Oppgåver og aktivitetar

Pris og etterspørsel

Prisen på ei vare vil bestemme kor mange einingar av vara ei bedrift får selt. I desse oppgåvene skal du komme fram til prisen på ei vare som gir størst overskot.

FM-50

Ei bedrift produserer posar med godteri. Etterspørselen $e$ etter posane er talet på posar dei får selt per veke. Etterspørselen varierer berre med prisen $p$ i kroner per pose og er gitt ved funksjonen

$e (p) = 1 500 - 24 p, p \leq 50$

Vi føreset at bedrifta innrettar produksjonen slik at det blir produsert like mange einingar som det blir selt.

a) Kor mange posar får bedrifta selt per veke dersom prisen per pose er 40 kroner?

Løysing

Vi må rekne ut $e (40)$ .

Skjermutklipp av CAS-utrekning med GeoGebra. På linje 1 er funksjonen e av p kolon er lik 1500 minus 24 p skriven inn. På linje 2 er e av 40 rekna ut til 540.

Bedrifta får selt 540 godteriposar dersom prisen er 40 kroner per pose.

b) Finn eit uttrykk for inntekta $I$ som funksjon av $p$ .

Løysing

Inntekta er alltid lik talet på selde einingar, eller etterspørselen, multiplisert med prisen.

Skjermutklipp av CAS-utrekning med GeoGebra. På linje 3 er inntektsfunksjonen I av p kolon er lik e multiplisert med p skriven inn. Svaret er I av p kolon er lik minus 24 p i andre pluss 1500 p.

Inntektsfunksjonen er $I (x) = - 24 p^{2} + 1 500 p$ .

c) Finn kor store inntektene blir dersom prisen er 40 kroner per pose.

Løysing

Vi må rekne ut $I (40)$ .

Skjermutklipp av CAS-utrekning med GeoGebra. På linje 4 er I av 40 rekna ut med tilnærming til 21600.

Bedrifta får ei inntekt på 21 600 kroner dersom dei set prisen til 40 kroner per pose.

d) Bestem den prisen som gir størst inntekt per veke. Kor stor er inntekta ved denne prisen?

Løysing

Vi må finne den største verdien til inntektsfunksjonen, som har eit toppunkt sidan han er ein andregradsfunksjon med negativ koeffisient framfor andregradsleddet. Vi må finne når den deriverte av inntektsfunksjonen er lik null.

Skjermutklipp av CAS-utrekning med GeoGebra. På linje 5 er likninga I derivert av p er lik 0 skriven inn. Svaret med "N Løys" er p er lik 31,25. På linje 6 er I av 31,25 rekna ut med tilnærming til 23437,5.

Prisen som gir størst inntekt per veke, er 31,25 kroner.

Inntekta ved denne prisen er 23 437,50 kroner.

e) Vil det lønne seg for bedrifta å setje prisen lik 31,25 kroner?

Løysing

Vi kan ikkje seie kva pris bedrifta skal ta for å få størst mogleg overskot før vi veit noko om korleis kostnadene varierer med talet på produserte godteriposar.

Kostnadene $K$ i kroner ved produksjonen av $x$ godteriposar er gitt ved

$K (x) = 1 000 - 15 x + 0, 06 x^{2}$

f) Bestem eit uttrykk for kostnaden $K$ som funksjon av $p$ .

Løysing

Vi held fram med CAS, skriv inn kostnadsfunksjonen og lagar ein ny kostnadsfunksjon ved å byte ut $x$ med $e (p)$ .

Skjermutklipp av CAS-utrekning med GeoGebra. På linje 7 er kostnadsfunksjonen K x av x kolon er lik 1000 minus 15 x pluss 0,06 x i andre skriven inn. På linje 8 er det skrive K av p kolon er lik BytUt parentes K x komma, x er lik e parentes slutt. Svaret med tilnærming er K av p kolon er lik 34,56 p i andre minus 3960 p pluss 113500.

Kostnadsfunksjonen blir

$K (p) = 34, 56 p^{2} - 3 960 p + 113 500$

g) Finn kva pris som gir størst overskot per veke for bedrifta. Kor stort blir dette overskotet?

