Njuike sisdollui
Fágaartihkal

Bevegelse. Fart og akselerasjon

Vi bruker vektorfunksjoner blant annet til å beskrive bevegelse i rommet. Parameteren t i vektorfunksjonen står da for tida.

En parameterframstilling for ei linje eller en kurve kan for eksempel bety posisjonen til en rakett som beveger seg langs linja eller kurven. Da står parameteren t for tida. Vi kan da finne ut hvor raketten er til enhver tid ved å sette inn tidspunktet i parameterframstillingen. Vi skal også vise hvordan vi kan finne farten og akselerasjonen til en slik rakett ut ifra parameterframstillingen for posisjonen.

Eksempel: rakett som skytes opp

Figuren viser banen til en rakett som blir skutt opp. Raketten følger en bane gitt ved kurven k.

k:x=t+2y=2t+2z=t2+t  , t0

t er tida målt i sekunder etter oppskytingstidspunktet. Vi kan tenke oss at vi måler x, y og z i meter. Vi forutsetter at xy-planet er bakkenivå, og at z-aksen peker loddrett oppover.

Tenk over

Hva blir den tilsvarende vektorfunksjonen rt til kurven k?

Vektorfunksjonen til k

rt=t+2,2t+2,t2+t

Aktuelle spørsmål å stille om raketten og banen den følger, er:

  1. Hvor blir raketten skutt opp fra?

  2. Hvor langt har raketten kommet etter 2 sekunder?

  3. Hvor høyt har raketten kommet etter 2 sekunder?

  4. Hvor fort går raketten da?

  5. Hvor stor er akselerasjonen til raketten da?

Vi svarer på det første spørsmålet. Oppskytingstidspunktet er t=0. Da har raketten posisjonen

r0=0+2,2·0+2,02+0=2,2,0

Vi finner svaret på det andre spørsmålet ved først å sette t=2 inn i vektorfunksjonen. Da får vi at etter 2 sekunder har raketten posisjonen

r2=2+2,2·2+2,22+2=4,6,6

Spørsmålet krever at vi svarer på hvor langt raketten har flyttet seg. Da må vi regne ut lengden av vektoren mellom de to posisjonene.

r2-r0=4,6,6-2,2,0=2,4,6

2,4,6=22+42+62=4+16+36=56

Høyden til raketten (spørsmål 3) blir det samme som z-komponenten til rt. Vi har da forutsatt at xy-planet er vannrett. Fra utregningen av r2 får vi derfor at raketten er 6 meter over bakken etter 2 sekunder.

De to siste spørsmålene venter vi litt med.

Fartsvektoren

På figuren er rakettbanen tegnet som en stiplet kurve. P og Q er to punkter i banen. Når raketten flytter seg fra P til Q, endrer posisjonsvektoren seg fra r1 til r2. Forflytningen r blir derfor en vektor fra P til Q.

Tenk over

Hva blir sammenhengen mellom de tre vektorene r1, r2 og r?

Sammenhengen mellom vektorene

Vi ser at vi får r2 ved å starte i origo, gå først til P og deretter til Q. Det betyr at

r1+r=r2      r=r2-r1

Definisjon av fartsvektoren

I fysikkfaget definerer vi gjennomsnittsfarten vg ved en forflytning r som r delt på endringen i tid t, det vil si den tida det tar å flytte seg fra P til Q. Vi får

vg=rt

Legg merke til at vi ikke definerer gjennomsnittsfarten som banelengden, det vil si lengden av kurven i det aktuelle tidsrommet, delt på endringen i tid. Siden likningen er en vektorlikning, må vektoren vg for gjennomsnittsfart være parallell med r.

Vi ønsker å komme fram til den momentane fartsvektoren vt i punktet P. Da kan vi se for oss at vi flytter punktet Q nærmere og nærmere punktet P. Jo nærmere punktet P punktet Q er, jo bedre tilnærming får vi til momentanfarten. Det betyr at

vt=limt0rtt

Dette er definisjonen av den momentane fartsvektoren. Betraktningen er ganske lik det vi gjør i matematikk 1T der vi kommer fram til momentan vekstfart og den deriverte av en funksjon. Forskjellen er at vi nå har en vektor med tre komponenter, ikke en enkelt funksjon. Å ta denne grenseverdien betyr at vi skal la t0 i hver av vektorkomponentene. Det betyr videre at for å finne fartsvektoren, skal vi derivere hver av vektorkomponentene med hensyn på t.

