Avstanden fra et punkt til et plan

Tidligere har vi blant annet funnet avstand mellom et punkt i rommet og ei linje. Her skal vi finne avstanden mellom et punkt og et plan.

🤔 Tenk over: Hva tror du vi mener med avstanden fra et punkt til et plan?

Vi skal regne ut avstanden fra punktet $$ A(2,-8,7)$$ til planet $\beta$ gitt ved

$2x+3y-z-1=0$

Framgangsmåten er slik: Vi tenker oss at vi feller ned en normal $$ n$$ fra punktet $$ A$$ til planet. Hvis vi finner en parameterframstilling for normalen, kan vi finne koordinatene til skjæringspunktet $$ S$$ mellom planet og normalen. Se figuren nedenfor.

🤔 Tenk over: Hvordan kan vi bruke $$ \overrightarrow{SA}$$ til å finne avstanden fra $$ A$$ til $$ \beta $$?

Vektoren $$ {\overrightarrow{n}}_{\beta }=\left[2,3,-1\right]$$ er en normalvektor til $\beta$. Da er den også en retningsvektor for normalen $n$ som går gjennom $A$ og står vinkelrett på $\beta$.

Vi har nå både en retningsvektor til normalen $n$ og et punkt på normalen. En parameterframstilling for normalen er da

$$ n:\{\begin{array}{l}x=2+2t\\ y=-8+3t\\ z=7-t\end{array} $$

For å finne skjæringspunktet $S$ mellom $n$ og $\beta$, gjør vi som på teorisiden "Skjæring og vinkel mellom linje og plan": Vi setter parameteruttrykkene for $n$ inn i likningen for $\beta$.

$$\begin{gathered} \begin{array}{rcl} 2x+3y-z-1& = & 0\\ 2\left(2+2t\right)+3\left(-8+3t\right)-\left(7-t\right)-1& =& 0\\ 4+4t-24+9t-7+t-1& =& 0\\ 14t-28& =& 0\\ t& =& 2\end{array} \\ \end{gathered}$$

Vi setter$t=2$i parameterframstillingen og får

$x=2+2·2=6 \wedge y=-8+3·2=-2 \wedge z=7-2=5$

Skjæringspunktet $S$ har derfor koordinatene $\left(6,-2,5\right)$.

$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{SA }& = & \left[2-6, \left(-8\right)-\left(-2\right) ,7-5\right]\\ & & \\ & =& \left[-4, -6, 2\right]\end{array}$

På figuren nedenfor har vi tegnet planet og de andre elementene vi har brukt, i GeoGebra.

Avstanden fra $A$ til planet er

$$ \begin{array}{rcl}\left|\overrightarrow{SA}\right| & = & \sqrt{{\left(-4\right)}^2+{\left(-6\right)}^2+2^2}\\ & =& \sqrt{56}=2\sqrt{14}\end{array}$$

Vi starter med et vilkårlig punkt $$ P\left(x_1,y_1,z_1\right)$$ og et vilkårlig plan $\beta$ gitt ved

$ax+by+cz+d=0$

La $$ S(x,y,z)$$ være det punktet i planet som er nærmest $$ P$$. Se figuren. Vi ønsker å finne avstanden $$ q$$ mellom punktet $$ P$$ og $\beta$ som blir lik $$ \left|\overrightarrow{SP}\right|$$.

Siden $$ S(x,y,z)$$ ligger i planet, har vi at

$$ \begin{array}{rcl}ax+by+cz+d& =& 0\end{array}$$

Vi har også at $$ \overrightarrow{n}=[a,b,c]$$ er normalvektor til planet.

Vi bruker at vi kan finne skalarproduktet av $$ \overrightarrow{n}$$ og $\overrightarrow{SP}$ på to måter til å sette opp en likning. Vi bruker definisjonen på skalarproduktet og skalarproduktet med vektorkoordinater.

Hvis vi regner ut skalarproduktet med vektorkoordinater, får vi

$$ \overrightarrow{SP}·\overrightarrow{n}=\left[x_1-x,y_1-y,z_1-z\right]·\left[a,b,c\right]$$

Hvis vi bruker definisjonen på skalarproduktet, får vi

$$ \overrightarrow{SP}·\overrightarrow{n}=\left|\overrightarrow{SP}\right|·\left|\overrightarrow{n}\right|·\cos u$$

Setter vi den andre likningen inn i den første og bruker at $$ q=\left|\overrightarrow{SP}\right|$$, får vi

$$ \begin{array}{rcl}q·\left|\overrightarrow{n}\right|·\cos u & =& \left[x_1-x,y_1-y,z_1-z\right]·\left[a,b,c\right]\\ q·\sqrt{a^2+b^2+c^2}·\cos u & =& a{x}_1-ax+b{y}_1-by+c{z}_1-cz\\ & =& a{x}_1+b{y}_1+c{z}_1-\left(ax+by+cz\right)\\ & =& a{x}_1+b{y}_1+c{z}_1+d\\ q & =& \frac{a{x}_1+b{y}_1+c{z}_1+d}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}·\cos u}\end{array}$$

Uttrykket på høyre side er alltid positivt, for dersom skalarproduktet i telleren er negativt, vil også $$ \cos u$$ være negativ.

🤔 Tenk over: Hva er vinkelen $$ u$$ mellom $$ \overrightarrow{n}$$ og $\overrightarrow{SP}$? Hva betyr det for $$ \cos u$$?

Vi ønsker å kvitte oss med faktoren $$ \cos u$$ i nevneren siden vi ikke enkelt kan se om $$ \cos u=1$$ eller $$ \cos u=-1$$. Vi får til det dersom vi tar absoluttverdien av uttrykket på høyre side over. Vi får

$$ \begin{array}{rcl}q & =& \left|\frac{a{x}_1+b{y}_1+c{z}_1+d}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}·\cos u}\right|\\ & =& \left|\frac{a{x}_1+b{y}_1+c{z}_1+d}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\right|·\frac{1}{\left|\cos u\right|}\\ & =& \frac{\left|a{x}_1+b{y}_1+c{z}_1+d\right|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}·1\\ & =& \frac{\left|a{x}_1+b{y}_1+c{z}_1+d\right|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\end{array}$$

🤔 Tenk over: Kan du forklare med ord hva denne formelen uttrykker?

Eksempel

Vi bruker formelen og regner ut avstanden fra punktet $$ A\left(2,-8,7\right)$$ til planet $\beta$ gitt ved

$2x+3y-z-1=0$

Vi får

$$ \begin{array}{rcl}q& = & \frac{\left|a{x}_1+b{y}_1+c{z}_1+d\right|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\\ & =& \frac{\left|2·2+3·\left(-8\right)+\left(-1\right)·7+\left(-1\right)\right|}{\sqrt{2^2+3^2+{\left(-1\right)}^2}}\\ & =& \frac{\left|4-24-7-1\right|}{\sqrt{4+9+1}}\\ & =& \frac{\left|-28\right|}{\sqrt{14}}\\ & =& \frac{28·\sqrt{14}}{\sqrt{14}·\sqrt{14}}\\ & =& \frac{28·\sqrt{14}}{14}\\ & =& 2\sqrt{14}\end{array}$$

I GeoGebra kan vi enkelt finne avstanden ved å bruke kommandoen "Avstand(Punkt, Objekt)". Nedenfor har vi funnet avstanden i eksempelet over med CAS.