Løysing

Vi lagar oss overskotsfunksjonen $O (p)$ med kommandoen O(p):=I-K og finn når den deriverte er 0. Andregradsfunksjonen veit vi har eit toppunkt.

Skjermutklipp av CAS-utrekning med GeoGebra. På linje 9 er funksjonen O av p sett lik I minus K. Svaret med tilnærming er O av p kolon er lik minus 58,56 p i andre pluss 5460 p minus 113500. På linje 10 er likninga O derivert av p lik 0 skriven inn. Svaret med "N Løys" er p er lik 46,62. På linje 11 er O av 46,62 rekna ut med tilnærming til 13769,47.

Det største overskotet bedrifta kan få per veke på salet av godteriposar, er 13 769,50 kroner, og då er prisen 46,62 kroner per pose.

h) Kor mange godteriposar får bedrifta selt når overskotet er størst?

Løysing

Vi må rekne ut $e (46, 62)$ .

Skjermutklipp av CAS-utrekning med GeoGebra. På linje 12 er e av 46,62 rekna ut med tilnærming til 381,12.

FM-51

(Basert på oppgåve 1 del 2, eksamen S2 våren 2013)

Ei bedrift produserer og sel ei vare. Ein marknadsanalyse viser at etterspørselen $E$ kan skrivast som

$E (p) = 6000 - 4 p$

der $p$ er prisen i kroner per eining.

a) Vis at grenseinntekta er gitt ved

$I^{'} (x) = 1 500 - 0, 5 x$

der $x = E (p)$ er talet på selde einingar av vara.

Løysing

Sidan samanhengen mellom pris og talet på einingar er kjend, kan vi først finne et uttrykk for talet på einingar $x$ som funksjon av prisen per eining $p$ . Så finn vi eit uttrykk for inntekta som pris per eining multiplisert med talet på einingar. Til slutt deriverer vi inntektsfunksjonen og får grenseinntekta.

$\begin{array}{rcl} x & = & 6 000 - 4 p \\ 4 p & = & 6 000 - x \\ p & = & 1 500 - 0, 25 x \end{array}$

$I (x) = p \cdot x = (1 500 - 0, 25 x) x = 1 500 x - 0, 25 x^{2}$

Grenseinntekta blir

$I^{'} (x) = 1 500 - 0, 25 \cdot 2 x = 1 500 - 0, 5 x$

Bedrifta reknar med at kostnadene $K (x)$ i kroner ved å produsere og selje $x$ einingar er gitt ved

$K (x) = 0, 02 x^{2} + 20 x + 550 000$

b) Kor mange einingar må bedrifta produsere og selje for at overskotet skal bli størst mogleg? Kva er prisen per eining då?

Løysing

Sidan koeffisienten framfor andregradsleddet i $K (x)$ er positiv og framfor andregradsleddet i $I (x)$ er negativ, vil overskotsfunksjonen ha negativ koeffisient framfor andregradsleddet sitt og derfor ha eit toppunkt. Då kan vi finne den produksjonen som gir størst overskot ved å setje grensekostnaden lik grenseinntekta.

Skjermutklipp av CAS-utrekning med GeoGebra. På linje 1 er inntektsfunksjonen I av x kolon er lik 1500 minus 0,25 x i andre skriven inn. På linje 2 er kostnadsfunksjonen K av x kolon er lik 0,02 x i andre pluss 20 x pluss 550000 skriven inn. På linje tre er likninga I derivert av x er lik K derivert av x skriven inn. Svaret med "N Løys" er x er lik 2740,74. På linje 4 er etterspørselsfunksjonen E av p kolon er lik 6000 minus 4 p skriven inn. På linje 5 er likninga E av p er lik 2741 skriven inn. Svaret med "N Løys" er p er lik 814,75.

Bedrifta må produsere og selje 2 741 einingar for at overskotet skal bli størst mogleg. Då skal prisen vere 814,75 kroner.

c) Bedrifta ønsker å auke marknadsdelen sin og vil derfor setje ned prisen, slik at fleire kjøper produktet. Kva er den minste prisen bedrifta kan setje for likevel å kunne gå i balanse?

