Njuike sisdollui
Bargobihttá

Avstand punkt–linje. Vektorfunksjoner

Her kan du øve på å finne avstander mellom punkter og linjer og finne hvor linjer og kurver skjærer de tre koordinatplanene.

4.2.10

Gå til teorisida om avstanden mellom et punkt og ei linje og vis at linja i eksempelet i metode 2 er den samme linja som i metode 1.

Løsning

De tre punktene i eksempelet i arealmetoden er A0,7,2, B4,0,2 og C3,5,1, og linja skal gå gjennom B og C. Vi lager en parameterframstilling for denne linja, som vi kaller lBC.

En retningsvektor for linja er

BC=3-4,5-0,1-2=-1,5,-1

Bruker vi B som fast punkt til parameterframstillingen, får vi

lBC:x=4-ty=5tz=2-t

Dette er parameterframstillingen som er brukt i eksempelet i skalarproduktmetoden. Det er derfor samme linje som er brukt i de to eksemplene. Siden det er det samme punktet A(0,7,2) vi skulle finne avstanden til, blir det samme avstand vi kommer fram til i de to eksemplene.

4.2.11

Vi har gitt punktene A-3,1,0, B1,1,3 og C1,-1,2 og skal finne avstanden fra C til linja gjennom A og B.

a) Hvilken av de to metodene vi har kalt arealmetoden og skalarproduktmetoden, vil du velge å bruke?

Løsning

Siden vi ikke har oppgitt noen parameterframstilling for linja, kan det være enklest å bruke arealmetoden.

b) Finn avstanden fra C til linja gjennom A og B. Løs oppgaven uten hjelpemidler først og så med hjelpemidler.

Løsning

Uten hjelpemidler:

Vi setter

a=AB=1--3,1-1,3-0=4,0,3

a=42+02+32=16+9=25=5

b=AC=1--3,1-1,3-0=4,-2,2

a×b=[0·2--2·3,3·4-2·4,4·-2-4·0]=6,4,-8

a×b=62+42+-82=36+16+64=116=229

Vi får

h = a×ba=2295=2529

Avstanden fra C til linja gjennom A og B er 2529.

Med hjelpemidler:

4.2.12

Løs alle deloppgavene uten hjelpemidler først og så med hjelpemidler.

Vi har gitt punktene A2,0,0, B0,4,0, C0,0,6 og D1,-2,6.

a) Finn avstanden fra A til linja gjennom C og D.

Tips til oppgaven

Tegn hjelpefigur.

Løsning

Vi setter

a = CD=1-0,-2-0,6-6=1,-2,0a = 12+-22+02=1+4=5b = CA=2-0,0-0,0-6=2,0,-6a×b = [-2·-6-0·0,0·2--6·1,1·0-2·-2]= 12,6,4a×b = 122+62+42= 144+36+16= 196= 14

Vi får

h = a×ba=145=1455

Avstanden fra A til linja gjennom C og D er 1455.

Med hjelpemidler:

b) Finn avstanden fra B til linja gjennom C og D. Hva kan du si om firkanten ABCD ut ifra resultatet i a) og b)?

Løsning

Uten hjelpemidler:

Vi setter a=CD=1,-2,0 som i a).

b=CB=0-0,4-0,0-6=0,4,-6

a×b=[-2·-6-4·0,0·0--6·1,1·4-0·-2]=12,6,4

Dette er det samme resultatet for kryssproduktet som i oppgave a). Avstanden fra B til linja gjennom C og D er derfor den samme som avstanden fra A til linja gjennom C og D, det vil si 1455.

Linja gjennom A og B må derfor være parallell med linja gjennom C og D. Firkanten ABCD er derfor et trapes.

Med hjelpemidler:

c) Vis ved å bruke vektorene AB og CD at ABCD er et trapes.

Løsning

Uten hjelpemidler:

Dersom linja gjennom A og B er parallell med linja gjennom C og D, må vi ha at AB=k·CD.

AB = 0-2,4-0,0-0 = -2,4,0= -21,-2,0= -2CD

De to vektorene er dermed parallelle, og ABCD er et trapes.

