Modellering med ukjend funksjonen
FM-30
a) Vi skal lage ei eske utan lokk av ei rektangelforma papplate med sider 50 cm og 40 cm. Vi gjer dette ved å klippe ut eit kvadrat i kvart hjørne. Deretter brettar vi opp kantane og får ei eske med høgde lik sidekanten av kvadratet vi klipte bort. Sjå figuren nedanfor.
Vi ønskjer at volumet av eska skal bli så stort som mogleg. Kor stor er sidekanten i dei kvadrata vi klipper bort då?
Tips til oppgåva
Jo større kvadrat vi klipper bort, jo høgare blir eska, men desto mindre blir eskebotnen. Kall sidekanten i kvadrata for , og lag ein funksjon
Merk: Kva verdiar kan
Løysing
Når vi klipper bort kvadrat med sidekant lik
Vi finn volumet ved å multiplisere arealet av eskebotnen med høgda av eska, som er
Merk at vi ikkje kan bruke løysinga
Eska får altså størst volum når vi klipper bort kvadrat med sidekant 7,36 cm, og då er volumet av eska 6 564 cm3 eller 6,6 dm3.
b) Gjenta oppgåve a), men no med utgangspunkt i ei papplate med sider 60 cm og 30 cm (som har den same omkrinsen som papplata i a)). Kva slags form trur du papplata må ha for at volumet av eska skal bli størst mogleg når omkrinsen av papplata du startar med, skal vere fast?
Delvis fasit
Eska får størst volum når vi klipper bort kvadrat med sidekant 6,34 cm, og då er volumet av eska 5 196 cm3 eller 5,2 dm3.
Dette volumet er mindre enn volumet på eska i oppgåve a). Det kan sjå ut som at det største moglege volumet aukar jo meir like sidene i papplata er.
c) Gjennomfør utrekningane på nytt med ei papplate med like store sidekantar (og den same omkrinsen som før).
Fasit og kommentar
Papplata blir no eit kvadrat med sidekantar med lengde 45 cm.
Ved å gjere dei same utrekningane i CAS som før får vi at volumet av eska er størst om det blir klipt bort kvadrat med sidekant 7,5 cm. Då blir volumet 6 750 cm3 eller 6,75 dm3.
Merk at vi har ikkje bevist at det er papplata i oppgåve c) som gir størst eskevolum når omkrinsen på papplata ikkje blir endra.
d) Gjenta oppgåve a), men no med utgangspunkt i ei kvadratisk papplate med sidekant
Løysing
Merk at vi ikkje kan bruke løysinga
Volumet av eska blir størst dersom vi klipper bort kvadrat som er ein seksdel av heile sida på papplata, og då blir volumet
Kontroller at desse resultata stemmer med utrekningane i oppgåve c).
Merk òg at dette heller ikkje er bevis åleine på at det blir størst volum på eska dersom papplata med ein gitt omkrins er kvadratisk.
e) Utfordring
Vi skal no prøve å finne ut om det faktisk blir størst volum på eska når papplata med ein gitt omkrins er kvadratisk.
Ta utgangspunkt i ei rektangulær papplate med ein omkrins
Finn eit uttrykk for volumet av eska, og bruk derivasjon til å vise at volumet blir størst når papplata med omkrins
Løysing
I linje 1 skriv vi opp formelen for omkrinsen til eit rektangel der lengda er
Vi er no interesserte i å sjå korleis volumet endrar seg når vi endrar på
f) Utfordring
Finn eit uttrykk for det største volumet eska kan ha når omkrinsen til papplata er
Løysing
I linje 5 lagar vi ein ny funksjon
FM-31
Tabellen viser observert vasstand på Tregde 1. februar 2008. Observert vasstand er i cm over middelvatn (middel vasstand). I tabellen er
0 | |
2 | |
4 | |
6 | |
8 | |
10 | |
12 |
a) Bruk eit digitalt hjelpemiddel, og finn det tredjegradsuttrykket som passar best med verdiane i tabellen.
Løysing
Vi legg punkta inn i reknearkdelen i GeoGebra og vel "Regresjonsanalyse" og polynom av grad 3 som regresjonsmodell.
Vi finn at vi kan beskrive funksjonen
Vi ser at grafen treffer godt med dei observerte verdiane. Merk at vasstanden var spesielt låg denne dagen sidan det ikkje vart målt verdiar over middelvatn.
b) Bruk mellom anna derivasjon til å gi ei skildring av vasstanden denne dagen.
Løysing
Vi må finne ut når vasstanden var høgast og lågast, og når vasstanden steig og sokk raskast. Vi kopierer resultatet frå regresjonsanalysevindauget over til grafikkfeltet. Då slepp vi å skrive inn funksjonen på nytt i CAS-vindauget.
