Her kan du øve på å finne skjæringspunkter mellom linjer og plan.
4.2.50
a) Finn eventuelle skjæringspunkter mellom linja gitt ved
m:x=2-ty=3+3tz=6t
og de tre koordinatplanene uten hjelpemidler.
Løsning
Skjæring med xy-planet (z=0):
z=06t=0t=0
x=2-t=2-0=2y=3+3t=3+3·0=3
Skjæringspunktet mellom m og xy-planet er 2,3,0.
Skjæring med xz-planet (y=0):
y=03+3t=03t=-3t=-1
x=2-t=2--1=3z=6t=6·-1=-6
Skjæringspunktet mellom m og xz-planet er 3,0,-6.
Skjæring med yz-planet (x=0):
x=02-t=0t=2
y=3+3t=3+3·2=3+6=9z=6t=6·2=12
Skjæringspunktet mellom m og yz-planet er 0,9,12.
b) Kontroller resultatet i oppgave a) med CAS.
Løsning
Vi får de samme svarene som i oppgave a).
c) Finn vinkelen mellom linja m og xy-planet.
Løsning
En normalvektor til xy-planet er n→=e→z=0,0,1. En retningsvektor for m er v→=-1,3,6, som vi leser direkte fra parameterframstillingen. Vi løser oppgaven med CAS.
Vinkelen mellom m og xy-planet er 0,49.
4.2.51
a) Finn uten hjelpemidler eventuelle skjæringspunkter mellom linja l gitt ved
l:x=1-ty=0z=1+t
og planet α gitt ved likningen 2x-2y+z-2=0.
Løsning
Vi setter parameterframstillingen for l inn i planlikningen for α.
2x-2y+z-2=021-t-2·0+1+t-2=02-2t+t-1=0-t+1=0t=1
Så setter vi løsningen inn i parameterframstillingen for l. Skjæringspunktet mellom l og α er
1-1,0,1+1=0,0,2
b) Kontroller resultatet i oppgave a) med CAS.
Løsning
Vi får det samme svaret som i oppgave a).
c) Finn vinkelen mellom linja l og planet α.
Løsning
En normalvektor til α er n→=2,-2,1, og en retningsvektor for l er v→=-1,0,1, som vi leser direkte fra parameterframstillingen. Vi løser oppgaven med CAS.
Vinkelen mellom l og α er 0,24.
4.2.52
a) Finn uten hjelpemidler eventuelle skjæringspunkter mellom linja l gitt ved
l:x=t-1y=tz=3
og planet α gitt ved likningen 2x-2y+z-2=0.
Løsning
Vi setter parameterframstillingen for l inn i planlikningen for α.
2x-2y+z-2=02t-1-2·t+3-2=02t-2-2t+3-2=00t-1=00t=1
Likningen har ingen løsning. Det betyr at linja er parallell med, og ikke sammenfallende med, planet. Det finnes ingen skjæringspunkter.
b) Kontroller resultatet i oppgave a) med CAS.
Løsning
Vi får det samme med CAS, det vil si ingen løsning.
c) Finn uten hjelpemidler eventuelle skjæringspunkter mellom linja m gitt ved
m:x=1-ty=-1-tz=-2
og planet α gitt ved likningen 2x-2y+z-2=0.
Løsning
Vi setter parameterframstillingen for m inn i planlikningen for α.
2x-2y+z-2=021-t-2·-1-t+-2-2=02-2t+2+2t-2-2=00t=0
Likningen har uendelig mange løsninger. Det betyr at det er uendelig mange skjæringspunkter mellom linja og planet, som igjen betyr at linja ligger i planet.
d) Kontroller resultatet i oppgave c) med CAS.
Løsning
Vi får det samme med CAS, det vil si uendelig mange løsninger.
4.2.53
Finn eventuelle skjæringspunkter mellom kurven k gitt ved
k:{x=-3+12ty=2+tz=2sint,t∈ℝ
og xy-planet.
Løsning
Skjæring med xy-planet vil si at z=0. Vi får
z=02sint=0t=n·π,n∈ℕ
Vi får uendelig mange skjæringspunkter mellom kurven k og xy-planet. Skjæringspunktene blir
-3+12·n·π,2+n·π,0=-3+n2π,2+n·π,0
4.2.54
Vi har gitt den rette linja l ved
l:x=2+ty=3-tz=-1+s·t
a) Bestem s slik at linja skjærer xy-planet når x=3.
Løsning
Vi kan bestemme parameteren t når vi vet at x=3.
x=32+t=3t=3-2t=1
I skjæringspunktet må z=0. Det gir
z=0-1+s·1=0s=1
Linja l skjærer xy-planet for x=3 når s=1.
b) Hva er vinkelen mellom l og xy-planet når l skjærer xy-planet for x=3?
Løsning
I oppgave a) fikk vi at vilkåret er oppfylt for s=1. Da blir parameterframstillingen til l
l:x=2+ty=3-tz=-1+t
En retningsvektor for l er da v→=1,-1,1. En normalvektor til xy-planet er n→=0,0,1. Med CAS får vi
Vinkelen mellom l og xy-planet er 0,62.
4.2.55
Lag et program som finner vinkelen mellom ei linje og et plan ut ifra retningsvektoren v→ for linja og normalvektoren n→ til planet.
Løsning
En algoritme for programmet kan se slik ut:
Legg koordinatene til retningsvektoren til linja i ei liste.
Legg koordinatene til normalvektoren til planet i ei liste.
Regn ut vinkelen mellom v→ og n→ ved hjelp av formelen cosu=n→·v→n→·v→.
Tips til programmet:
Bruk kommandoen "numpy.arccos()" til å regne ut vinkelen.
Bruk kommandoen "numpy.dot()" til å regne ut skalarproduktet mellom v→ og n→.
Regn ut lengden av vektorene ved å ta kvadratrota av skalarproduktet av vektorene med seg selv.