Fagartikkel

Skalarproduktet til vektorar gitt på koordinatform

Vi får ein enkel rekneregel for skalarproduktet når vektorane er gitt med koordinatar. No kan vi lett sjekke om vektorar er ortogonale!

Før du jobbar med denne teoriartikkelen, kan det vere lurt å prøve seg på oppgåve 4.2.30 på sida Skalarproduktet til vektorar gitt på koordinatform

Formel for skalarpodukt for vektorar på koordinatform

Vi minner om at einingsvektorane $\vec{e_{x}}$ og $\vec{e_{y}}$ står vinkelrett på kvarandre, og at einingsvektorane har lengda 1. Det inneber at vi får desse resultata:

$\begin{matrix} \vec{e_{x}} \cdot \vec{e_{x}} = 1 \cdot 1 \cdot \cos 0^{o} = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1 \\ \vec{e_{y}} \cdot \vec{e_{y}} = 1 \cdot 1 \cdot \cos 0^{o} = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1 \\ \vec{e_{x}} \cdot \vec{e_{y}} = 1 \cdot 1 \cdot \cos 90^{o} = 1 \cdot 1 \cdot 0 = 0 \end{matrix}$

Dette kan vi bruke for å finne ein rekneregel for skalarproduktet når vi har vektorane på koordinatform:

$\begin{array}{rcl} [x_{1}, y_{1}] \cdot [x_{2}, y_{2}] & = & (x_{1} \vec{e_{x}} + y_{1} \vec{e_{y}}) \cdot (x_{2} \vec{e_{x}} + y_{2} \vec{e_{y}}) \\ = & x_{1} \vec{e_{x}} \cdot x_{2} \vec{e_{x}} + x_{1} \vec{e_{x}} \cdot y_{2} \vec{e_{y}} + y_{1} \vec{e_{y}} \cdot x_{2} \vec{e_{x}} + y_{1} \vec{e_{y}} \cdot y_{2} \vec{e_{y}} \\ = & x_{1} \cdot x_{2} \cdot \vec{e_{x}} \cdot \vec{e_{x}} + x_{1} \cdot y_{2} \cdot \vec{e_{x}} \cdot \vec{e_{y}} + y_{1} \cdot x_{2} \cdot \vec{e_{y}} \cdot \vec{e_{x}} + y_{1} \cdot y_{2} \cdot \vec{e_{y}} \cdot \vec{e_{y}} \\ = & x_{1} \cdot x_{2} \cdot 1 + x_{1} \cdot y_{2} \cdot 0 + y_{1} \cdot x_{2} \cdot 0 + y_{1} \cdot y_{2} \cdot 1 \\ = & x_{1} \cdot x_{2} + y_{1} \cdot y_{2} \end{array}$

For skalarproduktet mellom vektorar gitt med vektorkoordinatar gjeld

$[x_{1}, y_{1}] \cdot [x_{2}, y_{2}] = x_{1} \cdot x_{2} + y_{1} \cdot y_{2}$

Døme

Skalarprodukt i CAS. Linje 1: a kolon er lik parentes 2 komma tre parentes slutt. Linje 2: b kolon er lik parentes 4 komma 5 parentes slutt. Linje 3: Skalarprodukt parentes a komma b parentes slutt, svaret gitt som 23. Linje 4: a multiplisert med b, svaret gitt som 23. Line 5: parentes 2 komma 3 parentes slutt multiplisert med parentes 4 komma 5 parentes slutt. Svaret gitt som 23. Skjermutklipp. — Bilete: Tove Annette Holter / CC BY-SA 4.0

bu $[2, 3] \cdot [4, 5] = 2 \cdot 4 + 3 \cdot 5 = 23$

Med CAS i GeoGebra bruker du vanleg teikn for multiplikasjon (stjerneteikn). Vi tilrår som tidlegare å definere vektorane i CAS først, men som du ser på nedste linja i biletet til høgre, kan du òg bruke ein lettare veg til målet. Det er viktig å vere klar over at denne måten å rekne med vektorar på kan by på problem i nokre situasjonar!

Ortogonale vektorar

Vi minner om at føresett at begge vektorane har lengde ulik null, gjeld:

$\vec{a} ⊥ \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$

Vi kan no bruke rekneregelen for skalarproduktet for å undersøkje om to vektorar er ortogonale.

Om vi først ser på vektorane vi jobba med lenger oppe, hadde vi at

$[2, 3] \cdot [4, 5] = 23$

Desse vektorane er altså ikkje ortogonale.

La oss undersøkje om $\vec{a} = [3, 4]$ og $\vec{b} = [4, - 3]$ er ortogonale:

$\begin{array}{l} [3, 4] \cdot [4, - 3] = 3 \cdot 4 + 4 \cdot (- 3) = 0 \\ \vec{a} ⊥ \vec{b} fordi \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \end{array}$

Generelt har vi at dei to vektorane $[x, y]$ og $[y, - x]$ er ortogonale fordi $[x, y] \cdot [y, - x] = x \cdot y + y \cdot (- x) = x y - x y = 0$

Video om skalarproduktet av vektorar på koordinatform

Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA 4.0