Vi får av linje 1, 2, 3 og 6 at vasstanden var lågast cirka klokka kvart over 2 på natta. Då var vasstanden 13,3 cm under middelvatn. Vasstanden var høgast rett før klokka halv 10 på formiddagen, og då var han 1,1 cm under middelvatn. Frå linje 3, 4, 5 og 7 har vi at grafen til
Kommentar: Merk at sidan vi har rekna ut to verdiar for den dobbeltderiverte i linje 3 på kvar si side av nullpunktet til den dobbeltderiverte, har vi det vi treng for å avgjere om nullpunktet er
Vi ser at grafen er lågare enn botnpunktet dersom vi ser på tidsrommet etter klokka 13, men vi veit eigentleg ikkje kor lågt det går eller kor langt ut i tid modellen gjeld. Vi kan i alle fall seie at mellom midnatt og klokka 12 var den lågaste vasstanden minus 13,4 cm under middels vasstand, og det var klokka 02.15 på natta.
c) Ein større båt skal leggje til kai i nærleiken av Tregde. Båten kan ikkje kome inn til kaia dersom vasstanden er lågare enn 10 cm under middel vasstand. I kva tidsrom kan båten gå inn til kaia?
Løysing
Vi må sjå der grafen har verdiar over
d) Vurder gyldigheita til modellen lengre fram i tid.
Løysing
Vi sjekkar kva verdi vi får 24 timar etter midnatt.
1 døgn (24 timar) etter midnatt viser modellen eit avvik på -360 cm frå middel vasstand. Det er urealistisk, så modellen er ikkje gyldig fram i tid.
Til slutt skal du løyse oppgåve a), b) og c) med Python og teikne grafen inkludert ekstremalpunkta, vendepunkt og punkt som markerer grensene for når den store båten kan gå inn til kaia. Vi tek det stegvis:
e) Skriv koden til ein eigendefinert funksjon h
som skal brukast til regresjonen med "curve_fit" på tilsvarande måte som den eigendefinerte funksjonen modell
på sida Eksponentialfunksjonen som modell. Regresjon.
Tips til oppgåva
Vi ønsker å finne den tredjegradsfunksjonen som passar best til målingane. Korleis ser den generelle tredjegradsfunksjonen ut?
Løysing
Den generelle tredjegradsfunksjonen kan skrivast som
Den eigendefinerte funksjonen må innehalde dei fire ubestemde konstantane i tillegg til
def h(x,a,b,c,d):
return a*x**3 + b*x**2 + c*x + d
f) Lag eigendefinerte funksjonar dh
og ddh
som bereknar verdiar for den deriverte og den dobbeltderiverte funksjonen.
Tips til oppgåva
Bruk desse tilnærmingane for å gjere berekningar av den deriverte og den dobbeltderiverte:
I tilnærmingane kan du sette
Løysing
Forslag til kode:
Legg merke til at vi i tillegg til x
må ha med dei fire konstantane a
, b
, c
og d
som parametrar i funksjonane siden vi ikkje veit kva dei er før sjølve regresjonen er utført.
g) Skriv ferdig koden som løyser oppgåve a), b) og c) med Python. Hugs å få med kode som teiknar grafen inkludert ekstremalpunkta og vendepunktet.
Tips til oppgåva
Sjå òg koden i oppgåve 3.1.40 b) på sida Analyse av funksjonar – omgrep.
Løsning
Forslag til kode:
Vi får denne utskrifta:
"Funksjonen blir h(x) = -0.066x^3 +1.15x^2 -4.19x -8.95.
Funksjonen har eit botnpunkt i (2.24, -13.28).
Funksjonen har eit toppunkt i (9.42, -1.08).
Funksjonen har vendepunkt i (5.83, -7.18).
Då endrar vasstanden seg med 2.55 cm/time.
Vasstanden er på -10 når x = 0.27.
Vasstanden er på -10 når x = 4.69."
Får du ein graf lik den i oppgåve b)?
Kommentarar til koden:
I linje 29 har vi lagt til ein
+
i formateringskoden til utskrifta. Plussteiknet tvingar Python til å ta med forteiknet til variabelen anten det er pluss eller minus. På denne måten blir det alltid rett teikn mellom ledda i utskrifta av funksjonsuttrykket.I linje 41 har vi brukt metoden
lower()
for å få små bokstavar på punkttypen i setninga som skal skrivast ut. (Vi har sett stor forbokstav på verdiane tilpunkttype
fordi vi vil ha det i forklaringa i grafbiletet.)