Dersom rt=xt,yt,zt, får vi derfor at

vt=x't,y't,z't

Tenk over

Hva kan vi si om retningen på v i punktet P?

Retningen på fartsvektoren i P

Gjennomsnittsfarten vg nærmer seg mer og mer en tangent i punktet P jo nærmere Q kommer P. Når vi lar t0, blir derfor v parallell med tangenten til kurven i P.

Banefart

Tenk over

Hvor fort går egentlig raketten?

Forklaring

Farten til raketten finner vi ved å ta lengden av vt, vt. Dette kaller vi ofte banefart.

Spørsmål 4 fra eksempelet

Nå kan vi svare på spørsmål 4 i raketteksempelet over. Når vi spør "Hvor fort går raketten etter 2 sekunder?", mener vi "Hvor stor er banefarten når t=2?".

Først må vi finne den momentane fartsvektoren. Siden rt=t+2,2t+2,t2+t, får vi

vt = x't,y't,z't=1,2,2t+1v2 = 1,2,2·2+1=1,2,5v2 = 12+22+52=1+4+25=30

Raketten har farten 30 m/s5,5 m/s etter 2 sekunder.

Tenk over

Hvorfor blir måleenheten for farten i eksempelet m/s?

Måleenheten for farten

Siden lengder måles i meter og tida i sekunder, blir måleenheten m/s fordi definisjonen vt=limt0rtt sier at vi skal ta en lengde og dele på ei tid.

Oppsummering: fart

Vi har en partikkel med posisjon gitt ved en vektorfunksjon

rt=xt,yt,zt

der parameteren t står for tida. Da er den momentane fartsvektoren vt bestemt ved

vt=limt0rtt=x't,y't,z't

Vi skriver også ofte

vt=r 't

vt er i alle punkter parallell med tangenten til bevegelseskurven i punktet.

Banefarten er lengden av fartsvektoren, det vil sivt. Banefarten er den farten vi kan måle at partikkelen har uavhengig av retning.

Akselerasjonsvektoren

Akselerasjon er et mål på hvor raskt farten endrer seg. Vi kan gjøre tilsvarende betraktning av fartsendringen som vi gjorde med posisjonsendringen over. Derfor er den momentane akselerasjonsvektoren i fysikken definert som

at=limt0vtt

Dette gir oss videre at

at=v 't=r 't'=r ''t=x''t,y''t,z''t

Akselerasjonsvektoren er den deriverte av fartsvektoren og dermed den andrederiverte av posisjonsvektoren.

Når det i en oppgave spørres etter akselerasjonen, menes det vanligvis absoluttverdien av akselerasjonsvektoren, at. I noen tilfeller kan det også spørres etter retningen på akselerasjonsvektoren.

Spørsmål 5 fra eksempelet

Nå kan vi svare på spørsmål 5 i raketteksempelet over. Når vi spør "Hvor stor er akselerasjonen til raketten etter 2 sekunder?", mener vi "Hvor stor er a2?".

Først må vi finne akselerasjonsvektoren. Siden vt=1,2,2t+1, får vi

at=v 't=0,0,2

Det betyr at akselerasjonen er konstant siden den ikke varierer med t. Siden x- og y-komponentene er null, er akselerasjonen loddrett og lik 2 m/s2 etter 2 sekunder og til alle andre tidspunkter.

Tenk over

Hvorfor blir måleenheten for akselerasjonen i eksempelet m/s2?

Måleenheten for akselerasjonen

Siden fart måles i m/s og tida i sekunder, blir måleenheten

mss=ms2

fordi definisjonen at=limt0vtt sier at vi skal ta en fart og dele på ei tid.

Oppsummering

Vi har en partikkel med posisjon gitt ved en vektorfunksjon

rt=xt,yt,zt

der parameteren t står for tida. Da er den momentane farten vt til partikkelen bestemt ved

vt=r 't=x't,y't,z't

Banefarten, eller bare farten, er gitt ved vt.

Den momentane akselerasjonsvektoren til partikkelen er gitt ved

at=v 't=r ''t=x''t,y''t,z''t

"Akselerasjonen" betyr vanligvis at.