Kostnads-, inntekts- og overskotsfunksjon

Vi skriv inn funksjonen i algebrafeltet i GeoGebra ved hjelp av kommandoen "Funksjon" for å få avgrensa grafen.

Vi skriv inn punktet $$ \left(300,K\left(300\right)\right)$$ i algebrafeltet. På innstillingane til punktet som dukkar opp, endrar vi frå å vise namn til å vise verdi.

$$ y$$-koordinaten til punktet gir oss at kostnaden ved å produsere 300 luer er 173 000 kroner.

Vi vel å løyse oppgåva med CAS. Einingskostnadene er gitt ved

$$ E\left(x\right)=\frac{K\left(x\right)}{x}$$

Funksjonen $$ E$$ for einingskostnadene er

$$ E\left(x\right)=\frac{0,7x^2+200x+50 000}{x}$$

Einingskostnaden ved produksjon av 400 skiluer er 605 kroner.

Vi finn som vanleg eventuelle botnpunkt ved å finne nullpunkta til den deriverte. Vi har løyst oppgåva med CAS.

Vi har brukt dobbeltderiverttesten i linje 5 for å sjekke at det eine nullpunktet er et botnpunkt. Sidan det ikkje er nokon andre ekstremalpunkt når $$ x>0$$, vil den lågaste einingskostnaden vere i dette punktet, det vil seie når det blir produsert 267 skiluer.

Generelt kan vi ikkje seie noko om det lønner seg å legge seg på den produksjonen som gir lågast einingskostnad. Lenger ned i oppgåva skal vi finne den produksjonen som gir størst overskot.

Leddet $$ 800x$$ er den inntekta bedrifta ville fått dersom alle luene kunne seljast for 800 kroner stykket. Leddet$$ -0,15x^2$$ er alltid negativt og gir større og større utslag på inntekta jo større $$ x$$ blir. Dette fører til at gjennomsnittsprisen blir mindre og mindre jo større $$ x$$ blir.

Vi skriv inn funksjonen i algebrafeltet i GeoGebra ved hjelp av kommandoen "Funksjon" for å få avgrensa grafen, akkurat som vi gjorde med kostnadsfunksjonen i oppgåve a).

Bedrifta går med overskot i det området der grafen til inntektsfunksjonen $$ I$$ ligg over grafen til kostnadsfunksjonen $$ K$$. Dette kan vi finne ved å finne skjeringspunkta mellom grafane med verktøyet "Skjering mellom to objekt" (eller kommandoen "Skjering").

Vi får at bedrifta må produsere mellom 97 og 609 skiluer for å gå med overskot.

Vi skriv O(x)=I-K i algebrafeltet og får teikna overskotsfunksjonen.

Vi finn nullpunkta med kommandoen eller verktøyet "Nullpunkt".

Nullpunkta til overskotsfunksjonen er det same som skjeringspunkta mellom grafane til inntekts- og kostnadsfunksjonen. Dette er fordi når kostnadene er like store som inntektene, er overskotet 0.

Vi finn toppunktet til overskotsfunksjonen $$ O $$med verktøyet eller kommandoen "Ekstremalpunkt".

Vi får at det maksimale overskotet får bedrifta når dei produserer 353 skiluer, og då er overskotet på 55 882 kroner.

Merk at i oppgåve d) fann vi at einingskostnadene var lågast ved ein produksjon av 267 skiluer, men som vi ser her, er det ein produksjon på 353 skiluer som gir størst overskot.

Linje 4 gir at kostnaden ved å produsere 300 einingar er 173 000 kroner. Linje 6 gir at bedrifta går med overskot når det blir produsert frå og med 97 til og med 609 einingar.

Vi veit at overskotsfunksjonen har eit toppunkt sidan vi får av linje 3 at han er ein andregradsfunksjon med negativ koeffisient framfor andregradsleddet. Linjene 7 og 8 gir derfor at det største overskotet skjer når det blir produsert 353 einingar, og då er overskotet på 55 882,35 kroner.

Grafisk løysing:

Vi skriv inn dei to funksjonane $$ K$$ og $$ I$$ ved hjelp av kommandoen "Funksjon". Så skriv vi O(x)=I-K for å få fram overskotsfunksjonen $$ O$$. Vi skjuler grafane til funksjonane $$ K$$ og $$ I$$.

Så finn vi nullpunkta til $$ O$$ ved hjelp av verktøyet eller kommandoen "Nullpunkt".

Vi får at bedrifta går med overskot når dei produserer frå og med 26 til og med 187 skrumaskiner i veka.

Løysing med CAS:

Vi får den same løysinga. Bedrifta går med overskot når det blir produsert frå og med 26 til og med 187 skrumaskiner i veka.

Merk at vi må sjå bort ifrå den første løysinga i linje 4 sidan negative $$ x$$-verdiar ikkje gir mening.

