Skjæring og vinkel mellom to plan
🤔 Tenk over: Hvordan skjærer to plan hverandre? Eller sagt på en mer matematisk måte: Hvordan ser mengden av punkter som ligger i begge planene, ut?
To plan som skjærer hverandre, danner ei skjæringslinje. Eller vi kan si at når to plan skjærer hverandre, blir mengden av felles punkter ei rett linje. Derfor kan vi se på de to likningene til to plan som skjærer hverandre som et likningssett som definerer ei linje.
Dra og roter den interaktive figuren for å visualisere skjæringen mellom to plan.
Parameterframstilling for skjæringslinja
Vi ønsker å komme fram til en parameterframstilling for skjæringslinja mellom de to planene og er gitt ved
En likningsframstilling for skjæringslinja
🤔 Tenk over: Hvilke to ting trenger vi for å finne en parameterframstilling til ei linje?
Finne retningsvektor for skjæringslinja
En retningsvektor for skjæringslinja mellom to plan må være parallell med begge planene. Retningsvektoren må derfor stå normalt på normalvektorene til begge planene.
🤔 Tenk over: Hvordan kan vi finne en vektor som står normalt på begge normalvektorene?
Vi løser oppgaven uten hjelpemidler. Vi har at
En retningsvektor for skjæringslinja er derfor
Finne et punkt på skjæringslinja
Alle punkter som oppfyller begge planlikningene, ligger på skjæringslinja. Vi starter med å velge en verdi for én av koordinatene, for eksempel
Gjør vi dette, får vi likningssettet
Likningssettet har løsningen
🤔 Tenk over: Hva skjer hvis likningssettet ikke har noen løsning?
Løsning med GeoGebra
Løsningen med GeoGebra følger samme oppskrift som løsningen uten hjelpemidler over der vi finner en retningsvektor for skjæringslinja og et punkt på den.
Vinkelen mellom to plan blir det samme som vinkelen mellom normalvektorene til planene. Vi kan forklare hvorfor på denne måten:
Vi tenker oss at de to planene er parallelle. Da må normalvektorene til de to planene også være parallelle. Så vipper vi på det ene planet en bestemt vinkel i forhold til det andre. Normalvektoren til dette planet må vippe akkurat like mye.
🤔 Tenk over: Hva gjør vi dersom vinkelen mellom normalvektorene er større enn