Grensekostnad og grenseinntekt

Grensekostnaden når produksjonen ligg på 500, er det same som $$ K^{\text{'}}\left(500\right)$$. Dette fortel oss kva det vil koste å produsere nøyaktig eitt par hanskar til.

$$ \begin{array}{rcl}{K}^{\text{'}}\left(x\right) & =& 0,4·2x+300\\ & =& 0,8x+300\\ K^{\text{'}}\left(500\right) & =& 0,8·500+300\\ & =& 700\end{array}$$

Grensekostnaden når produksjonen aukar frå 500 til 501, er 700 kroner.

Inntekta blir pris multiplisert med talet på selde hanskar. Vi går ut ifrå at alt blir selt.

Eit uttrykk for inntekta blir

$$ I\left(x\right)=860x$$

Grenseinntekta blir

$$ I^{\text{'}}\left(x\right)=860$$

Grenseinntekta er 860 kroner, uansett kor mange hanskar som blir produserte og selde.

Grenseinntekta ved ein produksjonsauke frå 500 til 501 er 860 kroner. Grensekostnaden rekna vi ut til 700 kroner i oppgåve a). Sidan grenseinntekta er større enn grensekostnaden, vil det lønne seg å auke produksjonen frå 500 hanskar til 501 hanskar.

Overskotet er størst når grensekostnaden er lik grenseinntekta.

$$ \begin{array}{rcl}{K}^{\text{'}}\left(x\right) & =& I^{\text{'}}\left(x\right)\\ 0,8x+300 & =& 860\\ 0,8x & =& 560\\ x & =& 700\end{array}$$

Vi veit at dette gir produksjonen med størst overskot sidan vi veit frå oppgåve c) at $$ I^{\text{'}}\left(500\right)>K^{\text{'}}\left(500\right)$$. Ved ein produksjon på 700 hanskar har bedrifta størst overskot.

Vi set $$ K\left(x\right)=I\left(x\right)$$ og løyser oppgåva med CAS.

Ved ein produksjon på 6 stolar eller 85 stolar vil inntektene og kostnadene vere omtrent like store.

Vi må sjekke om grenseinntekta $$ I^{\text{'}}\left(50\right)$$ er større enn grensekostnaden $$ K^{\text{'}}\left(50\right)$$.

Grensekostnaden er vesentleg høgare enn grenseinntekta når produksjonen ligg på 50 stolar per dag. Då taper bedrifta på å auke produksjonen med 1 stol. Det vil derfor ikkje lønne seg å auke produksjonen når han ligg på dette nivået.

Vi set grenseinntekta lik grensekostnaden.

Opne bilete i eit nytt vindauge

CC BY-SA

Bilete: Bjarne Skurdal

For å vere på den sikre sida sjekkar vi i linje 8 at overskotet er størst ved 47 einingar, ikkje ved 46. Vi veit at dette gir produksjonen med størst overskot sidan vi veit frå oppgåve b) at $$ I^{\text{'}}\left(50\right)<K^{\text{'}}\left(50\right)$$ og vi ikkje fekk nokon andre løysingar i intervallet $$ \left[0,100\right]$$. Overskotet er størst ved 47 produserte einingar, og då er overskotet per dag 10 108 kroner.

Inntektene finn vi ved å ta salsprisen på vara multiplisert med talet på einingar av vara som blir selde.

$$ \begin{array}{rcl}I\left(x\right) & =& P\left(x\right)·x\\ & =& \left(300-0,1x\right)x\\ & =& -0,1x^2+300x\end{array}$$

Vi skriv inn uttrykka for dei to funksjonane i algebrafeltet ved hjelp av kommandoen "Funksjon".

Vi vel å løyse oppgåva grafisk. Vi bruker verktøyet "Skjering mellom to objekt" eller kommandoen "Skjering" for å finne skjeringspunkta mellom grafane. Skjeringspunkta er punkta der inntekta er lik kostnadene.

Grafane viser at inntektene er større enn kostnadene når talet på selde einingar ligg mellom 78 og 855.

Vi får at bedrifta går med overskot dersom produksjonen per veke ligg mellom 78 og 855 einingar.

