Parameterframstillinger for linjer og kurver i rommet
Her kan du gjøre deg mer kjent med parameterframstillinger for linjer og kurver.
4.2.1
Finn en parameterframstilling for linjene nedenfor.
a) Linja går gjennom punktet -4,0,2, og en retningsvektor for linja er -30,3,7.
Løsning
l:x=-4-30ty=3tz=2+7t
b) Linja m går gjennom punktet 2,3,0, og vektoren -1,3,6 er parallell med linja.
Løsning
Vektoren er en retningsvektor for linja siden den er parallell med linja. Da blir en parameterframstilling for linja m
m:x=2-ty=3+3tz=6t
c) Linja n går gjennom punktene 7,-2,12 og 9,8,7.
Løsning
En retningsvektor for n er
9-7,8--2,7-12=1,10,132
En parameterframstilling for n er da
n:x=7+ty=-2+10tz=12+132t
d) x-aksen
Løsning
x-aksen går gjennom origo. En retningsvektor for x-aksen er e→x=1,0,0. En parameterframstilling xa for x-aksen er derfor
xa:x=ty=0z=0
e) Linja o ligger i xy-planet, går gjennom punktet 1,2,0 og danner vinkelen π4 med y-aksen.
Løsning
Her trenger vi ikke tenke i tre dimensjoner siden linja ligger i xy-planet. Når vinkelen med y-aksen er π4, betyr det at stigningstallet til linja enten er 1 eller -1. Det vil derfor være to mulige linjer som oppfyller disse kravene, se figuren nedenfor.
En retningsvektor for linja som går på skrå opp til høyre, kan vi finne ved å tenke at når vi går én enhet i positiv x-retning, øker y-verdien med 1. Dette tilsvarer vektoren 1,1,0 siden både x- og y-koordinaten øker med 1. Vektoren vil være en retningsvektor for linja, og en parameterframstilling for denne linja er derfor
l1:x=1+ty=2+tz=0
Tilsvarende betraktning med den andre linja gir oss retningsvektoren 1,-1,0. En parameterframstilling for denne linja er derfor
l2:x=1+ty=2-tz=0
f) Linja p gitt ved y=-3x+2
Løsning
Linja p tegner vi vanligvis i et todimensjonalt koordinatsystem, det vil si i xy-planet, som betyr at z=0. Vi får fra konstantleddet at linja går gjennom punktet 0,2,0. At stigningstallet er -3, betyr at når vi går én enhet i positiv x-retning, går vi tre enheter i negativ y-retning. Det betyr at en retningsvektor for linja er 1,-3,0. En parameterframstilling for linja p er
p:x=ty=2-3tz=0
4.2.2
a) Ei linje l går gjennom punktet P2,0,-3. Vektoren -1,4,2 er parallell med linja. Sett opp en parameterframstilling for linja.
Løsning
Vi har et punkt på linja og en retningsvektor for linja. Da kan vi sette opp parameterframstillingen
l:x=2-ty=4tz=-3+2t
b) Vis at linja l også går gjennom punktet Q1,4-1.
Løsning
Vi ser på x-koordinaten først og regner ut hva parameteren t er når x=1. Deretter tester vi at denne t-verdien gir riktig y- og z-koordinat.
1=2-t⇔t=2-1=1
y=4t=4·1=4z=-3+2t=-3+2·1=-1
Vi får riktig y- og z-koordinat, så linja l går også gjennom punktet Q1,4-1.
c) Tegn linja og de to punktene med en graftegner.
Løsning
Vi skriver
Kurve(2-t,4t,-3+2t,t,-2,5)
inn i algebrafeltet. Da får vi figuren nedenfor. Vi har valgt å la t gå fra -2 til 5.
4.2.3
a) Ei linje l går gjennom punktet S2,4,4. Vektoren 1,2,2 er parallell med linja. Sett opp en parameterframstilling for linja.
Løsning
l:x=2+ty=4+2tz=4+2t
b) Vis at linja l går gjennom origo.
Løsning
Vi setter x-koordinaten lik 0.
0=2+t⇔t=-2
Vi setter inn denne t-verdien i y- og z-koordinatene.
y=z=4+2·-2=4-4=0
Linja l går gjennom origo.
c) Finn en enklere parameterframstilling for linja l.
Løsning
Vi kan lage en enklere parameterframstilling med utgangspunkt i punktet origo. Parameterframstillingen for linja l blir da
l:x=ty=2tz=2t
d) Finn en parameterframstilling for linja ved å bruke en annen retningsvektor enn 1,2,2.
