Njuike sisdollui
Bargobihttá

Avstand og vinkel mellom to linjer i rommet

Her kan du øve på å finne avstanden og vinkelen mellom to linjer i rommet.

4.2.20

Linjene m og n er gitt ved

m: x=1+2ty=tz=1-t  ,     n: x=-sy=2+sz=1+2s

a) Finn avstanden mellom linjene. Løs oppgaven uten hjelpemidler først. Kontroller svaret med CAS.

Løsning

Husk at med "avstanden mellom to linjer" menes alltid den korteste avstanden. Vi lar P være et punkt på m og Q være et punkt på n. Det betyr at

P=1+2t,t,1-t,  Q=-s,2+s,1+2s

Løsning uten hjelpemidler

Vi finner først PQ.

PQ = -s-1+2t, 2+s-t, 1+2s-1-t=-s-2t-1, s-t+2, 2s+t

Så krever vi at PQ står normalt på retningsvektoren vm=2,1,-1 til linja m, som betyr at PQ·vm=0. Det gir oss én likning med s og t:

-s-2t-1, s-t+2, 2s+t·2,1,-1 = 0            -2s-4t-2+s-t+2-2s-t=0                               -3s-6t=0                                 3s=-6ts=-2t

Så krever vi at PQ står normalt på retningsvektoren vn=-1,1,2 til linja n, som betyr at PQ·vn=0. Det gir oss en ny likning med s og t, der vi setter inn s=-2t til slutt:

-s-2t-1, s-t+2, 2s+t·-1,1,2 = 0            s+2t+1+s-t+2+4s+2t=0                               6s+3t+3=06·-2t+3t=-3-9t=-3t=13

s = -2t=-2·13=-23

Vi setter disse verdiene inn i utrykket for PQ for å finne koordinatene til den vektoren som står normalt på retningsvektorene til de to linjene.

PQ = -s-2t-1, s-t+2, 2s+t=--23-2·13-1, -23-13+2, 2·-23+13=-1,1,-1

Til slutt finner vi lengden av PQ.

PQ=-12+12+-12=1+1+1=3

Avstanden mellom de to linjene er 3.

Kontroll med CAS

b) Finn vinkelen mellom m og n.

Løs oppgaven uten hjelpemidler først. Kontroller svaret med CAS.

Løsning

Løsning uten hjelpemidler

Vi bruker skalarproduktet mellom retningsvektorene vm=2,1,-1 og vn=-1,1,2 til å finne vinkelen w mellom linjene. Vi kaller vinkelen mellom retningsvektorene for u.

cosu = vm·vnvm·vn= 2,1,-1·-1,1,222+12+-12·-12+12+22= -2+1-26·6= -36= -12u = 2π3        u=2π-2π3=4π3

Siden u>π2, blir vinkelen w mellom linjene

w=π-u=π-2π3=π3

Kontroll med CAS

c) Finn avstanden mellom m og x-aksen uten hjelpemidler.

Løsning

En retningsvektor vx for x-aksen er ex=1,0,0, og origo er et punkt på aksen. En parameterframstilling for x-aksen er derfor

lx: x=sy=0z=0 

Vi lar P være et punkt på m og Q være et punkt på x-aksen og finner først PQ.

PQ = s-1+2t, 0-t, 0-1-t=s-2t-1,-t, t-1

Så krever vi at PQ står normalt på retningsvektoren vm=2,1,-1 til linja m, som betyr at PQ·vm=0. Det gir oss én likning med s og t:

s-2t-1, -t, t-1·2,1,-1 = 0            2s-4t-2-t-t+1=0                               2s-6t-1=0

Så krever vi at PQ står normalt på retningsvektoren vx=1,0,0 til x-aksen, som betyr at PQ·vx=0. Det gir oss en ny likning med s og t:

s-2t-1, -t, t-1·1,0,0 = 0            s-2t-1=0                               s=2t+1

Vi setter uttrykket for s inn i den første likningen:

22t+1-6t-1 = 04t+2-6t-1 = 0-2t = -1t = 12

Dette gir

2s-6·12-1 = 02s-3-1 = 02s = 4s = 2

Vi setter disse verdiene inn i utrykket for PQ for å finne koordinatene til den vektoren som står normalt på retningsvektorene til de to linjene.

PQ = s-2t-1,-t, t-1=2-2·12-1,-12, 12-1=0,-12,-12

Til slutt finner vi lengden av PQ.

PQ=02+-122+-122=14+14=24=122

Avstanden mellom m og x-aksen er 122.

d) Finn avstanden mellom n og y-aksen uten hjelpemidler.

Løsning

En retningsvektor vy for y-aksen er ey=0,1,0, og origo er et punkt på aksen. En parameterframstilling for y-aksen er derfor

ly: x=0y=sz=0 

Vi lar P være et punkt på n og Q være et punkt på y-aksen og finner først PQ. Siden vi har brukt s som parameter på ly, bruker vi t som parameter på n.

PQ = 0--t, s-2+t, 0-1+2t=t, s-t-2, -2t-1

Så krever vi at PQ står normalt på retningsvektoren vn=-1,1,2 til linja n, som betyr at PQ·vn=0. Det gir oss én likning med s og t:

t, s-t-2, -2t-1·-1,1,2 = 0            t·-1+s-t-2·1+-2t-1·2=0                               -t+s-t-2-4t-2=0s-6t-4=0

Så krever vi at PQ står normalt på retningsvektoren vy=0,1,0 til linja n, som betyr at PQ·vx=0. Det gir oss en ny likning med s og t:

t, s-t-2, -2t-1·0,1,0 = 0            s-t-2·1=0                               s-t-2=0s=t+2

Vi setter uttrykket for s inn i den første likningen:

t+2-6t-4 = 0-5t-2 = 0-5t = 2t = -25

Dette gir

s = -25+2=-25+105=85

Vi setter disse verdiene inn i utrykket for PQ for å finne koordinatene til den vektoren som står normalt på retningsvektorene til de to linjene.