Løysing

Vi har frå oppgåve a) at $x = 6 000 - 4 p$ . Vi kan derfor finne inntekts- og kostnadsfunksjonen som funksjonar av prisen $p$ i staden for talet på varer $x$ ved å rekne ut $I (6 000 - 4 p)$ og $K (6 000 - 4 p)$ . Trekker vi desse frå kvarandre, får vi overskotsfunksjonen $O (p)$ . Nullpunkta til denne er dei prisane som gir at bedrifta går akkurat i balanse.

Skjermutklipp av CAS-utrekning med GeoGebra. På linje 6 er overskotsfunksjonen O av p kolon er lik I av parentes 6000 minus 4 p parentes slutt minus K av parentes 6000 minus 4 p parentes slutt skriven inn. På linje 7 er likninga O av p er lik 0 skriven inn. Svaret med "N Løys" er p er lik 229,87 eller p er lik 1399,76.

Den lågaste prisen bedrifta kan setje for vara og likevel gå i balanse, er 230 kroner.

d) Kor mange einingar av vara skal bedrifta produsere når prisen er den minste dei kan setje og likevel gå i balanse?

Løysing

Vi må rekne ut etterspørselen når prisen er 230, $E (230)$ .

Skjermutklipp av CAS-utrekning med GeoGebra. På linje 8 er E av 230 rekna ut med tilnærming til 5080.

Bedrifta skal produsere 5 080 einingar når prisen er 230 kroner

FM-52

(Basert på oppgåve 1 del 2, eksamen S2 våren 2015)

Dei daglege kostnadene i kroner til ei bedrift som produserer $x$ einingar av ei vare per dag, er gitt i tabellen nedanfor.

Tabell over kostnader
$x$	40	50	60	70	80	90	100
$K (x)$	1 200	2 200	3 600	5 500	7 800	10 500	13 700

a) Bruk regresjon til å bestemme eit andregradsuttrykk for $K (x)$ .

Løysing

Vi skriv verdiane frå tabellen inn i reknearket i GeoGebra og vel regresjonsanalyse med polynomgrad 2 som regresjonsmodell.

Skjermutklipp som viser regregsjonsanalyse med GeoGebra. Tala i oppgåva er skrivne inn i reknearkdelen i GeoGebra. Så er dei markerte, og regresjonsanalyse er vald med modellen "Polynom" av grad 2. Modellen, som passar svært godt til tala, er y er lik 2,1786 x i andre minus 96,7857 x pluss 1585,7143.

Vi får funksjonen $K (x) = 2, 18 x^{2} - 96, 8 x + 1586$ , som passar svært godt til tala.

Inntektene $I$ kroner ved sal av $x$ einingar per dag er gitt ved $I (x) = p \cdot x$ der $p$ er prisen på vara og $x \in [40, 100]$ .

b) Kva må $p$ vere dersom overskotet per dag skal bli størst når det blir produsert og selt 75 einingar per dag? Kor stort blir overskotet då?

Løysing

Vi kopierer regresjonsmodellen til algebrafeltet og døper han om til $K$ . Så skriv vi inn inntektsfunksjonen og definerer overskotsfunksjonen.

Skjermutklipp av CAS-utrekning med GeoGebra. På linje 1 er inntektsfunksjonen I av x kolon er lik p x skriven inn. På linje 2 er overskotsfunksjonen O av x kolon er lik I minus K skriven inn. På linje 3 er likninga O derivert av 75 lik 0 skriven inn. Svaret med "N Løys" er p er lik 230. På linje 4 er funksjonen O 2 av x sett lik kommandoen BytUt parentes O komma, p er lik 230 parentes slutt. På linje 5 er O 2 av 75 rekna ut med tilnærming til 10668,75.

I linje 3 finn vi at prisen må vere 230 kroner per eining for at overskotet per dag skal vere størst når det skal produserast og seljast 75 einingar. Vi veit at dette vil vere eit toppunkt sidan koeffisienten framfor andregradsleddet i funksjonen $O$ er negativt. I linje 4 lagar vi ein ny overskotsfunksjon der $p = 230$ , og i linje 5 finn vi at det største overskotet per dag er 10 669 kroner.

