Oppgåve

Skalarproduktet til vektorar gitt på koordinatform

Her får du jobbe med oppgåver om skalarproduktet på koordinatform.

4.2.30

Vi har gitt vektorane $[3, 2] og [1, 4]$ .

a) Skriv vektorane uttrykte med einingsvektorane.

Løysing

$\begin{array}{l} [3, 2] = (3 \vec{e_{x}} + 2 \vec{e_{y}}) \\ [1, 4] = (\vec{e_{x}} + 4 \vec{e_{y}}) \end{array}$

b) Vis at $(3 \vec{e_{x}} + 2 \vec{e_{y}}) \cdot (\vec{e_{x}} + 4 \vec{e_{y}})$ kan skrivast som $3 {\vec{e_{x}}}^{2} + 14 \vec{e_{x} \cdot} \vec{e_{y}} + 8 {\vec{e_{y}}}^{2}$ .

Løysing

$\begin{array}{rcl} (3 \vec{e_{x}} + 2 \vec{e_{y}}) \cdot (\vec{e_{x}} + 4 \vec{e_{y}}) & = & 3 \vec{e_{x}} \cdot \vec{e_{x}} + 12 \vec{e_{x}} \cdot \vec{e_{y}} + 2 \vec{e_{y}} \cdot \vec{e_{x}} + 8 \vec{e_{y}} \cdot \vec{e_{y}} \\ = & 3 {\vec{e_{x}}}^{2} + 14 \vec{e_{x}} \vec{\cdot e_{y}} + 8 {\vec{e_{y}}}^{2} \end{array}$

c) Vis at skalarprodukta ${\begin{array}{rcl} \vec{e_{x}} \end{array}}^{2} = \begin{array}{rcl} \vec{e_{x}} \end{array} \cdot \begin{array}{rcl} \vec{e_{x}} \end{array} og {\begin{array}{rcl} \vec{e_{y}} \end{array}}^{2} = \begin{array}{rcl} \vec{e_{y}} \end{array} \cdot \begin{array}{rcl} \vec{e_{y}} \end{array}$ begge er lik 1.

Løysing

Vinkelen mellom to like vektorar er 0º. Lengda av einingsvektoren er 1.

Vi får då:

$\begin{array}{rcl} \begin{array}{rcl} \vec{e_{x}} \end{array} \cdot \begin{array}{rcl} \vec{e_{x}} \end{array} & = & |\begin{array}{rcl} \vec{e_{x}} \end{array}| \cdot |\begin{array}{rcl} \vec{e_{x}} \end{array}| \cdot \cos (∠ (\begin{array}{rcl} \vec{e_{x}} \end{array}, \begin{array}{rcl} \vec{e_{x}} \end{array})) \\ = & 1 \cdot 1 \cdot \cos 0 ° \\ = & 1 \cdot 1 \cdot 1 \\ = & 1 \\ \begin{array}{rcl} \vec{e_{y}} \end{array} \cdot \begin{array}{rcl} \vec{e_{y}} \end{array} & = & |\begin{array}{rcl} \vec{e_{y}} \end{array}| \cdot |\begin{array}{rcl} \vec{e_{y}} \end{array}| \cdot \cos (∠ (\begin{array}{rcl} \vec{e_{y}} \end{array}, \begin{array}{rcl} \vec{e_{y}} \end{array})) \\ = & 1 \cdot 1 \cdot \cos 0 ° \\ = & 1 \cdot 1 \cdot 1 \\ = & 1 \end{array}$

d) Vis at skalarproduktet $\begin{array}{rcl} \vec{e_{x}} \end{array} \cdot \begin{array}{rcl} \vec{e_{y}} \end{array} = 0$ .

Løysing

Vinkelen mellom einingsvektorane er 90º. Vi får då:

$\begin{array}{rcl} \vec{e_{x}} \cdot \vec{e_{y}} & = & |\vec{e_{x}}| \cdot |\vec{e_{y}}| \cdot \cos (∠ (\vec{e_{x}}, \vec{e_{y}})) \\ = & 1 \cdot 1 \cdot \cos 90 ° \\ = & 1 \cdot 1 \cdot 0 \\ = & 0 \end{array}$

e) Bruk det du har funne i c) og d), til å bestemme skalarproduktet frå b).

Løysing

$\begin{array}{rcl} (3 \vec{e_{x}} + 2 \vec{e_{y}}) \cdot (\vec{e_{x}} + 4 \vec{e_{y}}) & = & 3 {\vec{e_{x}}}^{2} + 14 \vec{e_{x} \cdot} \vec{e_{y}} + 8 {\vec{e_{y}}}^{2} \\ = & 3 \cdot 1 + 14 \cdot 0 + 8 \cdot 1 \\ = & 11 \end{array}$

f) Kan du på bakgrunn av det du har gjort i denne oppgåva, føreslå ein formel for skalarproduktet mellom to vektorar gitt på koordinatform?

