De tre punktene i eksempelet i arealmetoden er , B4,0,2 og C3,5,1, og linja skal gå gjennom B og C. Vi lager en parameterframstilling for denne linja, som vi kaller lBC.
En retningsvektor for linja er
BC→=3-4,5-0,1-2=-1,5,-1
Bruker vi B som fast punkt til parameterframstillingen, får vi
lBC:x=4-ty=5tz=2-t
Dette er parameterframstillingen som er brukt i eksempelet i skalarproduktmetoden. Det er derfor samme linje som er brukt i de to eksemplene. Siden det er det samme punktet A(0,7,2) vi skulle finne avstanden til, blir det samme avstand vi kommer fram til i de to eksemplene.
4.2.11
Vi har gitt punktene A-3,1,0,B1,1,3 og C1,-1,2 og skal finne avstanden fra C til linja gjennom A og B.
a) Hvilken av de to metodene vi har kalt arealmetoden og skalarproduktmetoden, vil du velge å bruke?
Løsning
Siden vi ikke har oppgitt noen parameterframstilling for linja, kan det være enklest å bruke arealmetoden.
b) Finn avstanden fra C til linja gjennom A og B. Løs oppgaven uten hjelpemidler først og så med hjelpemidler.
Løsning
Uten hjelpemidler:
Vi setter
a→=AB→=1--3,1-1,3-0=4,0,3
a→=42+02+32=16+9=25=5
b→=AC→=1--3,1-1,3-0=4,-2,2
a→×b→=[0·2--2·3,3·4-2·4,4·-2-4·0]=6,4,-8
a→×b→=62+42+-82=36+16+64=116=229
Vi får
h=a→×b→a→=2295=2529
Avstanden fra C til linja gjennom A og B er 2529.
Med hjelpemidler:
4.2.12
Løs alle deloppgavene uten hjelpemidler først og så med hjelpemidler.
Vi har gitt punktene A2,0,0,B0,4,0,C0,0,6 og D1,-2,6.
b) Finn avstanden fra B til linja gjennom C og D. Hva kan du si om firkanten ABCD ut ifra resultatet i a) og b)?
Løsning
Uten hjelpemidler:
Vi setter a→=CD→=1,-2,0 som i a).
b→=CB→=0-0,4-0,0-6=0,4,-6
a→×b→=[-2·-6-4·0,0·0--6·1,1·4-0·-2]=12,6,4
Dette er det samme resultatet for kryssproduktet som i oppgave a). Avstanden fra B til linja gjennom C og D er derfor den samme som avstanden fra A til linja gjennom C og D, det vil si 1455.
Linja gjennom A og B må derfor være parallell med linja gjennom C og D. Firkanten ABCD er derfor et trapes.
Med hjelpemidler:
c) Vis ved å bruke vektorene AB→ og CD→ at ABCD er et trapes.
Løsning
Uten hjelpemidler:
Dersom linja gjennom A og B er parallell med linja gjennom C og D, må vi ha at AB→=k·CD→.
AB→=0-2,4-0,0-0=-2,4,0=-21,-2,0=-2CD→
De to vektorene er dermed parallelle, og ABCD er et trapes.
Med hjelpemidler:
Hvordan vet vi egentlig at vektorene er parallelle ut ifra dette? Vi vet det siden likningen har en løsning. Dersom likningen ikke har løsning, finnes det ingen verdi for k som gjør at AB→=k·CD→, og da kan ikke vektorene være parallelle.
4.2.13
Løs oppgavene uten hjelpemidler først og så med hjelpemidler.
Ei linje m er gitt ved parameterframstillingen
m:x=-4+2ty=1+tz=-2-2t
a) Finn avstanden fra punktet A-3,2,-1 til m.
Løsning
Uten hjelpemidler:
En generell vektor mellom A og et vilkårlig punkt P på m er
AP→=-4+2t--3,1+t-2,-2-2t--1=-1+2t,-1+t,-1-2t
For at lengden av AP→ skal bli så kort som mulig, skal AP→ stå vinkelrett på retningsvektoren til linja, som er v→m=2,1,-2.
I linje 4 setter vi opp skalarproduktet mellom AP→ og retningsvektoren for m, som vi finner ved å derivere r(t), og setter det lik 0.
I linje 5 har vi brukt kommandoen "HøyreSide" for å hente inn t-verdien. På denne måten får vi et mest mulig automatisk oppsett som er enkelt å gjenbruke.
b) Finn avstanden fra origo til m.
