Njuike sisdollui
Fágaartihkal

Parameterframstillinger for linjer og kurver i rommet

Linjer og kurver i rommet kan ikke beskrives med én likning slik som vi kan i to dimensjoner. Derfor bruker vi parameterframstillinger.

Parameterframstilling for ei rett linje

Rett linje i tre dimensjoner

Den interaktive figuren nedenfor viser ei rett linje i et tredimensjonalt koordinatsystem. Det er to punkter A og B på linja. Du kan dra i bildet for å se linja fra forskjellige kanter.

Posisjonsvektoren for et punkt på linja

Vi ønsker å beskrive denne linja matematisk. I to dimensjoner kan vi beskrive ei rett linje med én likning: formelen y=ax+b der a og b er konstanter. Det går ikke an å sette opp én tilsvarende likning for ei linje i tre dimensjoner.

Vi kan bruke vektorer til å beskrive linja matematisk. Gitt to punkter A og B. La P være et vilkårlig punkt på linja gjennom A og B. Da vil det alltid finnes en skalar t slik at

AP=t·AB

Vi kan få punktet P til å flytte seg hvor som helst på linja ved å velge riktig verdi for t. Posisjonsvektoren OP til punktet P kan vi skrive ved hjelp av posisjonsvektoren OA til punktet A som

OP = OA+AP=OA+t·AB

Når vi endrer verdien på t gradvis, vil P flytte seg langs linja. Da har vi funnet den matematiske beskrivelsen av linja som vi var på jakt etter. Vi kaller OP for posisjonsvektoren som beskriver linja gjennom A og B.

Tenk over

Fins det bare én unik posisjonsvektor som beskriver linja gjennom A og B?

Forklaring

Dersom vi bytter ut ett punkt eller begge punktene med andre punkter som ligger på linja, vil vi få en annen posisjonsvektor som beskriver den samme linja.

Retningsvektor

Legg merke til at AB er en vektor som er parallell med linja gjennom A og B. Vi sier derfor at AB er en retningsvektor for linja. Vi kan bruke hvilken som helst vektor som er parallell med linja som retningsvektor for linja.

Eksempel

Ei linje l går gjennom punktene A3, 4, 2 og B5, 8, 10.

En posisjonsvektor OP for linja l er

OP = OA+t·AB=3, 4, 2+t5-3, 8-4, 10-2=3, 4, 2+t2, 4, 8=3+2t, 4+4t, 2+8t

Parameterframstilling

I stedet for å beskrive linja ved hjelp av vektorer kan vi bruke en parameterframstilling av linja. Den tilsvarende parameterframstillingen for linja over blir

x=3+2t, y=4+4t, z=2+8t

Dette inneholder den samme informasjonen om linja som posisjonsvektoren OP, men er skrevet på en annen måte uten vektornotasjon. Parameterframstillingen av linja kan også skrives slik:

l:x=3+2ty=4+4tz=2+8t

Tenk over

Kan du tenke deg hvorfor parameterframstillingen i eksempelet over gir ei rett linje?

Forklaring

Årsaken til det er at hver av de tre koordinatene er lineære funksjoner av t. Hvis minst én av dem for eksempel er en andregradsfunksjon, vil vi generelt ikke lenger få ei rett linje, men en kurve som bøyer seg.

Parameterframstilling ut fra punkt og retningsvektor

I stedet for å kjenne to punkter på ei linje er det nok å kjenne ett punkt Ax0,y0,z0 på linja og en retningsvektor vl=a,b,c for linja.

En posisjonsvektor for denne linja blir

OP = OA+t·vl=x0, y0, z0+t·a, b, c=x0+at, y0+bt, z0+ct

Den tilsvarende parameterframstillingen for linja blir

x=x0+at, y=y0+bt, z=z0+ct

eller

l:x=x0+aty=y0+btz=z0+ct

Oppsummering

Når x0,y0,z0 er et punkt på ei linje l og a,b,c er en retningsvektor for linja, blir en parameterframstilling for linja

l:x=x0+aty=y0+btz=z0+ct

Test deg selv

Ei rett linje l går gjennom punktet -2,5,1. Vektoren 3,2,-4 er parallell med linja.

Kan du skrive opp en parameterframstilling for linja?

Parameterframstilling for linja

En parameterframstilling er

l:x=-2+3ty=5+2tz=1-4t

Eksempel

Ei rett linje l er gitt ved parameterframstillingen

l:x=-1+2ty=3tz=1-t

Vi skal finne en retningsvektor til linja l og et punkt på linja.

For å finne retningsvektoren må vi lese av koeffisientene a, b og c foran t-leddene. Vi får at retningsvektoren er 2,3,-1.

Et punkt på linja finner vi enklest ved å lese av x0,y0 og z0 i parameterframstillingen. Et punkt på linja blir derfor -1,0,1.

Vi kan også finne et punkt på linja ved å sette en bestemt t-verdi inn i parameterframstillingen. Ved å velge t=1 får vi punktet

2·1,1+2,12-1=2,3,0

Tenk over

Når vi finner punktet på linja ved å lese av x0,y0 og z0 , har vi egentlig valgt en bestemt t-verdi. Hvilken?

Forklaring

Vi har egentlig satt t=0, for da blir det bare igjen x0,y0 og z0.

Grafisk framstilling av linjer

GeoGebra

Det er vanskelig å lage skisser for hånd av rette linjer i tre dimensjoner. I GeoGebra får vi tegnet linja i eksempelet over ved å bruke kommandoen "Kurve". Vi velger å kalle kurven r og tegne den for t0,5. I algebrafeltet kan vi da skrive

r=Kurve(-1+2t,3t,1-t,t,0,5)

I kommandoen skriver vi først inn vektorkoordinatene, så må vi angi at det er t som er parameteren. Til slutt skriver vi inn grensene for t, som er 0 og 5. Det er verdt å nevne at vi ha med disse grensene når vi bruker kommandoen "Kurve". Hvis den aktuelle oppgaven eller situasjonen ikke gir en avgrensning, må vi derfor velge en.

For å tegne punktet på linja der t=0 kan vi skrive

A=r(0)

Kurver i rommet

Dersom en eller flere av likningene i en parameterframstilling ikke er av første grad, vil generelt ikke parameterframstillingen gi ei rett linje, men en kurve som bøyer seg.

Eksempel

Vi har gitt parameterframstillingen

k:x=2ty=t+2z=t2-1

På bildet har vi brukt parameterframstillingen og kommandoen "Kurve" til å tegne en kurve for t0,3. Som bildet viser, får vi ikke ei rett linje, men en parabelformet kurve.

Prøv selv

Bruk parameterframstillingen

x=2sint, y=2cost, z=0.2t

til å tegne en kurve for t0,6π. Hva får du?

Resultat

Kommandoen i algebrafeltet i GeoGebra blir

r=Kurve(2*sin(t),2*cos(t),0.2t,t,0,6pi)

Vi får en spiralfjær!

Video om parameterframstilling for ei rett linje

Video om parameterframstilling for ei rett linje. Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA 4.0