FM-32
Tabellen viser temperatursvingingane gjennom eit flott sommardøgn i Mandal. Temperaturen
0 | 19 |
1 | 17 |
4 | 15 |
7 | 17 |
9 | 19 |
10 | 21 |
12 | 25 |
13 | 26 |
15 | 27 |
17 | 26 |
20 | 24 |
22 | 22 |
24 | 18 |
a) Kva for ein matematisk modell trur du kan passe med desse punkta?
Løysing
Vi legg punkta inn i reknearkdelen i GeoGebra, vel "Regresjonsanalyse" og observerer punkta i regresjonsanalysevindauget. Punkta ser ut omtrent som på figuren nedanfor. Då kan ein tredjegradsfunksjon passe.
b) Finn ein matematisk modell som beskriv temperaturen i Mandal dette døgnet.
Løysing
I regresjonsanalyseverktøyet vel vi polynom med grad 3 som regresjonsmodell.
Vi finn at tredjegradsfunksjonen
passar godt som modell for temperaturutviklinga.
Vi observerer at modellen passar best fram til klokka 15. Så søkk den målte temperaturen litt raskare enn det modellen legg opp til.
c) Vurder gyldigheita til modellen du fann ovanfor når vi lèt tida
Løysing
Modellen vi fann, beskriv temperaturen dei første 24 timane etter midnatt på ein god måte. Utover 24 timar er modellen ubrukeleg. Etter 24 timar vil temperaturen ifølgje modellen stadig gå nedover.
d) Når endra temperaturen seg raskast etter modellen dersom vi held oss til dette døgnet?
Løysing
Vi må leite etter eventuelle vendepunkt på grafen til
I linje 3 og 4 får vi stadfesta at løysinga
Sidan det ikkje er fleire vendepunkt på grafen til
e) Bruk programmet i oppgåve FM-31 som utgangspunkt til å svare på oppgåvene b) og d). Teikn grafen til
Løsning
Vi tek utgangspunkt i programmet i oppgåve FM-31.
Forslag til kode:
Programmet gir denne utskrifta:
"Funksjonen blir T(x) = -0.008x^3 +0.26x^2 -1.50x +18.31.
Funksjonen har vendepunkt i (10.39, 21.48).
Då endra temperaturen seg med 1.21 gradar/time.
Kl. 00.00 endra temperaturen seg med -1.50 gradar/time.
Kl. 24.00 endra temperaturen seg med -3.43 gradar/time."
FM-33
Tabellen viser temperaturen i eit kjøleskap dei første timane etter eit straumbrot.
Talet på timar etter straumbrotet | Temperatur i °C |
---|---|
0 | 4,0 |
4 | 4,4 |
8 | 6,0 |
12 | 8,9 |
16 | 12,5 |
20 | 17,9 |
a) Bruk eit digitalt verktøy til å finne den eksponentialfunksjonen som passar best med tala i tabellen. La
Løysing
Vi skriv tala inn i reknearkdelen i GeoGebra, markerer dei og vel verktøyet "Regresjonsanalyse" og modellen "Eksponentiell 2" (vi kan òg velje "Eksponentiell"). Så kopierer vi grafen og punkta til grafikkfeltet.
Den eksponentielle funksjonen som passar best med punkta er
Vi ser at grafen passar godt til punkta.
b) Vurder gyldigheita til modellen framover i tid. Grunngi svaret ditt.
Løysing
Modellen vil gi ein høgare og høgare temperatur i kjøleskapet. I verkelegheita vil temperaturen i kjøleskapet nærme seg temperaturen i rommet der kjøleskapet står. Modellen vår er nok ikkje gyldig noko særleg lenger enn cirka 1 døgn etter straumbrotet.
c) Forklar kvifor ein logistisk modell vil vere meir realistisk enn ein eksponentiell modell på temperaturutviklinga i kjøleskapet.
Løysing
I ein logistisk modell går funksjonen mot ein fast verdi i staden for å vekse over alle grenser. Det passar betre med at temperaturen i kjøleskapet vil nærme seg meir og meir romtemperaturen sidan tida går.
La oss no gå ut frå at vi får greie på at temperaturen i kjøleskapet etter 22 timar er 20,0°C, etter 26 timar er han 21,2°C, og etter 30 timar er temperaturen i kjøleskapet 21,5°C.
d) Bruk eit digitalt verktøy til å finne den logistiske funksjonen som passar best med opplysningane du no har fått saman med det du veit frå tidlegare. Plott punkta og teikn grafen til uttrykket du finn.
Løysing
Vi skriv tala inn nedanfor dei tala vi alt har i reknearkdelen i GeoGebra, markerer alle tala og vel verktøyet "Regresjonsanalyse" og modellen "Logistisk". Så kopierer vi grafen og punkta til grafikkfeltet.
