Njuike sisdollui
Bargobihttá

Skjæring og vinkel mellom linje og plan

Her kan du øve på å finne skjæringspunkter mellom linjer og plan.

4.2.50

a) Finn eventuelle skjæringspunkter mellom linja m gitt ved

m:x=2-ty=3+3tz=6t

og de tre koordinatplanene uten hjelpemidler.

Løsning

Skjæring med xy-planet (z=0):

z = 06t = 0t = 0

x = 2-t=2-0=2y = 3+3t=3+3·0=3

Skjæringspunktet mellom m og xy-planet er 2,3,0.

Skjæring med xz-planet (y=0):

y = 03+3t = 03t = -3t = -1

x = 2-t=2--1=3z = 6t=6·-1=-6

Skjæringspunktet mellom m og xz-planet er 3,0,-6.

Skjæring med yz-planet (x=0):

x = 02-t = 0t = 2

y = 3+3t=3+3·2=3+6=9z = 6t=6·2=12

Skjæringspunktet mellom m og yz-planet er 0,9,12.

b) Kontroller resultatet i oppgave a) med CAS.

Løsning

Vi får de samme svarene som i oppgave a).

c) Finn vinkelen mellom linja m og xy-planet.

Løsning

En normalvektor til xy-planet er n=ez=0,0,1. En retningsvektor for m er v=-1,3,6, som vi leser direkte fra parameterframstillingen. Vi løser oppgaven med CAS.

Vinkelen mellom m og xy-planet er 0,49.

4.2.51

a) Finn uten hjelpemidler eventuelle skjæringspunkter mellom linja l gitt ved

l:x=1-ty=0z=1+t

og planet α gitt ved likningen 2x-2y+z-2=0.

Løsning

Vi setter parameterframstillingen for l inn i planlikningen for α.

2x-2y+z-2 = 021-t-2·0+1+t-2 = 02-2t+t-1 = 0-t+1 = 0t = 1

Så setter vi løsningen inn i parameterframstillingen for l. Skjæringspunktet mellom l og α er

1-1,0,1+1=0,0,2

b) Kontroller resultatet i oppgave a) med CAS.

Løsning

Vi får det samme svaret som i oppgave a).

c) Finn vinkelen mellom linja l og planet α.

Løsning

En normalvektor til α er n=2,-2,1, og en retningsvektor for l er v=-1,0,1, som vi leser direkte fra parameterframstillingen. Vi løser oppgaven med CAS.

Vinkelen mellom l og α er 0,24.

4.2.52

a) Finn uten hjelpemidler eventuelle skjæringspunkter mellom linja l gitt ved

l:x=t-1y=tz=3

og planet α gitt ved likningen 2x-2y+z-2=0.

Løsning

Vi setter parameterframstillingen for l inn i planlikningen for α.

2x-2y+z-2 = 02t-1-2·t+3-2 = 02t-2-2t+3-2 = 00t-1 = 00t = 1

Likningen har ingen løsning. Det betyr at linja er parallell med, og ikke sammenfallende med, planet. Det finnes ingen skjæringspunkter.

b) Kontroller resultatet i oppgave a) med CAS.

Løsning

Vi får det samme med CAS, det vil si ingen løsning.

c) Finn uten hjelpemidler eventuelle skjæringspunkter mellom linja m gitt ved

m:x=1-ty=-1-tz=-2

og planet α gitt ved likningen 2x-2y+z-2=0.

Løsning

Vi setter parameterframstillingen for m inn i planlikningen for α.

2x-2y+z-2 = 021-t-2·-1-t+-2-2 = 02-2t+2+2t-2-2 = 00t = 0

Likningen har uendelig mange løsninger. Det betyr at det er uendelig mange skjæringspunkter mellom linja og planet, som igjen betyr at linja ligger i planet.

d) Kontroller resultatet i oppgave c) med CAS.

Løsning

Vi får det samme med CAS, det vil si uendelig mange løsninger.

4.2.53

Finn eventuelle skjæringspunkter mellom kurven k gitt ved

k:{x=-3+12ty=2+tz=2sint ,   t

og xy-planet.

Løsning

Skjæring med xy-planet vil si at z=0. Vi får

z = 02sint = 0t = n·π ,    n

Vi får uendelig mange skjæringspunkter mellom kurven k og xy-planet. Skjæringspunktene blir

-3+12·n·π,2+n·π,0=-3+n2π,2+n·π,0

4.2.54

Vi har gitt den rette linja l ved

l:x=2+ty=3-tz=-1+s·t

a) Bestem s slik at linja skjærer xy-planet når x=3.

Løsning

Vi kan bestemme parameteren t når vi vet at x=3.

x = 32+t = 3t = 3-2t = 1

I skjæringspunktet må z=0. Det gir

z = 0-1+s·1 = 0s = 1

Linja l skjærer xy-planet for x=3 når s=1.

b) Hva er vinkelen mellom l og xy-planet når l skjærer xy-planet for x=3?

Løsning

I oppgave a) fikk vi at vilkåret er oppfylt for s=1. Da blir parameterframstillingen til l

l:x=2+ty=3-tz=-1+t

En retningsvektor for l er da v=1,-1,1. En normalvektor til xy-planet er n=0,0,1. Med CAS får vi

Vinkelen mellom l og xy-planet er 0,62.


4.2.55

Lag et program som finner vinkelen mellom ei linje og et plan ut ifra retningsvektoren v for linja og normalvektoren n til planet.

Løsning

En algoritme for programmet kan se slik ut:

  • Legg koordinatene til retningsvektoren til linja i ei liste.

  • Legg koordinatene til normalvektoren til planet i ei liste.

  • Regn ut vinkelen mellom v og n ved hjelp av formelen cosu=n·vn·v.

Tips til programmet:

  • Bruk kommandoen "numpy.arccos()" til å regne ut vinkelen.

  • Bruk kommandoen "numpy.dot()" til å regne ut skalarproduktet mellom v og n.

  • Regn ut lengden av vektorene ved å ta kvadratrota av skalarproduktet av vektorene med seg selv.

Programmet kan se slik ut:

python
1import numpy as np
2      # legger koordinatene til vektorene i listene n og v
3n = (2,-2,1)
4v = (-1,0,1)
5      # regner ut skalarproduktet mellom n og v
6n_prikk_v = np.dot(n,v)
7      #regner ut lengden av n og lengden av v
8abs_n = np.sqrt(np.dot(n,n))
9abs_v = np.sqrt(np.dot(v,v))
10
11u = np.arccos(n_prikk_v/abs_n/abs_v)
12
13print(f"Vinkelen mellom planet og linja er {abs(np.pi/2 - u):.2f}.")