Analyse av funksjonar med derivasjon og integrasjon
Prøv å løyse så mange oppgåver som mogleg utan hjelpemiddel. Kontroller svara med CAS etterpå.
FM-1
Funksjonen er gitt ved
I denne oppgåva skal vi gjere mest mogleg utan hjelpemiddel.
a) Finn nullpunkta til funksjonen.
Løysing
Nullpunkt:
b) Finn eventuelle stasjonære punkt til funksjonen og avgjer kva slags type stasjonære punkt det er.
Løysing
Vi finn dei stasjonære punkta der den deriverte er 0.
Stasjonære punkt:
Den deriverte er ein andregradsfunksjon med positivt tal framfor
er positiv nårf ' x x < - 2 er negativ nårf ' x - 2 < x < 0 er positiv nårf ' x x > 0
Då har vi eit toppunkt når
Vi får
eit toppunkt i
- 2 , 4 eit botnpunkt i
0 , 0
Alternativ løysing
Sidan
Vi kan teikne forteiknslinje for
Vi får
eit toppunkt i
- 2 , 4 eit botnpunkt i
0 , 0
c) Finn krummingsforholda til funksjonen. Finn eventuelle vendepunkt og likninga for eventuelle vendetangentar.
Løysing
Vi må finne den dobbeltderiverte/andrederiverte.
Vi må sjekke om
Vi kan teikne forteiknsskjema, men det er ikkje nødvendig. Den andrederiverte skiftar forteikn for
Dette betyr at
grafen vender den hole sida ned når
x < - 1 grafen vender den hole sida opp når
x > - 1 vi har eit vendepunkt i
- 1 , f - 1 = - 1 , 2
For å finne vendetangenten må vi rekne ut
Vi bruker eittpunktsformelen for å finne vendetangenten.
Vendetangenten er
d) Vi går no ut frå at funksjonen viser kor mange liter vatn som renn i ein bekk per sekund. Kor mykje vatn rann det til saman på dei tre sekunda i intervallet
Løysing
Dette betyr at vi skal finne samla mengde for funksjonen i dette intervallet. Det er det same som integralet av funksjonen i intervallet. Samla mengde i intervallet
Totalt rann det
e) Kva er gjennomsnittsverdien til funksjonen i intervallet
Løysing
Gjennomsnittsverdien
(Vi brukte resultatet frå den førre oppgåva i utrekninga.)
FM-3
Funksjonen
Svar på så mange spørsmål som mogleg utan hjelpemiddel.
a) Finn nullpunkta til funksjonen.
Løysing
Nullpunkt:
b) Finn eventuelle stasjonære punkt til funksjonen og avgjer kva slags type stasjonære punkt det er.
Løysing
Vi finn dei stasjonære punkta der den deriverte er 0.
Stasjonære punkt:
Sidan
Den deriverte er negativ på begge sider av nullpunktet
Vi får
eit terrassepunkt i
0 , 0 eit botnpunkt i
1 , - 1
c) Finn krummingsforholda til funksjonen. Finn eventuelle vendepunkt og likninga for eventuelle vendetangentar.
Løysing
Vi må finne den dobbeltderiverte/andrederiverte.
Vi finn nullpunkta til
Vi testar med
Vi kan teikne forteiknsskjema dersom vi vil, men det er ikkje nødvendig. Den andrederiverte skiftar forteikn for begge nullpunkta, så vi har to vendepunkt, eitt for
Dette betyr at
grafen vender den hole sida opp når
, og nårx < 0 x > 2 3 grafen vender den hole sida ned når
0 < x < 2 3 vi har vendepunkt i
og i0 , 0 2 3 , - 16 27
Sidan vendepunktet i origo er eit terrassepunkt, vil likninga for tangenten der vere
For å finne vendetangenten i det andre vendepunktet må vi rekne ut
Vi bruker eittpunktsformelen for å finne vendetangenten, som blir
d) Kva er gjennomsnittsverdien til funksjonen i intervallet
Løysing
Vi har at
Vi reknar dette med CAS sidan vi skal integrere
Gjennomsnittsverdien