Den logistiske funksjonen som passar best med alle punkta, er
Vi ser at grafen passar relativt godt med punkta.
e) Vurder gyldigheita til denne modellen framover i tid. Grunngi svaret ditt.
Løysing
Brøken
f) Når steig temperaturen mest, og kor mykje steig han då?
Løysing
Vi må leite etter eventuelle vendepunkt på grafen til
I linje 3 og 4 kontrollerer vi at løysinga i linje 2 er
FM-34
Sol Sikke ville finne ut korleis ei solsikke i hagen vaks frå veke til veke. Ho målte høgda til solsikka kvar veke i 8 veker. Dei observerte verdiane ser du i tabellen nedanfor.
Veke | Høgde i cm |
---|---|
1 | 16 |
2 | 20 |
3 | 27 |
4 | 40 |
5 | 56 |
6 | 68 |
7 | 107 |
8 | 140 |
a) Plott punkta i eit koordinatsystem, og finn eit funksjonsuttrykk
Løysing
Vi skriv tala inn i reknearkdelen i GeoGebra, markerer dei og vel verktøyet "Regresjonsanalyse". Det ser ut som kurva gjennom punkta stig meir og meir. Her vil det vere naturleg å prøve med eksponentiell regresjon. Vi vel modellen "Eksponentiell 2" og ser at han passar ganske godt med punkta.
Den eksponentielle funksjonen som passar best med punkta er
b) Vurder gyldigheita til modellen du fann i a).
Løysing
Det vil vere naturleg at veksten til solsikka vil minke og etter kvart stoppe heilt opp. Då kan vi ikkje bruke det same funksjonsuttrykket, sidan eksponentialfunksjonen vil vekse over alle grenser når
Sol Sikke heldt fram med å måle solsikka si i 4 veker til. Høgdene ser du i tabellen nedanfor.
Veke | Høgde i cm |
---|---|
1 | 16 |
2 | 20 |
3 | 27 |
4 | 40 |
5 | 56 |
6 | 68 |
7 | 107 |
8 | 140 |
9 | 145 |
10 | 148 |
11 | 149 |
12 | 149 |
c) Finn eit funksjonsuttrykk
Løysing
Vi skriv dei nye tala inn under tala frå oppgåve a) i reknearkdelen i GeoGebra, og så vel vi "Regresjonsanalyse". Sidan veksten til solsikka stoppar opp, prøver vi med logistisk modell.
Vi ser at ein logistisk modell passar godt med punkta. Den logistiske modellen som passar best med punkta, er
d) Marker datamaterialet frå tabellen ovanfor som punkt i eit koordinatsystem. Teikn grafen til den logistiske funksjonen du fann i c) i det same koordinatsystemet.
Løysing
I regresjonsanalyseverktøyet vel vi "Kopier til grafikkfeltet".
e) Kva betyr talet i teljaren i
Løysing
Her betyr talet i teljaren den maksimale høgda solsikka får etter modellen, som er 159 cm.
f) Vurder gyldigheita til modellen du fann i c).
Løysing
Denne modellen treffer ikkje like godt som modellen i a) dei første 8 vekene. Etter veke 8, når veksten flatar ut, passar modellen i c) bra dei neste 4 vekene, men det er uvisst om solsikka blir så høg som 159 cm. Totalt sett kan vi vel likevel seie at den logistiske modellen passar best.
Solsikka vil etter kvart visne, så modellen vil ikkje vere gyldig veldig langt fram i tid.
g) Når vaks solsikka raskast etter modellen i c), og kor raskt vaks ho då?
Løysing
Vi må leite etter eventuelle vendepunkt på grafen til
I linje 3 og 4 kontrollerer vi at løysinga i linje 2 er
FM-35
I februar 2020 vart det for første gong registrert nordmenn med koronasmitte. Nedanfor kan du laste ned eit GeoGebra-ark med tala for det samla talet på smitta nordmenn til og med mars 2021. Tala er henta frå Folkehelseinstituttet sine nettsider.
Filer
a) Prøv deg fram med ulike matematiske modellar, og finn nokre som passar med tala. Vurder spesielt om ein logistisk modell kan brukast.
b) Ta med nyare tal for det samla talet på smitta nordmenn, sjå Folkehelseinstituttet sin statistikk over koronavirus med potensial for utbrot. Kva modell(ar) er mest aktuell(e) å bruke no?
Kjelde
Folkehelseinstituttet. (2024, 4. januar). Ukerapporter om covid-19, influensa og andre luftveisinfeksjoner. Henta 9. januar 2024 frå https://www.fhi.no/publ/statusrapporter/luftveisinfeksjoner/#alle-ukerapporter-2020-2023