Vi set grensekostnaden lik grenseinntekta og løyser oppgåva med CAS.

Overskotet blir størst når det blir produsert 467 einingar per veke. Vi ser av grafen at det ser riktig ut. Det største moglege overskotet er 45 333 kroner.

Vi må rekne ut $$ P\left(467\right)$$.

$$ P\left(467\right)=300-0,1·467=300-46,70=253,30$$

Prisen på vara skal vere 253,30 kroner for at overskotet skal bli størst mogleg.

$$ g_K$$ og $$ g_I$$ er tangentar til høvesvis grafen til kostnadsfunksjonen og grafen til inntektsfunksjonen ved den same produksjonsmengda. Stigningstala til tangentane vil derfor vere grensekostnaden og grenseinntekta ved den aktuelle produksjonen, som kan styrast med glidaren.

Vi har frå teorisida at det største overskotet finn vi når grenseinntekta er lik grensekostnaden. Det betyr at vi må finne den $$ x$$-verdien som gjer at dei to tangentane er parallelle. Det skjer når $$ x\approx 467$$, som vi visste frå før.

Vi skriv inn funksjonsuttrykket i CAS i GeoGebra og spesifiserer område for $$ x$$. (Vi kunne òg ha brukt kommandoen "Funksjon".) Så finn vi nullpunktet til den deriverte.

Vi veit at løysinga i linje 3 gir eit toppunkt på inntektsfunksjonen sidan koeffisienten framfor andregradsleddet til $$ I$$ er negativ.

Den største inntekta bedrifta kan få, er 1 375 000 kroner, og dette oppnår dei ved produksjon og sal av 25 einingar.

Vi finn funksjonsuttrykk for grensekostnadene ved å derivere kostnadsfunksjonane.

$$ \begin{array}{rcl}{K_A}^{\text{'}}\left(x\right) & =& 3,1·2x-86=6,2x-86\\ {K_B}^{\text{'}}\left(x\right) & =& 1,9·2x-99=3,8x-99\end{array}$$

Vi skriv inn kostnadsfunksjonane i CAS i GeoGebra og finn toppunkta ved hjelp av grensekostnadene (dei deriverte av kostnadsfunksjonane).

Vi veit at når grensekostnadene er 0, har begge funksjonane eit botnpunkt sidan koeffisientane framfor andregradsledda er positive.

Vi får at utstyrstype A kan gi den lågaste kostnaden på 513 600 kroner. Då må det produserast 14 einingar.

Vi må finne ut kva for ein av utstyrstypane som gir størst overskot. Vi set grensekostnaden lik grenseinntekta for dei to kostnadsfunksjonane.

Opne bilete i eit nytt vindauge

CC BY-SA

Bilete: Bjarne Skurdal

I linje 11 reknar vi ut overskotet der grensekostnaden er mest mogleg lik grenseinntekta for dei to utstyrstypane. Vi får at med utstyrstype B vil overskotet kunne bli størst med 763 500 kroner. Bedrifta bør derfor satse på utstyrstype B.

Merk at sjølv om kostnadene blir minst med utstyrstype A, blir ikkje overskotet størst med denne utstyrstypen.

Finn funksjonar for grenseinntekt og -kostnad som passar godt med tala i tabellen.

Vi kan køyre regresjon for å lage funksjonar som passar best mogleg med tala i tabellen. Vi kan anten skrive inn tala som ti punkt i algebrafeltet i GeoGebra, eller vi kan overføre tabellen til reknearkdelen, lage liste med punkt og bruke regresjonsanalyseverktøyet. Her har vi valt det siste.

Vi overfører tabellen til reknearkdelen i GeoGebra og lagar liste med punkt. På figuren nedanfor er punkta for grenseinntekt runde og raude, mens punkta for grensekostnad er blå plussteikn.