Med hjelpemidler:

Hvordan vet vi egentlig at vektorene er parallelle ut ifra dette? Vi vet det siden likningen har en løsning. Dersom likningen ikke har løsning, finnes det ingen verdi for k som gjør at AB=k·CD, og da kan ikke vektorene være parallelle.

4.2.13

Løs oppgavene uten hjelpemidler først og så med hjelpemidler.

Ei linje m er gitt ved parameterframstillingen

m:x=-4+2ty=1+tz=-2-2t

a) Finn avstanden fra punktet A-3,2,-1 til m.

Løsning

Uten hjelpemidler:

En generell vektor mellom A og et vilkårlig punkt Pm er

AP = -4+2t--3,1+t-2,-2-2t--1= -1+2t,-1+t,-1-2t

For at lengden av AP skal bli så kort som mulig, skal AP stå vinkelrett på retningsvektoren til linja, som er vm=2,1,-2.

APvl    AP·vl = 0

Dette gir videre

          -1+2t,-1+t,-1-2t·2,1,-2 = 0-1+2t·2+-1+t·1+-1-2t·-2 = 0                       -2+4t-1+t+2+4t = 0                                          9t = 1                                             t = 19

Vi setter denne t-verdien inn i uttrykket for AP.

AP = -1+2·19,-1+19,-1 -2·19=-79,-89,-119AP=-792+-892+-1192=4981+6481+12181=23481=269=263

Avstanden fra punktet A til linja m er 263.

Med hjelpemidler:

I linje 4 setter vi opp skalarproduktet mellom AP og retningsvektoren for m, som vi finner ved å derivere r(t), og setter det lik 0.

I linje 5 har vi brukt kommandoen "HøyreSide" for å hente inn t-verdien. På denne måten får vi et mest mulig automatisk oppsett som er enkelt å gjenbruke.

b) Finn avstanden fra origo til m.

Løsning

Uten hjelpemidler:

En generell vektor mellom origo og et vilkårlig punkt Pm er det samme som posisjonsvektoren til P, og vi får

OP = -4+2t,1+t,-2-2t

Vi krever at OP·vm=0 er vm er en retningsvektor for m. Dette gir

          -4+2t,1+t,-2-2t·2,1,-2 = 0-4+2t·2+1+t·1+-2-2t·-2=0                       -8+4t+1+t+4+4t=0                                          9t=3                                             t=13

Da får vi

AP = -4+2·13,1+13,-2 -2·13=-103,43,-83AP=-1032+432+-832=1009+169+649=1809=20=25

Avstanden fra origo til linja m er 25.

Med hjelpemidler:

Her har vi gjenbrukt CAS-oppsettet fra oppgave a). Siden punktet er origo, trenger vi strengt tatt ikke lage oss en OP, men kan bruke rt direkte i beregningene i linje 4 og 5.

c) Finn avstanden fra punktet B-2,2,-4 til m. Hva betyr resultatet?

Løsning

Uten hjelpemidler:

BP = -4+2t--2,1+t-2,-2-2t--4= -2+2t,-1+t,2-2t

Vi krever at BP·vm=0 der vm er en retningsvektor for m. Dette gir

          -2+2t,-9+t,-2-2t·2,1,-2 = 0-2+2t·2+-1+t·1+2-2t·-2=0                       -4+4t-1+t-4+4t=0                                          9t=9                                             t=1

Da får vi

BP = -2+2·1,-1+1,2 -2·1=0,0,0

Lengden av 0 er 0. Avstanden mellom B og m er 0, som må bety at B ligger på linja m.

Med hjelpemidler:

d) Finn skjæringspunktet mellom linja m og xy-planet.

Løsning

Uten hjelpemidler:

I xy-planet er z-koordinaten lik 0. Det betyr at

z = 0-2-2t = 02t = -2t = -1

Skjæringspunktet mellom linja m og xy-planet blir

-4+2·-1,1+-1,0=-6,0,0

Det betyr at dette punktet også er skjæringspunkt mellom linja og xz-planet siden y-koordinaten også er 0. Det betyr videre at linja har skjæringspunktet -6,0,0 med x-aksen.

Med hjelpemidler:

I linje 6 bruker vi kommandoen "z" for å plukke ut z-koordinaten til r(t) og setter den lik 0.

e) Finn skjæringspunktet mellom linja m og yz-planet.

