Fagartikkel

Vektorar på koordinatform

Ved å plassere vektorar i eit koordinatsystem kan vi beskrive dei ved talkoordinatar.

Det er ikkje særleg effektivt å rekne med vektorar når dei er representerte med piler. Då må vi til dømes parallellforskyve vektorpilene for å finne summar og differansar.

Det er likevel mogleg å beskrive vektorane med tal slik at vi kan rekne oss fram til til dømes summar, differansar og skalarprodukt. Det oppnår vi ved å plassere vektorane i eit koordinatsystem.

Bilde av grafikkfeltet i GeoGebra. Det er tegnet inn en vektor a som går fem skritt til høyre og tre skritt opp. Det er tegnet inn en vektor a_x = 5 multiplisert med e_x som går fem skritt rett til høyre fra startpunktet til a-vektor. Det er tegnet inn en vektor som går tre skritt rett opp fra endepunktet til a_x og som ender i endepunktet til a. enhetsvektorene er tegnet inn fra origo. Skjermutklipp. — Bilete: Tove Annette Holter / CC BY-SA 4.0

I koordinatsystemet på figuren har vi plassert to vektorar med utgangspunkt i origo. Vektoren $\vec{e_{x}}$ går frå origo til punktet $(1, 0)$ , og $\vec{e_{y}}$ går frå origo til punktet $(0, 1)$ .

Desse vektorane har lengde 1, er parallelle med høvesvis $x$ -aksen og $y$ -aksen og står normalt på kvarandre. Vi kallar dei einingsvektorar.

I koordinatsystemet har vi òg teikna $\vec{a}$ . Vi ser at vi kan skrive $\vec{a}$ som ein sum av dei to vektorane $\vec{a_{x}}$ og $\vec{a_{y}}$ .

$\vec{a} = \vec{a_{x}} + \vec{a_{y}} = 5 \cdot \vec{e_{x}} + 3 \cdot \vec{e_{y}}$

Alle vektorar kan på tilsvarande måte skrivast som ein kombinasjon av einingsvektorane.

Når vi skal teikne $\vec{a}$ , kan vi starte kvar som helst i koordinatsystemet og så gå 5 einingar mot høgre og 3 einingar oppover for å finne endepunktet til vektoren. Når tala 5 og 3 er kjende, er vektoren bestemd. Vi innfører ein forenkla skrivemåte for $\vec{a}$ :

$\vec{a} = [5, 3]$

Denne skrivemåten liknar på måten punkt blir skrivne på, men det er ein viktig forskjell. For vektorar bruker vi klammeparentesar mens vi for punkt bruker vanlege parentesar.

$(5, 3)$ kallar vi punktkoordinatar, og dei viser til punktet som har $x$ -koordinat lik 5 og $y$ -koordinat lik 3.

$[5, 3]$ kallar vi vektorkoordinatar, og det er det same som vektoren $5 \cdot \vec{e_{x}} + 3 \cdot \vec{e_{y}}$ .

b-vektor som pil i koordinatsystem. Illustrasjon. — Bilete: Tove Annette Holter / CC BY-SA 4.0

Døme

$\begin{array}{rcl} \vec{b} & = & - 2 \cdot \vec{e_{x}} + (- 3) \cdot \vec{e_{y}} \\ = & [- 2, - 3] \end{array}$

Når vi skal teikne $\vec{b}$ , kan vi starte kvar som helst i koordinatsystemet og så gå 2 einingar mot venstre og 3 einingar nedover for å finne endepunktet til vektoren.

Definisjon

Alle vektorar kan skrivast som ein vektorsum av einingsvektorar. Dette gir grunnlag for innføring av vektorkoordinatar.

$[x, y] = x \cdot \vec{e_{x}} + y \cdot \vec{e_{y}}$

Vi bruker klammeparentesar for å nemne ein vektor mens vi bruker vanlege parentesar for å nemne eit punkt.

I GeoGebra blir det ikkje brukt klammeparentesar. Her kan $(5, 3)$ vise til både ein vektor og eit punkt. Dersom du bruker stor bokstav og skriv $A = (5, 3)$ , får du punktet. Bruker du liten bokstav og skriv $v = (5, 3)$ , får du vektoren $[5, 3]$ med start i origo. GeoGebra bruker òg skrivemåten $(\begin{matrix} 5 \\ 3 \end{matrix})$ for vektorar, som vi ser av biletet nedanfor.

Koordinatsystem med eit punkt og ein vektor som begge har koordinatane 5 og 3. Skjermutklipp. — Vektor og punkt med dei same koordinatane. Bilete: Olav Kristensen / CC BY-SA 4.0

Video om vektorar på koordinatform

Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA 4.0