Njuike sisdollui
Bargobihttá

Skjæring og vinkel mellom to plan

Her kan du øve på å finne skjæringslinja og vinkelen mellom to plan.

4.2.60

a) Finn skjæringslinja og vinkelen mellom xy-planet og yz-planet uten å regne.

Løsning

xy-planet og yz-planet skjærer hverandre i y-aksen. Planene står normalt på hverandre siden alle koordinatplanene gjør det.

b) Kontroller svaret i oppgave a) ved å regne uten hjelpemidler. Skriv til slutt opp parameterframstillingen for linja.

Løsning

Likningen for xy-planet er z=0, og planet har normalvektoren nxy=ez=0,0,1. Likningen for yz-planet er x=0, og planet har normalvektoren nyz=ex=1,0,0. En retningsvektor for skjæringslinja blir

v = nxy×nyz= 0,0,1×1,0,0= 0·0-0·1,1·1-0·0,0·0-1·0= 0,1,0(= ey)

For å finne et punkt på linja velger vi y=0. De to planlikningene krever at x=z=0. Origo er derfor et punkt på skjæringslinja. En parameterframstilling for linja er derfor

l:x=0y=tz=0

Vi finner vinkelen w mellom planene ved å finne skalarproduktet mellom nxy og nyz.

cosw = nxy·nyznα·nβ= 0,0,1·1,0,00,0,1·1,0,0= 0·1+0+0·0+1·002+02+12·12+02+02= 01= 0w = π2        w=2π-π2

Vinkelen mellom planene er π2.

4.2.61

Finn en parameterframstilling for skjæringslinja mellom planene hvis den eksisterer. Finn også vinkelen mellom planene. Løs oppgavene uten hjelpemidler.

a) α: x+y-3=0,   β:x+z-1=0

Løsning

Det kan være lurt å starte med å finne vinkelen mellom planene i tilfelle planene er parallelle.

Normalvektorene til planene er

nα=1,1,0,  nβ=1,0,1

Vinkelen w mellom planene er det samme som vinkelen mellom normalvektorene. Fra formelen for skalarproduktet får vi

cosw = nα·nβnα·nβ= 1,1,0·1,0,11,1,0·1,0,1= 1·1+1·0+0·112+12+02·12+02+12= 12·2= 12w = π3        w=2π-π3

En retningsvektor v for skjæringslinja l er

v = nα×nβ= 1,1,0×1,0,1= 1·1-0·0,0·1-1·1,1·0-1·1= 1,-1,-1

For å finne et punkt på linja starter vi med å velge x=0. Den første planlikningen gir da

0+y-3 = 0y = 3

Den andre planlikningen gir

0+z-1 = 0z = 1

Et punkt på linja er derfor 0,3,1. En parameterframstilling for skjæringslinja l mellom planene blir

l:x=ty=3-tz=1-t

b) α: 3x+2y+2z-1=0,  β: -6x-4y-4z+5=0

Løsning

Normalvektorene til planene er

nα=3,2,2,  nβ=-6,-4,-4=-23,2,2=-2nα

Normalvektorene til planene er parallelle, så vinkelen mellom planene er 0. Hvis vi multipliserer planlikningen til α med -2, får vi

-23x+2y+2z-1 = -2·0-6x-4y-4z+2 = 0

Planlikningene er like med unntak av de konstante leddene. Det betyr at planene er parallelle, men ikke sammenfallende. De har derfor ingen skjæringslinje.

c) α: x+2y+2z-5=0,  β: x+z-3=0

Løsning

Normalvektorene til planene er

nα=1,2,2,  nβ=1,0,1

Vinkelen w mellom planene blir

cosw = nα·nβnα·nβ= 1,2,2·1,0,11,2,2·1,0,1= 1·1+2·0+2·112+22+22·12+02+12= 39·2= 12= 122w = π4        w=2π-π4

En retningsvektor v for skjæringslinja l er

v = nα×nβ= 1,2,2×1,0,1= 2·1-0·2,2·1-1·1,1·0-1·2= 2-0,2-1,0-2= 2,1,-2

For å finne et punkt på linja starter vi med å velge x=0. Den første planlikningen gir da

0+2y+2z-5 = 02y = 5-2zy =52-z

Den andre planlikningen gir

0+z-3 = 0z = 3

Da kan vi regne ut y:

y=52-z=52-3=52-62=-12

Et punkt på linja er derfor 0,-12,3. En parameterframstilling for skjæringslinja l mellom planene blir

l:x=2ty=-12+tz=3-2t

d) α: -x+3y-4z-4=0,  β: 3x-9y+12z+12=0

Løsning

Som i oppgave a) observerer vi at normalvektorene til planene er parallelle. Hvis vi multipliserer planlikningen til α med -3, får vi

-3-x+3y-4z-4 = -3·03x-9y+12z+12 = 0

Planlikningene er like. Det betyr at α og β er samme plan. De har derfor ingen skjæringslinje, og vinkelen mellom planene er 0.

4.2.62

Finn skjæringslinja og vinkelen mellom planene med CAS.

a) α: -x-3y+2z+8=0,  β: x+3y+2z-2=0

Løsning

Vi får at en parameterframstilling for skjæringslinja er

l:x=-3ty=53+tz=-32

Vinkelen mellom planene er 1,13.

b) α: -5x+10y+6z+2=0,  β: x-5y-3z-4=0

Løsning

Her får vi ingen løsning i linje 9 dersom vi lager likningssettet ved å sette x=0 i linje 7 og 8. Vi har derfor valgt å sette y=0.

Vi får at en parameterframstilling for skjæringslinja er

l:x=-2y=-3tz=-2+5t

Vinkelen mellom planene er 0,24.

c) α: 2x-y+3z+3=0,  β: -x+3y+2z+1=0

Løsning

Vi får at en parameterframstilling for skjæringslinja er

l:x=-37-11ty=-7tz=-57+5t

Vinkelen mellom planene er 1,5.

4.2.63

a) Hvordan ser skjæringen mellom tre plan ut?

Løsning

Skjæringen mellom tre plan må være punkter som ligger i alle tre planene. De tre planlikningene utgjør et likningssett av tre likninger med tre ukjente der løsningen er disse punktene. Løsningen vil være ett punkt dersom ingen av planene er parallelle med hverandre.

b) Vi har tre plan gitt ved

α: 2x-y+3z+3 = 0
β: -x+3y+2z+1 = 0
δ: 3x-2y-z-1 = 0

Finn skjæringen mellom de tre planene.

Løsning

De tre planlikningene utgjør et likningssett med tre ukjente. Vi løser likningssettet med CAS.

De tre planene skjærer hverandre i punktet 724,1124,-2524.

4.2.64

Planene α og β er gitt ved

α: 2x+3y-2z+4=0,  β: ax-y-2z-4=0

der a er en konstant.

Bestem a slik at skjæringslinja l mellom planene kan skrives som

l:x=ty=-2z=-1+t

Løsning

Vi starter med å skrive inn de to planene. Så definerer vi vektorproduktet av normalvektorene som en funksjon av va i linje 3. I linje 4 krever vi at va er parallell med retningsvektoren 1,0,1, som vi leser ut av parameterframstillingen til l. Da får vi løsningen a=2. Vi må sjekke at punktet 0,-2,-1, som vi leser ut av parameterframstillingen på linja, ligger i begge planene. Det gjør vi på linje 5 og 6, og punktet ligger i begge planene.