Logistisk vekst
FM-20
a) Gjennomfør den logistiske regresjonen i døme om aurebestand på teorisida "Logistisk vekst".
b) Når veks aurebestanden mest, og kor stor er veksten då?
Løysing
Vi kopierer funksjonen frå regresjonsanalyseverktøyet til grafikkfeltet. Så bruker vi CAS til å analysere funksjonen. Her må vi finne det punktet der grafen er brattast. Det vil vere i vendepunktet til grafen til .
I linje 3 og 4 kontrollerer vi at nullpunktet til den dobbeltderiverte faktisk er eit vendepunkt ved å sjekke om forteiknet skiftar ved nullpunktet, noko det gjer. Aurebestanden vaks raskast nesten 5 år etter at kalkinga starta, og då vaks bestanden med 2 740 aurar per år.
I oppgåve FM-23 viser vi at vi alltid har eitt vendepunkt for ein logistisk funksjon, og at funksjonen er brattast der, så vi treng ikkje å sjekke dette fleire gonger.
FM-21
I 1970 dukka det for første gong opp løvetann på Fureøya. I nokre år framover vart talet på løvetannplantar kartlagt. Resultatet viser vi i tabellen nedanfor.
År | 1970 | 1971 | 1971 | 1973 | 1974 | 1975 | 1976 | 1977 | 1978 | 1979 | 1980 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Talet på løvetann-plantar | 3 | 15 | 80 | 201 | 300 | 501 | 731 | 915 | 1 131 | 1 350 | 1 490 |
a) Finn den logistiske modellen
Løysing
Når
Biletet viser at ein logistisk modell passar bra med tala. Den modellen som passar best, er
b) Kor mange løvetannplantar blir det på lang sikt etter denne modellen?
Løysing
Når
Talet på løvetannplantar på lang sikt, eller det vi kallar bereevna, vil derfor vere 1 675 etter modellen.
c) Når vaks talet på løvetannplantar raskast, og kor raskt vaks det då?
Løysing
Vi kopierer funksjonen frå regresjonsanalyseverktøyet til grafikkfeltet. Så bruker vi CAS til å analysere funksjonen.
Etter modellen auka talet på løvetannplantar mest i det sjette året etter 1970, det vil seie i 1976. Då auka talet på løvetannplantar med 244 plantar per år.
d) Bruk regresjon i Python til å lage ein modell som passar best mogleg med tala i tabellen. Teikn funksjonen.
Løysing
Forslag til kode:
Koden gir denne utskrifta:
"Funksjonen blir n(x) = 1675/(1+46.30e^(-0.58x))."
Kommentar til koden: I linje 12 har vi lagt til p0 = [max(y_verdiar),1,1]
i kommandoen curve_fit
. Dersom vi ikkje gjer det, feiler regresjonen. Tala max(y_verdiar)
, 1
og 1
er startverdiar for dei tre variablane B
, a
og k
, som programmet bruker i dei numeriske berekningane for å komme fram til dei endelege verdiane for dei tre variablane. Jo rettare startverdiane er, jo større er sjansen for at dei numeriske berekningane blir vellykka.
max(y_verdiar)
er eit godt val for startverdien til a
og k
set vi berre startverdien lik 1, som er den automatiske startverdien for parametrar ved bruk av curve_fit
.
FM-22
Talet på hjort har auka kraftig i eit område. Tabellen viser talet på hjort for enkelte år i perioden 1973–2003.
Årstal | 1973 | 1976 | 1979 | 1983 | 1988 | 1993 | 1998 | 2003 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Talet på hjort, | 500 | 840 | 1 350 | 2 250 | 3 500 | 4 300 | 4 700 | 4 900 |
a) Finn ein logistisk funksjon
Løysing
Vi skriv inn tala i tabellen inn i reknearkdelen i GeoGebra og reknar ut verdiane for
Vi ser at grafen som kjem opp, passar godt til punkta. Den logistiske funksjonen som passar best med tala i tabellen, er
b) Teikn grafen til den logistiske funksjonen du fann i a), og punkta han er basert på, i det same koordinatsystemet.
Løysing
Vi kopierer grafen (inkludert punkta) frå regresjonsverktøyet over i grafikkfeltet.
c) Kva er bereevna til hjortebestanden i dette området?
Løysing
Her må vi basere oss på modellen. Når
Bereevna er 4 988 hjort etter modellen, noko vi rundar av til 5 000.
d) Når vaks hjortebestanden raskast, og kor raskt vaks han då?
Løysing
Vi må finne vendepunktet til funksjonen, og vi bruker CAS.
Hjortebestanden vaks mest omtrent 11 år etter 1973, det vil seie i 1984, og då vaks bestanden med 253 dyr per år.
e) Kor mange hjort var det då hjortebestanden vaks raskast i forhold til bereevna?
Løysing
Vi får at hjortebestanden var på halvparten av bereevna då han vaks raskast.
Vil det vere slik for alle logistiske modellar, trur du?
FM-23
Vi skal sjå litt meir på den generelle logistiske funksjonen
Ved å analysere han kan vi få eit godt bilete på korleis ein logistisk modell fungerer. Vi føreset at konstantane
a) Bruk CAS og finn ut for kva
Løysing
Vi får at grafen til
For å sjekke at nullpunktet til den dobbeltderiverte faktisk er eit vendepunkt, kan vi ikkje løyse ulikskapen
b) Dersom
Løysing
Sidan
c) Er det mogleg å løyse oppgåve a) og b) ved rekning for hand? Gjer eit forsøk!
Løysing
Vi startar med å derivere funksjonen to gonger.
Kommentar: I tredje linje i utrekninga av
Når funksjonen er mål på ein bestand, er konstantane
Så må vi finne nullpunkta til den dobbeltderiverte.
I løysinga har vi enkelt kvitta oss med nemnaren og uttrykket framfor parentesen i teljaren sidan begge desse ikkje kan vere null. Vi må no sjekke at løysinga faktisk er
Kommentar til løysinga: Sidan dei tre konstantane
Vi får altså at grafen vender den hole sida si opp på venstresida av nullpunktet og motsett på høgre side, som vi forventa. Då veit vi at løysinga er
Til slutt må vi rekne ut
FM-24
Utforsk den generelle logistiske funksjonen
med GeoGebra ved å lage glidarar for konstantane