Hopp til innhald
Oppgåve

Lengda av ein vektor gitt på koordinatform

Her kan du jobbe med oppgåver om lengda av vektorar gitt på koordinatform.

4.2.40

Vi har gitt punkta A (2,3) og B (5,7).

a) Skriv AB på koordinatform.

Løysing

AB=5-2,7-3=3,4

b) Rekn ut lengda av AB.

Løysing

AB=3,4=32+42=25=5

c) Eit punkt C ligg slik at AC=4 og x-koordinaten til C er lik x-koordinaten til A. Finn y-koordinaten til C.

Løysing

AC = 42-2,y-3 = 402+y-32 = 4y-32 = 16y-3 = 4        y-3=-4y = 7        y=-1

4.2.41

Vi har gitt punkta A (1,6), B (4,10) og C (4,8).

a) Finn avstanden mellom A og B.

Løysing

Avstanden mellom A og B er det same som lengda av AB:

AB=4-1,10-6=32+42=5

b) Punktet D ligg slik at CD=2AB og CD32,-2. CD skal gå i same retning som 32,-2. Finn koordinatane til D.

Løysing

Vi byrjar med å finne lengda til CD , som er 10.

Vidare har vi at CD=x-4,y-8 og at CD=t32,-2=32t,-2t.

No kan vi finne t:

CD=322t2+-22t2=t294+4=t254=t·52CD=10t·52=10t=4

Siste trinn: Vi set inn 4 for t og finn koordinatane til D:

CD=432,-2=6,-8CD=x-4,y-8=6,-8x-4=6y-8=-8x=10y=0

Punktet D er altså (10,0).

c) Finn vinkelen mellom AB og CD.

Løysing

Vi bruker formelen for skalarproduktet:

AB=3,4CD=6,-8AB=5CD=10AB·CD=3,4·6,-8=3·6+4·-8=18-32=-14cosAB,CD=AB·CDAB·CD=-145·10=-1450AB,CD=106,26o106,3o

Løysing 4.2.41 i GeoGebra

4.2.42

Vi har gitt punkta A (-3,-2), B (2,-1) og C (1,4).

a) Bruk vektorrekning og rekn ut sidelengdene og vinklane i trekant ABC.

Løysing

Vi byrjar med sidelengdene:

AB=2--3,)-1--2=5,1=52+12=26AC=1--3,4--2=4,6=42+62=52BC=1-2,4--1=-1,5=-12+52=26

Vi observerer at trekanten er likebeint der BAC=ACB. Det betyr at vi kan finne CBA ved hjelp av vektorrekning og så finne resten ved at vinkelsummen i ein trekant er 180 grader.

BC·BA=BC·-AB=-1,5·-5,-1=-1·-5+5·-1=5-5=0

Sidan skalarproduktet er lik 0, har vi at vinkelen er 90 grader. Sidan dei to andre vinklane er like store og 90 grader til saman, er desse 45 grader kvar.

b) Punktet D ligg på x-aksen slik at trekant ADC er likebeint, med AC = CD. Finn koordinatane til D.

Løysing

Vi observerer at punktet D kan skrivast som (x,0). Vi har at AC=CD og at CD=x-1,0-4=x-1,-4.

Vi reknar ut:

AC=CD52=x-12+-4252=x2-2x+1+16x2-2x-35=0x+5x-7=0x=-5x=7

Vi har altså to moglege plasseringar for punktet D, men viss vi går mot klokka (som er vanleg), får vi at punktet D er (7,0).