Løsning
Uten hjelpemidler:
En generell vektor mellom origo og et vilkårlig punkt P på m er det samme som posisjonsvektoren til P, og vi får
OP→=-4+2t,1+t,-2-2t
Vi krever at OP→·v→m=0 er v→m er en retningsvektor for m. Dette gir
Her har vi gjenbrukt CAS-oppsettet fra oppgave a). Siden punktet er origo, trenger vi strengt tatt ikke lage oss en OP→, men kan bruke rt direkte i beregningene i linje 4 og 5.
c) Finn avstanden fra punktet B-2,2,-4 til m. Hva betyr resultatet?
Løsning
Uten hjelpemidler:
BP→=-4+2t--2,1+t-2,-2-2t--4=-2+2t,-1+t,2-2t
Vi krever at BP→·v→m=0 der v→m er en retningsvektor for m. Dette gir
Lengden av 0→ er 0. Avstanden mellom B og m er 0, som må bety at B ligger på linja m.
Med hjelpemidler:
d) Finn skjæringspunktet mellom linja m og xy-planet.
Løsning
Uten hjelpemidler:
I xy-planet er z-koordinaten lik 0. Det betyr at
z=0-2-2t=02t=-2t=-1
Skjæringspunktet mellom linja m og xy-planet blir
-4+2·-1,1+-1,0=-6,0,0
Det betyr at dette punktet også er skjæringspunkt mellom linja og xz-planet siden y-koordinaten også er 0. Det betyr videre at linja har skjæringspunktet -6,0,0 med x-aksen.
Med hjelpemidler:
I linje 6 bruker vi kommandoen "z" for å plukke ut z-koordinaten til r(t) og setter den lik 0.
e) Finn skjæringspunktet mellom linja m og yz-planet.
Løsning
Uten hjelpemidler:
I yz-planet er x-koordinaten lik 0. Det betyr at
x=0-4+2t=02t=4t=2
Skjæringspunktet mellom linja m og yz-planet blir
0,1+2,-2-2·2=0,3,-6
Med hjelpemidler:
4.2.14
Løs oppgaven uten hjelpemidler.
Vi har gitt den rette linja
l:x=1-2ty=4+tz=2
a) Finn avstanden mellom linja og punktet A3,3,0.
Løsning
En generell vektor mellom A og et vilkårlig punkt P på l er
AP→=1-2t-3,4+t-3,2-0=-2-2t,t+1,2
For at lengden av AP→ skal bli så kort som mulig, skal AP→ stå vinkelrett på retningsvektoren til linja, som er v→l=-2,1,0.
Vi setter denne t-verdien inn i uttrykket for AP→.
AP→=-2-2t,t+1,2=-2-2·-1,-1+1,2=0,0,2
Siden AP→ bare har én koordinat som er forskjellig fra 0, får vi at AP→=2.
Avstanden fra punktet A til linja l er 2.
b) Finn skjæringspunktet mellom l og xz-planet hvis det eksisterer.
Løsning
I xz-planet er y=0. Skjæringspunktet mellom linja og xz-planet må derfor ha y-koordinaten 0.
y=04+t=0t=-4
Skjæringspunktet er
1-2·-4,0,2=9,0,2
c) Finn skjæringspunktet mellom l og xy-planet hvis det eksisterer.
Løsning
I xy-planet er z=0. Siden z-koordinaten i parameterframstillingen til linja l er konstant lik 2, har ikke linja noe skjæringspunkt med xy-planet.
d) Hva betyr det at z-koordinaten i parameterframstillingen til l ikke inneholder parameteren t?
Forklaring
Når z-koordinaten ikke inneholder parameteren, vil avstanden fra xy-planet være konstant lik z-koordinaten. Det betyr at linja er parallell med xy-planet.
e) Vis ved å sette t=-1 i parameterframstillingen for l at avstanden fra punktet A til linja l er 2.
Løsning
Ved å sette t=-1 får vi punktet
1-2·-1,4+-1,2=3,3,2
A har de samme koordinatene bortsett fra z-koordinaten. Det betyr at avstanden mellom A og punktet er lik forskjellen i z-koordinat, det vil si 2. Litt upresist kan vi si at punktet A ligger rett under punktet 3,2,2 på linja.
4.2.15
Vi har gitt den rette linja l ved
l:x=2+ty=3-tz=s+2t
Bestem s slik at avstanden mellom punktet A1,2,0 og linja er 3. Løs oppgaven uten hjelpemidler først, deretter med hjelpemidler.
Løsning
En generell vektor mellom A og et vilkårlig punkt P på l er
AP→=2+t-1,3-t-2,s+2t-0=t+1,-t+1,s+2t
For at lengden av AP→ skal bli så kort som mulig, skal AP→ stå vinkelrett på retningsvektoren til linja, som er v→l=1,-1,2.