Bedrifta har gjort ein marknadsanalyse. Samanhengen mellom talet på selde einingar $x$ og prisen $p$ viser seg å vere

$x = 200 - 1, 2 p$

c) Bestem kva pris som vil gi det største overskotet per dag. Kor mange einingar skal bedrifta produsere då?

Løysing

Vi lagar oss ein ny overskotsfunksjon $O_{3} (p)$ i linje 6 ved å rekne ut $O (200 - 1, 2 p)$ , altså erstatte $x$ med uttrykket for etterspørselen.

Skjermutklipp av CAS-utrekning med GeoGebra. På linje 6 er funksjonen O 3 av x kolon er lik O av parentes 200 minus 1,2 p parentes slutt skriven inn. På linje 7 er likninga O 3 derivert av p lik 0 skriven inn. Svaret med "N Løys" er p er lik 130,22. På linje 8 er 200 minus 1,2 multiplisert med 130,22 rekna ut med tilnærming til 43,74.

I linje 7 finn vi at ein pris på 130,22 kroner gir det største overskotet per dag. Vi veit at dette vil vere eit toppunkt sidan koeffisienten framfor andregradsleddet i funksjonen $O_{3} (p)$ er negativt. I linje 8 bruker vi uttrykket for etterspørselen til å rekne ut at bedrifta med denne prisen kan få selt 44 einingar av vara per dag, og må legge dagsproduksjonen på dette talet.

FM-53

(Basert på oppgåve 3 del 2, eksamen S2 hausten 2016)

Ei bedrift produserer og sel ein vare. Bedrifta reknar med at den daglege etterspørselen $x = E (p)$ er gitt ved

$E (p) = 341 - p^{2}, p \in [4, 16]$

der $p$ er prisen i kroner per eining.

a) Bestem inntekta $I$ uttrykt ved $p$ .

Løysing

$I (p) = E (p) \cdot p = (341 - p^{2}) p = 341 p - p^{3}$

b) Kva pris gir høgast inntekt?

Løysing

Vi løyser oppgåva med CAS.

Skjermutklipp som viser CAS-utrekning med GeoGebra. På linje 1 er inntektsfunksjonen I av p kolon er lik 341 p minus p i tredje skriven inn. På linje 2 er likninga I derivert av p er lik 0 skriven inn. Svaret med "Løys" er p er lik minus ein tredels rot 1023 eller p er lik ein tredels rot 1023. På linje 3 er det skrive dollarteikn 2. Svaret med tilnærming er p er lik minus 10,66 eller p er lik 10,66. På linje 4 er I dobbeltderivert av 10,66 rekna ut med tilnærming til minus 63,96.

Vi sjekkar i linje 4 med den dobbeltderiverte av inntektsfunksjonen at løysinga er eit toppunkt. Den prisen som gir størst inntekt, er 10,66 kroner.

Dei daglege kostnadene ved å produsere og selje $x$ einingar av vara er $K (x)$ kroner. Tabellen nedanfor viser kostnadene for nokre $x$ -verdiar.

Tabell over kostnader
$x$	50	100	150	200	250	300
$K (x)$	792	1 065	1 329	1 601	1 867	2 136

c) Bruk mellom anna tala i tabellen til å vise at ein god modell for overskotsfunksjonen er gitt ved

$O (p) = - p^{3} + 5, 37 p^{2} + 341 p - 2 356$

Løysing

Vi skriv tala inn i reknearkdelen i GeoGebra, markerer tala og vel regresjonsanalyse. Biletet viser at ein lineær funksjon passar veldig godt med tala.

Skjermutklipp som viser regresjonsanalyse med GeoGebra. Tala i oppgåva passar veldig godt med den lineære modellen y er lik 5,3703 x pluss 525,2.

Vi kopierer resultatet til algebrafeltet og skiftar namn på funksjonen til $K$ . Kostnadsfunksjonen blir

$K (x) = 5, 37 x + 525, 2$

Sidan etterspørselen $E (p)$ er det same som det talet på varer $x$ som blir selt, kan vi finne kostnadsfunksjonen som funksjon av $p$ ved å rekne ut $K (E (p)) = K (341 - p^{2})$ og ut ifrå det komme fram til ein funksjon for overskotet.