Punkta ligg på kvar si rette linje, så derfor bruker vi regresjonsanalyseverktøyet og modellen "Lineær" to gonger for kvart sett med punkt. Dette gir oss to rette linjer. Linja for grensekostnad er kalla $$ g_K$$, og linja for grenseinntekt er kalla $$ g_I$$. Skjeringspunktet mellom linjene er funne med verktøyet "Skjering mellom to objekt" og er det punktet der grensekostnaden er lik grenseinntekta, og dermed det punktet der overskotet er størst.

Overskotet blir størst når bedrifta produserer og sel 103 snøfresarar.

Du kan finne kostnadsfunksjonen $$ K$$ ved å integrere funksjonen for grensekostnad og bruke opplysninga frå bedrifta til å bestemme integrasjonskonstanten. Gjer tilsvarande for å finne inntektsfunksjonen. For å bestemme integrasjonskonstanten kan vi bruke at dersom ingen snøfresarar blir produserte, er inntekta lik null.

Vi løyser oppgåva med CAS.

Vi lagar oss kostnadsfunksjonen ved å integrere uttrykket for grensekostnad i linje 1. Så bruker vi informasjonen frå bedrifta til å finne integrasjonskonstanten $$ c_1$$ (konstantleddet). Vi gjer tilsvarande for å finne inntektsfunksjonen ved å integrere utrykket for grenseinntekt i linje 3. Vi bruker at når produksjonen er 0, er inntekta òg 0, til å bestemme integrasjonskonstanten $$ c_2$$. Så lagar vi oss nye kostnads- og inntektsfunksjonar ved å erstatte integrasjonskonstantane med løysinga vi har funne. Til slutt kan vi rekne ut det maksimale overskotet i linje 7.

Det maksimale overskotet bedrifta kan få, er 406 142 kroner.

Einingskostnaden er gitt ved

$$ \begin{array}{rcl}E\left(x\right) & =& \frac{K\left(x\right)}{x}\\ & =& \frac{0,4x^2+300x+10 000}{x}\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}{K}^{\text{'}}\left(x\right) & =& 0,4·2x+300\\ & =& 0,8x+300\end{array}$$

Vi skriv inn kostnadsfunksjonen i algebrafeltet ved hjelp av kommandoen "Funksjon". Deretter skriv vi E(x)=K/x for å legge inn einingskostnadsfunksjonen. Så skriv vi K' for å få teikna grensekostnadsfunksjonen. Til slutt skriv vi kommandoen Skjering(E,K',100,200) for å finne skjeringspunktet mellom dei to grafane.

Opne bilete i eit nytt vindauge

CC BY-SA

Bilete: Bjarne Skurdal

Det ser ut som grafane skjer kvarandre i botnpunktet på grafen til $$ E$$. Det ser altså ut som einingskostnaden er lågast der $$ E\left(x\right)=K^{\text{'}}\left(x\right)$$.

Vi deriverer uttrykket ved hjelp av regelen for derivasjon av eit brøkuttrykk.

$$ \begin{array}{rcl}{E}^{\text{'}}\left(x\right) & =& \frac{x·K^{\text{'}}\left(x\right)-K\left(x\right)·1}{x^2}\\ & =& \frac{x·K^{\text{'}}\left(x\right)-K\left(x\right)}{x^2}\end{array}$$

Så set vi den deriverte lik 0 og bruker at skal ein brøk vere null, må teljaren vere 0.

$$ \begin{array}{rcl}{E}^{\text{'}}\left(x\right) & =& 0\\ \frac{x·K^{\text{'}}\left(x\right)-K\left(x\right)}{x^2} & =& 0\\ x·K^{\text{'}}\left(x\right)-K\left(x\right) & =& 0\\ x·K^{\text{'}}\left(x\right) & =& K\left(x\right)\\ K^{\text{'}}\left(x\right) & =& \frac{K\left(x\right)}{x}\\ K^{\text{'}}\left(x\right) & =& E\left(x\right)\end{array}$$

Dette gjeld for alle stasjonære punkt til $$ E\left(x\right)$$. Dersom funksjonen $$ E\left(x\right)$$ har eit botnpunkt, vil derfor generelt den lågaste einingskostnaden vere der einingskostnaden er lik grensekostnaden. Vi må i kvart tilfelle sjekke at det stasjonære punktet er eit botnpunkt.