Løsning
Vi kan for eksempel multiplisere vektoren 1,2,2 med -12. Resultatet vil fortsatt være en retningsvektor for linja siden k·1,2,2 er parallell med 1,2,2. Vi får
-12·1,2,2=-12,-1,-1
En annen parameterframstilling for linja l blir
l:x=-t2y=-tz=-t
e) Tegn linja l og punktet S.
Løsning
4.2.4
a) Finn en parameterframstilling for linja m som går gjennomA-3,2,2 og B2,-3,-2.
Løsning
En retningsvektor for m vil være
AB→=2--3,-3-2,-2-2=5,-5,-4
En parameterframstilling for m blir derfor
m:x=-3+5ty=2-5tz=2-4t
b) Tegn linja og de to punktene.
Løsning
4.2.5
Ei linje er beskrevet med likningen
OP→=-2,0,-3+t·1,1,2
Skriv opp en parameterframstilling for linja.
Løsning
Vektoren -2,0,-3 er posisjonsvektoren til punktet -2,0,-3, som ligger på linja. Vektoren 1,1,2 er retningsvektor for linja. En parameterframstilling for linja er derfor
m:{x=-2+ty=tz=-3+2t
4.2.6
Gitt ei linje m på parameterform
m:{x=3+2ty=4+4tz=2+8t
Finn et uttrykk for t for hver av koordinatene. Bruk dette til å forklare hvorfor vi ikke kan beskrive linja m med én likning slik vi kan med linjer i to dimensjoner.
Løsning
Vi løser hver av koordinatlikningene med hensyn på t.
x=3+2t⇒t=x-32y=4+4t⇒t=y-44z=2+8t⇒t=z-28
Dette gir
x-32=y-44=z-28
Vi får ikke en likningsframstilling bestående av én likning. Vi får i stedet to (tre) likninger som til sammen kan betraktes som en likningsframstilling for linja. Det er derfor oftest hensiktsmessig å beskrive linjer i rommet på parameterform.
4.2.7
a) Tegn kurven
k:{x=-3+12ty=2+tz=2sint,t∈-2π,4π
Løsning
b) Skjærer kurven y-aksen?
Løsning
For at kurven skal skjære y-aksen, må vi kreve at x=0 og z=0. Den første likningen gir
-3+12t=012t=3t=6
z-koordinaten må være lik 0 for samme t-verdi.
2·sin6≠0
Kurven skjærer derfor ikke y-aksen.
c) Endre på parameterframstillingen slik at du får bølgemønsteret til å gå på skrå oppover fra xy-planet.
Løsning
Det er z-koordinaten som styrer hvordan kurven beveger seg i høyden dersom vi assosierer positiv z-retning som oppover. Hvis vi lar z-koordinaten få et lineært tillegg t, vil bølgemønsteret gå lineært oppover.
4.2.8
a) Vis ved å finne lengden av posisjonsvektoren OP→ der P er et punkt på kurven at kurven k gitt ved parameterframstillingen
k:{x=0y=2costz=2sint,t∈0,2π
er en sirkel med sentrum i origo.
Løsning
En sirkel med sentrum i origo vil ha en posisjonsvektor som har konstant lengde uansett verdi på t.
OP→=0,2cost,2sint
OP→=02+2cost2+2sint2=4cos2t+4sin2t=4cos2t+sin2t=2
b) En kurve m er gitt ved parameterframstillingen
m:{x=0y=acostz=2sint,t∈0,2π
Hvilke verdier kan a ha for at kurven skal være en sirkel med sentrum i origo?
Nedenfor er parameterframstillingen til mange fine kurver skrevet opp. Tegn kurvene. Drei på koordinatsystemet og se kurvene fra flere synsvinkler. Hvilken av kurvene synes du er finest? (Oppgaven er mest for moro skyld.)
a) Vivianis kurve k:{x=0y=3costz=2sint,t∈0,2π
(Dette er samme kurve som i 4.2.8 b) med a=3.)
b) Polynomisk knute k:{x=t3-3t+3y=t4-4t2+3z=15t5-2t+3,t∈-5,5
c) Trigonometrisk knute k:{x=cos2t·3+cos3ty=sin2t·3+cos3tz=sin3t,t∈0,2π
d) En annen trigonometrisk knute: Øk alle koeffisientene foran t i forrige oppgave med 1.