Pris og etterspørsel

Vi må rekne ut $$ e\left(40\right)$$.

Bedrifta får selt 540 godteriposar dersom prisen er 40 kroner per pose.

Inntekta er alltid lik talet på selde einingar, eller etterspørselen, multiplisert med prisen.

Inntektsfunksjonen er $$ I\left(x\right)=-24p^2+1 500p$$.

Vi må rekne ut $$ I\left(40\right)$$.

Bedrifta får ei inntekt på 21 600 kroner dersom dei set prisen til 40 kroner per pose.

Vi må finne den største verdien til inntektsfunksjonen, som har eit toppunkt sidan han er ein andregradsfunksjon med negativ koeffisient framfor andregradsleddet. Vi må finne når den deriverte av inntektsfunksjonen er lik null.

Prisen som gir størst inntekt per veke, er 31,25 kroner.

Inntekta ved denne prisen er 23 437,50 kroner.

Vi kan ikkje seie kva pris bedrifta skal ta for å få størst mogleg overskot før vi veit noko om korleis kostnadene varierer med talet på produserte godteriposar.

Vi held fram med CAS, skriv inn kostnadsfunksjonen og lagar ein ny kostnadsfunksjon ved å byte ut $$ x$$ med $$ e\left(p\right)$$.

Kostnadsfunksjonen blir

$$ K\left(p\right)=34,56p^2-3 960p+113 500$$

Vi lagar oss overskotsfunksjonen $$ O\left(p\right)$$ med kommandoen O(p):=I-K og finn når den deriverte er 0. Andregradsfunksjonen veit vi har eit toppunkt.

Det største overskotet bedrifta kan få per veke på salet av godteriposar, er 13 769,50 kroner, og då er prisen 46,62 kroner per pose.

Vi må rekne ut $$ e\left(46,62\right)$$.

Sidan samanhengen mellom pris og talet på einingar er kjend, kan vi først finne et uttrykk for talet på einingar $$ x$$ som funksjon av prisen per eining $$ p$$. Så finn vi eit uttrykk for inntekta som pris per eining multiplisert med talet på einingar. Til slutt deriverer vi inntektsfunksjonen og får grenseinntekta.

$$ \begin{array}{rcl}x & =& 6 000-4p\\ 4p & =& 6 000-x\\ p & =& 1 500-0,25x\end{array}$$

$$ I\left(x\right)=p·x=\left(1 500-0,25x\right)x=1 500x-0,25x^2$$

Grenseinntekta blir

$$ I^{\text{'}}\left(x\right)=1 500-0,25·2x=1 500-0,5x$$

Sidan koeffisienten framfor andregradsleddet i $$ K\left(x\right)$$ er positiv og framfor andregradsleddet i $$ I\left(x\right)$$ er negativ, vil overskotsfunksjonen ha negativ koeffisient framfor andregradsleddet sitt og derfor ha eit toppunkt. Då kan vi finne den produksjonen som gir størst overskot ved å setje grensekostnaden lik grenseinntekta.

Bedrifta må produsere og selje 2 741 einingar for at overskotet skal bli størst mogleg. Då skal prisen vere 814,75 kroner.

Vi har frå oppgåve a) at $$ x=6 000-4p$$. Vi kan derfor finne inntekts- og kostnadsfunksjonen som funksjonar av prisen $$ p$$ i staden for talet på varer $$ x$$ ved å rekne ut $$ I\left(6 000-4p\right)$$ og $$ K\left(6 000-4p\right)$$. Trekker vi desse frå kvarandre, får vi overskotsfunksjonen $$ O\left(p\right)$$. Nullpunkta til denne er dei prisane som gir at bedrifta går akkurat i balanse.

Den lågaste prisen bedrifta kan setje for vara og likevel gå i balanse, er 230 kroner.

Vi må rekne ut etterspørselen når prisen er 230, $$ E\left(230\right)$$.

Bedrifta skal produsere 5 080 einingar når prisen er 230 kroner

Vi skriv verdiane frå tabellen inn i reknearket i GeoGebra og vel regresjonsanalyse med polynomgrad 2 som regresjonsmodell.

Vi får funksjonen $$ K\left(x\right)=2,18x^2-96,8x+1586$$, som passar svært godt til tala.

Vi kopierer regresjonsmodellen til algebrafeltet og døper han om til $$ K$$. Så skriv vi inn inntektsfunksjonen og definerer overskotsfunksjonen.

I linje 3 finn vi at prisen må vere 230 kroner per eining for at overskotet per dag skal vere størst når det skal produserast og seljast 75 einingar. Vi veit at dette vil vere eit toppunkt sidan koeffisienten framfor andregradsleddet i funksjonen $$ O$$ er negativt. I linje 4 lagar vi ein ny overskotsfunksjon der $$ p=230$$, og i linje 5 finn vi at det største overskotet per dag er 10 669 kroner.

Vi lagar oss ein ny overskotsfunksjon $$ O_3\left(p\right)$$ i linje 6 ved å rekne ut $$ O\left(200-1,2p\right)$$, altså erstatte $$ x$$ med uttrykket for etterspørselen.

I linje 7 finn vi at ein pris på 130,22 kroner gir det største overskotet per dag. Vi veit at dette vil vere eit toppunkt sidan koeffisienten framfor andregradsleddet i funksjonen $$ O_3\left(p\right)$$ er negativt. I linje 8 bruker vi uttrykket for etterspørselen til å rekne ut at bedrifta med denne prisen kan få selt 44 einingar av vara per dag, og må legge dagsproduksjonen på dette talet.

$$ I\left(p\right)=E\left(p\right)·p=\left(341-p^2\right)p=341p-p^3$$

Vi løyser oppgåva med CAS.

Vi sjekkar i linje 4 med den dobbeltderiverte av inntektsfunksjonen at løysinga er eit toppunkt. Den prisen som gir størst inntekt, er 10,66 kroner.

Vi skriv tala inn i reknearkdelen i GeoGebra, markerer tala og vel regresjonsanalyse. Biletet viser at ein lineær funksjon passar veldig godt med tala.

Vi kopierer resultatet til algebrafeltet og skiftar namn på funksjonen til $$ K$$. Kostnadsfunksjonen blir

$$ K\left(x\right)=5,37x+525,2$$

Sidan etterspørselen $$ E\left(p\right)$$ er det same som det talet på varer $$ x$$ som blir selt, kan vi finne kostnadsfunksjonen som funksjon av $$ p$$ ved å rekne ut $$ K\left(E\left(p\right)\right)=K\left(341-p^2\right)$$ og ut ifrå det komme fram til ein funksjon for overskotet.

Resultatet stemmer med det vi skulle vise.

Vi finn toppunktet på overskotsfunksjonen med CAS.

1. Prisen som gir maksimalt overskot, er 12,60 kroner (linje 7 og 8).

2. Då er overskotet på omlag 792 kroner ...

3. ... og bedrifta må produsere 182 einingar.