PQ = t, s-t-2, -2t-1=-25, 85--25-2, -2·-25-1=-25, 85+25-105, 45-55=-25,0,-15

Til slutt finner vi lengden av PQ.

PQ=-252+02+-152=425+125=525=155

Avstanden mellom n og y-aksen er 155.

4.2.21

Løs oppgaven med hjelpemidler.

a) Linjene m og n er gitt ved

m: x=2t-1y=t+1z=t+4  ,     n: x=s-4y=2s+1z=s+3

Finn avstanden og vinkelen mellom linjene.

Løsning

Vi lar som før P være et punkt på m og Q være et punkt på n.

Avstanden mellom linjene er 0, så linjene skjærer hverandre. Vinkelen mellom linjene er 0,59.

b) Finn på to rette linjer selv, og finn avstanden og vinkelen mellom dem.

4.2.22

Linjene m og n er gitt ved

m: x=1+2ty=tz=-t  ,     n: x=-2-sy=3-s2z=1+s2

a) Vis uten hjelpemidler at linjene er parallelle.

Løsning

Vi viser dette ved å vise at retningsvektoren vm for m er parallell med retningsvektoren vn for n. Retningsvektorer er

vm=2,1,-1, vn=-1,-12,12

Dersom vmvnvm=k·vn, der k er en konstant. Dette gir

2,1,-1 = k-1,-12,12

2 = k·-1        1=k·-12        -1=k·12k = -2          k=-2        k=-2

Vi får samme verdi for k for alle de tre koordinatene. Da er vektorene parallelle, og linja m er parallell med linja n.

b) Er linjene sammenfallende, altså éi og samme linje? Løs oppgaven uten hjelpemidler.

Løsning

Vi må sjekke om et punkt på den ene linja også ligger på den andre.

Vi leser av parameterframstillingen til n at punktet -1,3,1 ligger på n. Så sjekker vi om punktet ligger på m. Når vi har at x=1+2t, og setter x=-1, får vi

1+2t = -12t = -2t = -1

Så setter vi dette resultatet inn i y-koordinaten til m.

y=t=-1

Vi får at t=-1 ikke gir y=3. Derfor ligger ikke punktet -1,3,1m, bare på n. Da er ikke linjene sammenfallende.

Legg merke til at dersom vi hadde fått y=3, måtte vi ha sjekket z-koordinaten for å se om den blir 1 når t=-1.

c) Prøv å finne avstanden mellom linjene med den vanlige framgangsmåten uten hjelpemidler. Forklar hvorfor metoden ikke gir noe svar.

Løsning

Vi lar P være et punkt på m og Q være et punkt på n.

Løsning uten hjelpemidler

Vi finner først PQ.

PQ = -2-s-1+2t, 3-s2-t, 1+s2-1-t=-s-2t-3, -s2-t+3, s2+t

Så krever vi at PQ står normalt på retningsvektoren vm=2,1,-1 til linja m, som betyr at PQ·vm=0. Det gir oss én likning med s og t:

-s-2t-3, -s2-t+3, s2+t·2,1,-1 = 0            -2s-4t-6-s2-t+3-s2-t=0                               -3s-6t-3=0                                 -3s=6t+3s=-2t-1

Så krever vi at PQ står normalt på retningsvektoren vn=-1,-12,12 til linja n, som betyr at PQ·vn=0. Det gir oss en ny likning med s og t, der vi setter inn s=-2t-1 til slutt:

-s-2t-3, -s2-t+3, s2+t·-1,-12,12 = 0s+2t+3+s4+t2-32+s4+t2=03s2+3t+32=032·-2t-1+3t+32=0-3t-32+3t+32=00t=0

Likningssettet har uendelig mange løsninger. Årsaken til dette er at de to retningsvektorene er parallelle. Da blir den ene likningen lik en konstant multiplisert med den andre, og vi har i prinsippet bare én likning med to ukjente. Dermed kan ikke denne framgangsmåten brukes for å finne avstanden mellom to parallelle linjer.

d) Finn avstanden mellom linjene uten hjelpemidler med en annen framgangsmåte.

Tips til oppgaven

Velg et punkt på éi av linjene.

Løsning

Vi velger ett punkt på éi av linjene og finner avstanden fra punktet til den andre linja. Vi velger

A=n0=-2,3,1

e) Finn ei ny linje o som er parallell med m og har avstand 3 til m.

4.2.23

Linjene m og n er gitt ved

m: x=-4+2ty=1+tz=-2-2t  ,     n: x=-8-6sy=-1-3sz=2+6s

Finn ut hvordan linjene går i forhold til hverandre.

Løsning

Vi starter med å sjekke om linjene står vinkelrett på hverandre ved å sjekke om skalarproduktet mellom retningsvektorene er 0. Så sjekker vi om linjene er parallelle og i tilfelle om de er sammenfallende.

Linje 3 gir at linjene ikke står normalt på hverandre siden skalarproduktet mellom retningsvektorene ikke er 0. Linje 4 gir at linjene er parallelle siden det finnes en k som er slik at vm=k·vn. Vi velger et punkt An ved å sette s=0. I linje 6 sjekker vi om A også ligger på m ved å se om det finnes en t som gir oss A. Det er det, dermed er de to linjene sammenfallende.

Det er lurt å først kjøre disse enkle testene på om linjene står vinkelrett på hverandre, er parallelle eller sammenfallende, for da kan vi kanskje slippe å bruke disse mer kompliserte metodene for å finne avstanden og vinkelen mellom to linjer. I dette tilfellet slipper vi det.