Lengda av ein vektor gitt på koordinatform

Vi har sett at når ein vektor blir prikka med seg sjølv, får vi a:

$$ \begin{array}{rcl}\overrightarrow{a}·\overrightarrow{a}& = & \left|\overrightarrow{a}\right|·\left|\overrightarrow{a}\right|·\cos 0° \\ & & \\ {\overrightarrow{a}}^2& =& {\left|\overrightarrow{a}\right|}^2·1 \\ & & \\ {\overrightarrow{a}}^2& =& {\left|\overrightarrow{a}\right|}^2 \end{array}$$

Det betyr at vi har

$$ \left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{{\overrightarrow{a}}^2}$$

For ein vektor gitt på koordinatform får vi då

$\left|\left[x, y\right]\right|=\sqrt{{\left[x, y\right]}^2}=\sqrt{\left[x, y\right]·\left[x, y\right]}=\sqrt{x^2+y^2}$

Illustrert med Pytagoras

Vi kan òg illustrere formelen for lengda av ein vektor ved hjelp av Pytagoras’ læresetning. Vi teiknar vektoren $$ \left[3,4\right]$$ i eit koordinatsystem. For å gjere det enkelt vel vi å teikne han frå origo. Vi ser at vi får ein rettvinkla trekant der dei to katetane er 3 og 4 einingar lange. Då finn vi lengda på hypotenusen slik:

$$ \begin{array}{c}{h}^2=3^2+4^2\\ h=\sqrt{3^2+4^2}\end{array}$$

Generelt har vi altså, som over:$$ \left|\left[x, y\right]\right|=\sqrt{x^2+y^2}$$

Reknedøme

$\left|\left[6, 8\right]\right|=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$

Med CAS i GeoGebra skriv vi lengde(vektor((6,8)) for å finne lengda av ein vektor.

Vi har sett korleis vi finn vektoren mellom to punkt i planet, og korleis vi finn lengda av ein vektor. Då kan vi finne avstanden mellom to punkt som lengda til vektoren mellom punkta.

Vi ser på punkta $A(2, 3)$ og $B(5, 7)$. Avstanden mellom $A$ og $B$ er

$$ \left|\overrightarrow{AB}\right|=\left|\left[5-2, 7 -3\right]\right|=\sqrt{{\left(5-2\right)}^2+{\left(7-3\right)}^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$$

Gitt vektorane

$$ \overrightarrow{p}=\left[1, 2\right] \mathrm{og} \overrightarrow{q}=\left[3, 1\right]$$

La $\alpha$ vere vinkelen mellom vektorane. (Vi minner om at vinkelen mellom to vektorar er den minste vinkelen mellom dei når vektorane blir plasserte med same utgangspunkt.)

Definisjon av skalarproduktet gir då

$$ \begin{array}{rcl} \overrightarrow{p}·\overrightarrow{q}& = & \left|\overrightarrow{p}\right|·\left|\overrightarrow{q}\right|·\mathrm{cos\alpha }\\ & & \\ \left[1, 2\right]·\left[3, 1\right]& =& \left|\left[1, 2\right]\right|·\left|\left[3, 1\right]\right|·\mathrm{cos\alpha }\\ & & \\ \mathrm{cos\alpha }& =& \frac{\left[1, 2\right]·\left[3, 1\right]}{\left|\left[1, 2\right]\right|·\left|\left[3, 1\right]\right|}\\ & & \\ \mathrm{cos\alpha }& =& \frac{1·3+2·1}{\sqrt{1^2+2^2}·\sqrt{3^2+1^2}}\\ & & \\ \mathrm{cos\alpha }& =& \frac{5}{\sqrt{5}·\sqrt{10}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\\ & & \\ \alpha & =& {\cos }^{-1}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=45°\end{array}$$

Vinkel mellom vektorar i GeoGebra

Vi kan rekne ut vinkelen mellom to vektorar i GeoGebra. Her er det viktig å vere klar over at GeoGebra har som standard å rekne ut vinklar i eit anna vinkelmål enn gradar, nemleg radianar. Dette vinkelmålet vil du bli betre kjend med i R2. I linje 4 ser du korleis du kan gjere om til gradar ved å bruke Vinkel-kommandoen ein gong til.