y:
-3=ty-2 = -ty-2 = --3y-2 = 3y = 5
Punkt D er altså (1,5).