Løsning

Uten hjelpemidler:

I yz-planet er x-koordinaten lik 0. Det betyr at

x = 0-4+2t = 02t = 4t = 2

Skjæringspunktet mellom linja m og yz-planet blir

0,1+2,-2-2·2=0,3,-6

Med hjelpemidler:

4.2.14

Løs oppgaven uten hjelpemidler.

Vi har gitt den rette linja

l:x=1-2ty=4+tz=2

a) Finn avstanden mellom linja og punktet A3,3,0.

Løsning

En generell vektor mellom A og et vilkårlig punkt Pl er

AP = 1-2t-3,4+t-3,2-0= -2-2t,t+1,2

For at lengden av AP skal bli så kort som mulig, skal AP stå vinkelrett på retningsvektoren til linja, som er vl=-2,1,0.

Vi krever at AP·vl=0. Dette gir

 -2-2t,t+1,2·-2,1,0 = 0-2-2t·-2+t+1·1+2·0 = 04+4t+t+1 = 05t = -5t = -1

Vi setter denne t-verdien inn i uttrykket for AP.

AP = -2-2t,t+1,2= -2-2·-1,-1+1,2= 0,0,2

Siden AP bare har én koordinat som er forskjellig fra 0, får vi at AP=2.

Avstanden fra punktet A til linja l er 2.

b) Finn skjæringspunktet mellom l og xz-planet hvis det eksisterer.

Løsning

I xz-planet er y=0. Skjæringspunktet mellom linja og xz-planet må derfor ha y-koordinaten 0.

y = 04+t = 0t = -4

Skjæringspunktet er

1-2·-4,0,2=9,0,2

c) Finn skjæringspunktet mellom l og xy-planet hvis det eksisterer.

Løsning

I xy-planet er z=0. Siden z-koordinaten i parameterframstillingen til linja l er konstant lik 2, har ikke linja noe skjæringspunkt med xy-planet.

d) Hva betyr det at z-koordinaten i parameterframstillingen til l ikke inneholder parameteren t?

Forklaring

Når z-koordinaten ikke inneholder parameteren, vil avstanden fra xy-planet være konstant lik z-koordinaten. Det betyr at linja er parallell med xy-planet.

e) Vis ved å sette t=-1 i parameterframstillingen for l at avstanden fra punktet A til linja l er 2.

Løsning

Ved å sette t=-1 får vi punktet

1-2·-1,4+-1,2=3,3,2

A har de samme koordinatene bortsett fra z-koordinaten. Det betyr at avstanden mellom A og punktet er lik forskjellen i z-koordinat, det vil si 2. Litt upresist kan vi si at punktet A ligger rett under punktet 3,2,2 på linja.

4.2.15

Vi har gitt den rette linja l ved

l:x=2+ty=3-tz=s+2t

Bestem s slik at avstanden mellom punktet A1,2,0 og linja er 3. Løs oppgaven uten hjelpemidler først, deretter med hjelpemidler.

Løsning

En generell vektor mellom A og et vilkårlig punkt Pl er

AP = 2+t-1,3-t-2,s+2t-0= t+1,-t+1,s+2t

For at lengden av AP skal bli så kort som mulig, skal AP stå vinkelrett på retningsvektoren til linja, som er vl=1,-1,2.

Vi krever at AP·vl=0. Dette gir

t+1,-t+1,s+2t·1,-1,2 = 0t+1·1+-t+1·-1+s+2t·2=0t+1+t-1+2s+4t=06t=-2ss=-3t

Vi setter denne s-verdien inn i uttrykket for AP.

AP = t+1,-t+1,-3t+2t= t+1,-t+1,-t

Lengden av denne vektoren skal være lik 3. Det gir

AP = 3t+1,-t+1,-t = 3t+12+-t+12+-t2 = 3t2+2t+1+t2-2t+1+t2 = 33t2+2 = 33t2+2 = 93t2 = 7t2 = 73t = 73        t=-73t = 3·73·3        t=-3·73·3t = 1321        t=-1321

Vi får da

s = -3ts = -3·-1321      s=-3·1321s = 21      s=-21

Løsning med CAS: