Partikkelen beveger seg en strekning på 314 m fra t=1 til t=4.
c) Finn fartsvektoren v→t til partikkelen.
Løsning
v→t=r→'t=3,1,-2
d) Hvor stor er banefarten etter 4 sekunder?
Løsning
Fartsvektoren er konstant siden den ikke varierer med t. Banefarten etter 4 sekunder (og til alle andre tider) er
v→t=3,1,-2=32+12+-22=9+1+4=14
Banefarten er 14m/s.
e) Hva er akselerasjonsvektoren a→t?
Løsning
Siden v→t er konstant, blir akselerasjonen 0. Det betyr at
a→t=0→=0,0,0
Kontroll av svarene med CAS
4.2.31
Løs oppgaven med CAS.
Bevegelsen til en partikkel følger banen gitt ved parameterframstillingen for kurven
k:x=2t3+3ty=4t-1z=2t2+4t,t≥0
der t måles i sekunder og lengder måles i mm.
a) Hvor er partikkelen når t=3?
b) Hvor langt har partikkelen flyttet seg fra t=1 til t=4?
c) Finn fartsvektoren v→t til partikkelen.
d) Hvor stor er banefarten etter 4 sekunder?
e) Hva er gjennomsnittsfarten fra t=1 til t=4?
f) Hva er akselerasjonsvektoren a→t?
Løsning
a) I linje 2 får vi at partikkelen er i punktet 63,11,30 når t=3.
b) I linje 3 får vi at partikkelen har flyttet seg en strekning på 32237mm fra t=1 til t=4.
c) I linje 4 får vi at v→t=6t2+3,4,4t+4.
d) I linje 5 får vi at banefarten etter 4 sekunder er 10217mm/s.
e) I linje 6 får vi at gjennomsnittsfarten er 2237mm/s. (Husk at gjennomsnittsfart er definert som ∆r→∆t.)
f) I linje 7 får vi at a→t=12t,0,4.
4.2.32
Figuren viser banen til en rakett som blir skutt opp. Raketten følger en bane gitt ved kurven k.
k:x=t+3y=2t+2z=2t2+2t,t≥0
t er tida målt i sekunder etter oppskytingstidspunktet. Vi måler x,y og z i meter. xy-planet er bakkenivå, og z-aksen peker loddrett oppover.
Løs flest mulig av oppgavene uten hjelpemidler.
a) Hvor starter raketten?
Løsning
Vi skriver først opp den vektorfunksjonen r→t som svarer til kurven k.
r→t=t+3,2t+2,2t2+2t
Vi finner startpunktet ved å regne ut r→0.
r→0=0+3,2·0+2,2·02+2·0=3,2,0
Raketten starter i punktet 3,2,0.
b) Hvor er raketten etter 10 sekunder?
Løsning
Her må vi regne ut r→10.
r→10=10+3,2·10+2,2·102+2·10=13,22,220
Raketten er i punktet 13,22,220.
c) Hvor høyt har raketten kommet etter 10 sekunder?
Løsning
Oppgaven spør etter z-koordinaten til r→10. Den fant vi i forrige oppgave. Raketten er 220 m over bakken etter 10 s.
d) Når er raketten 40 m over bakken?
Løsning
Vi må finne ut hvilken t-verdi som gjør at z=40. Dette gir
z=402t2+2t=40t2+t-20=0t-4t+5=0t=4∨t=-5
Siden vi ikke skal ha negative t-verdier i denne oppgaven, får vi at raketten er 40 m over bakken etter 4 s.
e) Hvor langt unna startpunktet er raketten etter 10 sekunder?
Løsning
Oppgaven spør etter absoluttverdien av forflytningen ∆r→ fra 0 til 10 sekunder, altså r→10-r→0. Vi får
r→10-r→0=13,22,220-3,2,0=10,20,220
Vi regner oppgaven med CAS.
Raketten er cirka 221 m unna startpunktet etter 10 s.
f) Hvorfor finner vi ikke svaret på forrige oppgave ved kun å regne ut r→10?
Løsning
Når vi regner ut r→10, finner vi hvor langt raketten er fra origo. Og den startet ikke der, men i punktet 3,2,0, som vi fant i oppgave a).
g) Finn fartsvektoren v→t til raketten.
Løsning
v→t=r→'t=1,2,2·2t+2=1,2,4t+2
h) Hva er banefarten til raketten 2 sekunder etter oppskytingen?
Løsning
Oppgaven spør etter v→2. Vi får
v→2=1,2,4·2+2=1,2,10=12+22+102=1+4+100=105
Banefarten til raketten 2 sekunder etter oppskyting er 105m/s≈10,3m/s.
i) Hva er akselerasjonsvektoren a→t?
Løsning
a→t=v→'t=0,0,4
j) Hvor stor er akselerasjonen etter 3 sekunder, og hvilken retning har akselerasjonsvektoren?
Løsning
Vi ser at akselerasjonsvektoren er konstant, og det er bare z-komponenten som er ulik 0. Det betyr at akselerasjonen er 4m/s2 rett oppover etter 3 s og til alle andre tidspunkter.
k) Forklar at raketten ikke går rett oppover etter 10 sekunder.
Hva er vinkelen mellom rakettbanen og z-aksen ved dette tidspunktet?
Løsning
Vi har at
v→t=1,2,4t+2
Hvis raketten skal gå rett oppover, må fartsvektoren være på formen 0,0,z. Det er den ikke for noen verdier av t.
Vi finner vinkelen med z-aksen ved å finne vinkelen mellom v→10 og enhetsvektoren ez→ i z-retning med CAS.
Vi får at vinkelen med positiv z-akse er bare 3,1 grader. Det betyr at raketten nesten går rett oppover. Dette stemmer med at x- og y-komponentene til v→10 er små sammenliknet med z-komponenten, som er 4·10+2=42.
l) Et 50 meter høyt tårn formet som et rett prisme står slik at hjørnet nærmest rakettoppskytingen ligger i punktet 100,100,0. Hvor nær kommer raketten tårnet på det nærmeste?
Tips til oppgaven
Bruk vektorregning med skalarproduktet til å finne den korteste avstanden mellom punktet og kurven.
Løsning
Oppgaven spør etter det vi har definert som avstanden mellom rakettbanen og punktet 100,100,50, som blir det punktet på tårnet som kommer nærmest rakettbanen. Da kan vi bruke den avstandsmetoden vi har kalt skalarproduktmetoden, som du kan lese om på teorisiden "Avstand punkt–linje. Vektorfunksjoner". Forskjellen er at vi ikke har én retningsvektor fordi kurven ikke er ei rett linje, men vi kan bruke metoden hvis vi kan finne en vektor som er parallell med tangenten til kurven i alle punkter. v→t=r→'t er en slik vektor. Da gjelder at det punktet P på kurven som er nærmest punktet A100,100,50, er der hvor AP→ står normalt på v→t.
Raketten kommer så nært tårnet som 128 m.
Vi kan også løse oppgaven ved å lage oss en funksjon av t for lengden av AP→ og finne ekstremalpunktene til denne.
m) Løs den forrige oppgaven ved å lage en funksjon for lengden av AP→ og finne den absolutte minimalverdien til denne funksjonen.
Løsning
Vi lager oss funksjonen dt for lengden av AP→. Vi bruker kommandoen "Ekstremalpunkt", og vi ser at vi får den samme løsningen som i forrige oppgave.
4.2.33
Gunhild liker å fly med droner. En av droneflyvningene hennes kan beskrives med en kurve k gitt ved
k:x=0,5ty=tz=0,5t2+0,5t,0≤t≤5
Vi måler x,y og z i meter, og parameter t måler tida i sekunder. xy-planet er bakkenivå, og z-aksen peker loddrett oppover.
Et rektangelformet hus står med tre av hjørnene i punktene 5,5,0,10,5,0 og 5,13,0.
a) Hva er koordinatene til det fjerde hjørnet?
Løsning
Det fjerde hjørnet må ha koordinatene 10,13,0.
b) Huset er 5 m høyt. Huseieren har sagt at Gunhild ikke får fly med dronen nærmere huset enn 4 m. Er kravet oppfylt i dette tilfellet?
Løsning
Dronen starter i origo og vil alltid etter starten befinne seg i et punkt der alle de tre koordinatene er positive. På bakkenivå vil det derfor være hjørnet 5,5,0 som kommer nærmest banen til dronen.
Siden x- og y-koordinatene til dronen øker med t, vil det tilsvarende hjørnet på toppen av huset komme nærmest banen. Siden høyden på huset er 5 m, vil dette hjørnet ha koordinatene 5,5,5. Vi må derfor finne den korteste avstanden mellom banen og dette punktet. Vi løser oppgaven med CAS.
Kravet til avstand 4 m er oppfylt.
c) Når har dronen størst fart, og hvor fort går den da?
Løsning
Vi får at uttrykket under rottegnet i linje 7 blir større jo større t er. Den største farten vil derfor dronen ha når t er størst mulig, det vil si når t=5.
Den største farten til dronen er 5,6m/s, og det er når t=5.
4.2.34
På teorisiden om fart og akselerasjon kom vi fram til at fartsvektoren v→t i alle punkter på en kurve r→t er parallell med tangenten til kurven i punktet. Hvordan blir dette hvis kurven er ei rett linje? Bruk den generelle rette linja gitt ved vektorfunksjonen
r→t=at+b,ct+d,et+f
når du forklarer. a,b,c,d,e og f er vilkårlige konstanter.
Løsning
Vi har at
v→t=r→'t=at+b,ct+d,et+f'=a,c,e
Dette er det samme som den retningsvektoren vi kan lese direkte ut fra uttrykket for r→t. Retningsvektoren er parallell med tangenten til linja i alle punkter siden ei rett linje er sin egen tangent.
Regelen om at fartsvektoren v→t i alle punkter på en kurve r→t er parallell med tangenten til kurven i punktet, gjelder derfor også når kurven er ei rett linje.
4.2.35
Du og en venn er ute og flyr med droner. Dronen din følger en bane gitt ved parameterframstillingen m, mens dronen til vennen din følger en bane gitt ved parameterframstillingen n:
m:x=2t-1y=t+1z=t+2,n:x=t+2y=2t+1z=t+3
a) Hvor stor fart har dronene?
Løsning
Vi kaller vektorfunksjonen for posisjonen til dronen din for v→mt. Vi får
v→mt=r→m't=2,1,1v→mt=22+12+12=4+1+1=6
Tilsvarende får vi for dronen til vennen din
v→nt=r→n't=1,2,1v→mt=12+22+12=1+4+1=6
Begge dronene går med en konstant fart på 6 m/s.
b) Hva er akselerasjonen til dronene?
Løsning
Siden farten til dronene er konstant, er akselerasjonen til begge dronene 0.
c) Krysser banene til dronene hverandre?
Løsning
m og n er to rette linjer siden alle koordinatene er førstegradsuttrykk. Vi løser oppgaven ved å beregne avstanden mellom de to linjene. Da må vi huske å bruke ulike parametre i vektorfunksjonene. Vi velger å bruke s i parameterframstillingen for n, lar P være et punkt på m, Q være et punkt på n og løser oppgaven med CAS.
Siden avstanden mellom linjene er null, krysser banen til dronene hverandre.
d) Forklar hvorfor dronene ikke nødvendigvis kolliderer selv om banene deres krysser hverandre.
Løsning
Vi fikk i forrige oppgave at dronen din er i skjæringspunktet når t=2. Dronen til vennen din var i punktet ett sekund tidligere (s=1). Da kolliderer ikke dronene (hvis de ikke er svært store).
e) Hvor nærme hverandre kommer dronene på det nærmeste?
Tips til oppgaven
Lag ein vektorfunksjon for avstanden mellom dronane ved tida t.
Løsning
Vi lar R være et punkt på m og S være et punkt på n ved tida t. Legg merke til at nå må vi bruke samme parameter i de to vektorfunksjonene for m og n siden vi skal følge posisjonen til dronene. Så lager vi en vektorfunksjon for vektoren mellom R og S. Lengden av denne vektorfunksjonen blir avstanden mellom dronene, og vi lager en funksjon ft som er lik denne lengden. Til slutt finner vi bunnpunktet til denne funksjonen.
I linje 10 velger vi et stort nok intervall for t til at vi får et svar. Så bruker vi dobbeltderiverttesten i linje 11 for å kontrollere at ekstremalpunktet er et bunnpunkt. (Her kan vi også se at argumentet til rotfunksjonen i f er et andregradsuttrykk med positiv koeffisient foran andregradsleddet. Andregradsuttrykket har derfor et bunnpunkt, og da må kvadratrota av dette også ha et bunnpunkt.)
Vi får at dronene er nærmest hverandre når t=1,5, og da er de 2,35 m fra hverandre.
f) Må vi kreve at banene krysser hverandre for at vi skal kunne bruke metoden i forrige oppgave til å finne ut når dronene er nærmest hverandre?
Løsning
Nei. Det er ingenting i framgangsmåten som krever at banene krysser hverandre. Selv om banene ikke krysser hverandre, vil de generelt på ett eller annet tidspunkt være nærmest hverandre.
4.2.36
Vi har gitt linjene
m:x=1+ty=1+2tz=1+3t,n:x=1+2ty=1+4tz=1+6t
a) Hvordan går linjene i forhold til hverandre?
Løsning
Vi ser at begge parameterframstillingene gir punktet 1,1,1 når t=0.
Retningsvektoren til m er v→m=1,2,3, og retningsvektoren til n er v→n=2,4,6. For at linjene skal være parallelle, må v→n=k·v→m. Dette er oppfylt for k=2 fordi
2·v→m=21,2,3=2,4,6=v→n
Linjene er derfor sammenfallende siden vi har vist at de er parallelle og har ett felles punkt.
b) Nå tenker vi oss at én partikkel har posisjon gitt ved parameterframstillingen til m, mens en annen partikkel har posisjon gitt ved parameterframstillingen til n. t måles i sekunder og posisjonen i meter.
Beveger de to partiklene seg likt siden de går langs samme linje?
Løsning
Partiklene er i punktet 1,1,1 samtidig. Det har vi fra oppgave a). Men partiklene beveger seg ikke likt. Dersom vi kaller vektorfunksjonen for posisjonen til den første partikkelen for r→mt og vektorfunksjonen for posisjonen til den andre partikkelen for r→nt, får vi at
Den andre partikkelen har beveget seg lenger i løpet av det ene sekundet. Den må derfor ha større fart enn den første. Dette ser vi også om vi finner fartsvektorene, som er de samme som retningsvektorene vi fant i oppgave a).
v→m=1,2,3 og v→n=2,4,6
Partiklene beveger seg ikke likt fordi de går med ulik fart. Men de følger samme bane.
4.2.37
Silje driver med friidrett og er best i spydkasting. Ett av kastene hennes følger banen gitt ved kurven k.
k:x=7ty=7tz=-t2+5t+2,t≥0
Spydet forlater kastarmen når t=0. t står for tid og måles i sekunder. Posisjonen måles i meter.
a) Hvor starter spydkastet?
Løsning
Oppgaven spør etter r→0 der r→t er vektorfunksjonen som tilsvarer parameterframstillingen. Vi får
r→t=7t,7t,5t-t2+2r→0=7·0,7·0,5·0-02+2=0,0,2
Spydkastet starter 2 m over origo.
b) Hvor fort går spydet når det forlater kastarmen?
Løsning
Oppgaven spør etter v→0. Vi løser oppgaven med CAS.
Farten til spydet er 11,1m/s når det forlater kastarmen.
c) Hvor høyt kommer spydet på det høyeste?
Løsning
z-koordinaten bestemmer høyden på spydkastet. zt er en andregradsfunksjon med negativ koeffisient foran andregradsleddet, så det vil finnes et toppunkt. Vi løser oppgaven med CAS.
Spydet er 8,25 m over bakken på det høyeste.
d) Hvor langt var spydkastet?
Løsning
Vi må finne ut når z-koordinaten er 0, for da er spydet nede på bakken. Så må vi finne ut hvor det er, og hvor langt det er til origo der kastlengden blir målt fra.
Kastet målte 53,18 m.
4.2.38
Oppgaven kan løses med hjelpemidler.
På en friidrettsbane er hver av svingene omtrent 100 meter i den innerste banen.
a) Hva blir radien til en slik sving dersom vi tenker oss at svingen er en del av en sirkel?
Løsning
En hel sirkel vil bestå av to slike svinger. Siden omkretsen til en sirkel er gitt ved O=2πr, får vi at radien r er
r=O2π=2·100m2π≈31,8m
b) Når du løper i en slik sving, kan vektorfunksjonen for posisjonen være gitt ved
r→t=31.8cosπt60,31.8sinπt60,0
sett ifra sentrum i sirkelen som svingen er en del av.
Hvor stor fart har du gjennom svingen?
Løsning
Vi må finne v→t.
Vi legger merke til at GeoGebra ikke klarer å forenkle uttrykket under rottegnet med enhetsformelen til 1. Farten din gjennom svingen er 5 m/s.
c) I hvilken retning peker akselerasjonsvektoren sett i forhold til sentrum i sirkelen?
Løsning
Vi må finne akselerasjonsvektoren a→t.
Vi legger merke til at x- og y-koordinatene til akselerasjonen har motsatt fortegn av koordinatene til r→t, men ellers er like bortsett fra konstanten foran de trigonometriske funksjonene. Matematisk kan vi derfor skrive
a→t=-k·r→t
der k er en positiv konstant. Det betyr at a→t peker i motsatt retning av r→t, det vil si inn mot sentrum i den sirkelformede banen.
4.2.39
Oppgaven kan løses med hjelpemidler.
En båt kjører i en sirkelformet bane på sjøen gitt ved
r→t=50cosπt30,50sinπt30,110sin2πt
Posisjonen måles i meter og parameteren t i sekunder.
a) Hvorfor er z-koordinaten også en sinusfunksjon, tror du?
Løsning
Sinusfunksjonen i z-koordinaten gjør at båten går litt opp og ned. Årsaken til det er trolig at det er bølger på sjøen.
b) Hvor stor er radien i den sirkelformede banen?
Løsning
Vi kan se bort ifra z-koordinaten, som ikke påvirker bevegelsen i vannrett retning. Da får vi
Både x- og y-koordinaten inneholder trigonometriske uttrykk med samme periode. Tida som brukes på en runde, er derfor lik denne perioden. Fra trigonometrikapittelet har vi at
p=2πk
I x- og y-koordinaten har vi at k=π30. Dette gir
p=2ππ30=60
Båten bruker 60 sekunder eller ett minutt på en runde.
d) Hva blir farten til båten ut ifra de to foregående oppgavene?
Løsning
Båten bruker 60 sekunder på en runde langs en sirkel med radius 50 meter. Vi får at
v=st=2π·50m60s=5,2m/s
e) Forklar hvorfor banefarten til båten ikke er lik svaret i forrige oppgave. Bestem banefarten til båten etter 30 s. Sammenlikn med svaret i forrige oppgave.
Løsning
I svaret i forrige oppgave tok vi ikke hensyn til at båten går litt opp og ned. Bevegelsen opp og ned fører til at banefarten varierer noe, den er ikke konstant.
Banefarten til båten etter 30 s er 5,3 m/s.
f) Når er banefarten størst, og hvor stor er den da?
Løsning
I linje 3 regner vi ut banefarten som funksjon av t. GeoGebra klarer ikke å slå sammen de to siste trigonometriske funksjonene med enhetsformelen, som gjør at de to siste leddene kan forenkles til 625. Derfor skriver vi inn funksjonen for banefart manuelt i linje 4.
Banefarten er størst når cosinusuttrykket er 1 eller -1, det vil si hver gang argumentet til cosinusfunksjonen er n·π der n er et helt tall. Banefarten er derfor størst når t=n2, det vil si hvert halve sekund. Se linje 5.
I linje 6 velger vi n=0 som gir at t=0, og regner ut den største banefarten til 5,3 m/s. Dette er det samme som vi regnet ut i oppgave e), siden tidspunktet t=30 tilsvarer n=60.
g) Er båten på toppen av en bølge, i bunnen av en bølge eller midt imellom når banefarten er størst?
Løsning
Vi setter uttrykket for tida når banefarten er størst inn i z-koordinaten til r→t.
zn2=110sin2π·n2=110sinnπ=110·0=0
Banefarten er størst midt imellom bølgetopp og bølgebunn. Vi har at når n øker med 1, kommer vi til neste nullpunkt til sinusfunksjonen. Derfor vil banefarten være størst både når båten er på vei opp og på vei ned.
Kommentar: I virkeligheten vil nok båten gå raskere på vei ned i en bølgedal enn på vei opp mot en bølgetopp.
h) Når er akselerasjonen størst, og hvor er båten i forhold til bølgene da?
Løsning
Vi gjør tilsvarende som i de to forrige oppgavene.
Heller ikke her vil GeoGebra forenkle det trigonometriske uttrykket for akselerasjonen i linje 7, så vi skriver inn akselerasjonsfunksjonen manuelt i linje 8. Vi får at akselerasjonen er størst når sinusuttrykket er 1 eller -1. Det tilsvarer når t=n2+14, det vil si midt imellom hvert tidspunkt der banefarten er størst. Da er båten enten på toppen av en bølge eller i bunnen av en bølgedal.