Grafisk løysing:

Vi bruker verktøyet eller kommandoen "Ekstremalpunkt" på overskotsfunksjonen.

Vi får at overskotet blir størst når bedrifta produserer 116 skrumaskiner, og då blir overskotet på 64 113,50 kroner.

Løysing med CAS:

Vi finn toppunktet til overskotsfunksjonen ved å finne når den deriverte er lik 0. Så reknar vi ut den dobbeltderiverte i det aktuelle nullpunktet i linje 7 for å kontrollere at det er eit toppunkt (dobbeltderiverttesten). Vi kan òg bruke at for ein tredjegradfunksjon med negativ koeffisient framfor tredjegradsleddet vil det andre ekstremalpunktet, dersom det eksisterer, vere eit toppunkt. Til slutt finn vi det største overskotet i linje 8.

Vi får at overskotet blir størst når bedrifta produserer 116 skrumaskiner, og då blir overskotet på 64 113,12 kroner.

Vi lastar ned GeoGebra-arket og lagar ein kolonne i reknearket der vi reknar ut inntekta, som er talet på grasklipparar multiplisert med prisen. Så lagar vi ein kolonne der vi reknar ut overskotet ved å rekne ut inntekt minus kostnad.

Formlar i reknearket (vi viser berre dei tre øvste radene):

Vi får at overskotet er størst når dei monterer og sel 7 grasklipparar per dag. Då er overskotet på 7 650 kroner.

Vi markerer tala i reknearkdelen og vel regresjonsanalyse. Sidan punkta først stig mindre og mindre og deretter raskare og raskare, prøver vi med ein tredjegradsfunksjon, som betyr at vi vel modellen "Polynom" med grad 3.

Ein kostnadsfunksjon som passar godt med tala i tabellen, er

$$ K\left(x\right)=58,57x^3-514,62x^2+3450x+8498$$

Vi vel å bruke CAS til oppgåva. Vi skriv inn inntektsfunksjonen I(x)=4950x i CAS og deretter funksjonen O(x)=I-K. Vi finn nullpunkta til $$ O^{\text{'}}\left(x\right)$$ og bruker dobbeltderiverttesten til å sjekke at det aktuelle nullpunktet gir eit toppunkt.

Det største moglege overskotet ut ifrå kostnadsfunksjonen er når bedrifta monterer og sel 7 grasklipparar per dag. Då er overskotet 7 131 kroner.

Talet på grasklipparar som gir størst overskot, stemmer med det vi fann i oppgåve a). Funksjonen gir litt mindre overskot enn tala i tabellen. Det er fordi $$ K\left(7\right)=27 519$$, mens i tabellen er kostnaden ved å montere 7 grasklipparar 27 000 kroner.

Vi endrar overskotsfunksjonen til $$ I\left(x\right)=4 250x$$ i CAS-feltet eller algebrafeltet og observerer endringane som skjer i CAS-feltet.

Vi må endre i linje 5 sidan løysinga i linje 4 vart litt endra. Sidan toppunktet ligg omtrent midt mellom 6 og 7, sjekkar vi overskotsfunksjonen for begge desse $$ x$$-verdiane. Framleis vil det ut ifrå funksjonen lønne seg å montere og selje 7 grasklipparar, men det maksimale overskotet blir no 2 231 kroner.

For at vi skal ha eit overskot, må inntektsfunksjonen ligge over kostnadsfunksjonen i eit område. Dersom det maksimale overskotet skal vere 0, betyr det at grafen til inntektsfunksjonen tangerer kostnadsfunksjonen i eitt punkt. I dette punktet må derfor den deriverte av kostnadsfunksjonen vere lik den deriverte av inntektsfunksjonen. I tillegg må kostnadsfunksjonen vere lik inntektsfunksjonen i punktet.

Vi lagar oss ein ny inntektsfunksjon $$ I_2\left(x\right)=p·x$$ med ein ukjend pris $$ p$$ i CAS og set opp dei to vilkåra over. Dette gir oss to likningar med to ukjende, $$ x$$ og $$ p$$.

Nedanfor kan du dra i glidaren og justere prisen og sjå korleis det ser ut når vi er på den lågaste moglege prisen som ikkje gir tap.

Vi får at den lågast moglege prisen er 3 881 kroner. Problemet er at bedrifta ikkje kan montere 6,25 grasklipparar. For å finne svaret kan vi bruke tala i tabellen og rekne ut kva pris som gir null i overskot når dei monterer og sel 6 og 7 grasklipparar per dag.

Sidan overskotet er lik inntekter minus kostnader, får vi at

$$ p·x-K=0$$

Den lågaste moglege prisen bedrifta kan ta og samtidig unngå å gå med tap, er 3 817 kroner. Då må dei montere og selje 6 grasklipparar per dag.