Tips

Legg merke til at det midtarste leddet forsvinn fordi det blir multiplisert med 0. Fann du ikkje ut av det? Sjekk teoriartikkelen!

4.2.31

Vi har gitt punkta $A (1, 3), B (4, 2), C (2, 2) og D (3, 5)$ .

a) Uttrykk vektorane $\vec{A B}, \vec{A C}, \vec{A D} og \vec{C D}$ på koordinatform.

Løysing

$\begin{array}{l} \vec{A B} = [4 - 1, 2 - 3] = [3, - 1] \\ \vec{A C} = [2 - 1, 2 - 3] = [1, - 1] \\ \vec{A D} = [3 - 1, 5 - 3] = [2, 2] \\ \vec{C D} = [3 - 2, 5 - 2] = [1, 3] \end{array}$

b) Undersøk om nokon av vektorane står vinkelrett på kvarandre.

Løysing

Dersom to vektorar står vinkelrett på kvarandre, er skalarproduktet likt 0. Vi finn dei ulike skalarprodukta:

$\begin{array}{l} \vec{A B} \cdot \vec{A C} = [3, - 1] \cdot [1, - 1] = 3 \cdot 1 + (- 1) \cdot (- 1) = 3 + 1 = 4 \neq 0 \\ \vec{A B} \cdot \vec{A D} = [3, - 1] \cdot [2, 2] = 3 \cdot 2 + (- 1) \cdot 2 = 6 - 2 = 4 \neq 0 \\ \vec{A B} \cdot \vec{C D} = [3, - 1] \cdot [1, 3] = 3 \cdot 1 + (- 1) \cdot 3 = 3 - 3 = 0 \\ \vec{A C} \cdot \vec{A D} = [1, - 1] \cdot [2, 2] = 1 \cdot 2 + (- 1) \cdot 2 = 2 - 2 = 0 \\ \vec{A C} \cdot \vec{C D} = [1, - 1] \cdot [1, 3] = 1 \cdot 1 + (- 1) \cdot 3 = 1 - 3 = - 2 \neq 0 \\ \vec{A D} \cdot \vec{C D} = [2, 2] \cdot [1, 3] = 2 \cdot 1 + 2 \cdot 3 = 2 + 6 = 8 \neq 0 \end{array}$

Vi ser at to av desse skalarprodukta blir lik 0. Vi har altså at $\vec{A B} ⊥ \vec{C D} og \vec{A C} ⊥ \vec{A D}$ .

c) Finn ein vektor som står vinkelrett på $\vec{B D}$ .

Løysing

Vi har at $\vec{B D} = [- 1, 3]$ .

Vi har generelt at vektorar på forma $[x, y] og [y, - x]$ er parallelle. Dette bruker vi:

$\begin{array}{rcl} x (\vec{B D}) & = & - 1 \\ - x (\vec{B D}) & = & 1 \\ y (\vec{B D}) & = & 3 \end{array}$

Ein vektor som står vinkelrett på $\vec{B D}$ , er altså $[3, 1]$ .

d) Eit punkt E ligg på y-aksen slik at $\vec{E B} ⊥ \vec{A D}$ . Finn koordinatane til E.

Løysing

Vi har at

$\begin{array}{rcl} \vec{A D} & = & [2, 2] \\ E & = & (0, y) \\ \vec{B E} & = & [0 - 4, y - 2] \\ = & [- 4, y - 2] \end{array}$

Vi veit at for to vektorar som står normalt på kvarandre, er skalarproduktet lik 0:

$\begin{array}{rcl} \vec{A D} \cdot \vec{B E} & = & 0 \\ [2, 2] \cdot [- 4, y - 2] & = & 0 \\ 2 \cdot (- 4) + 2 (y - 2) & = & 0 \\ - 8 + 2 y - 4 & = & 0 \\ 2 y & = & 12 \\ y & = & 6 \end{array}$

Punktet E har altså koordinatane (0,6).

4.2.32

Vi har gitt vektorane $\vec{a} = [4, t], \vec{b} = [1, 5]$

a) Uttrykk $\vec{a} \cdot \vec{b}$ ved $t$ .

Løysing

$\begin{array}{rcl} \vec{a} \cdot \vec{b} & = & [4, t] \cdot [1, 5] \\ = & 4 \cdot 1 + t \cdot 5 \\ = & 5 t + 4 \end{array}$

b) Bestem $t$ slik at $\vec{a} ⊥ \vec{b}$

Løysing

$\begin{array}{rcl} \vec{a} ⊥ \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \\ \vec{a} \cdot \vec{b} & = & 0 \\ 5 t + 4 & = & 0 \\ 5 t & = & - 4 \\ t & = & - \frac{4}{5} \end{array}$

4.2.30

4.2.31

4.2.32

Reglar for bruk av teksten "Skalarproduktet til vektorar gitt på koordinatform"