Fagstoff

Grensekostnad og grenseinntekt

Når ei bedrift skal bestemme kor mykje dei skal produsere, er omgrep som grensekostnad og grenseinntekt viktige.

Grensekostnad

Grensekostnad, definisjon

Grensekostnaden er kostnaden ved å produsere éi ekstra eining av ei vare ved ei gitt produksjonsmengde.

Kostnadsfunksjon, grensekostnad og momentan vekstfart

Vi går ut ifrå at vi har ein kostnadsfunksjon $K (x)$ å ta utgangspunkt i. Grensekostnaden når produksjonen til dømes ligg på 1 000 einingar, det vil seie endringa i kostnadene ved å auke produksjonen frå 1 000 til 1 001, kan vi rekne ut med $K (1 001) - K (1 000)$ . Men vi har òg ein annan måte å gjere dette på.

Vi kan omformulere definisjonen av grensekostnaden til å vere kor mykje kostnaden endrar seg per eining ved ei gitt produksjonsmengde. Dette er det same som den momentane vekstfarten til kostnadsfunksjonen i dette punktet.

Døme: elevbedrift

Vi skal prøve dette på dømet med elevbedrifta som skal produsere treningsapparatet Multiform, sjå sida Kostnads-, inntekts- og overskotsfunksjon.

Elevane i elevbedrifta har komme fram til kostnadsfunksjonen

$K (x) = 3 x^{2} + 150 x + 11 000, D_{K} = [0, 150]$

Vi ønsker å finne grensekostnaden når produksjonen er på 20 einingar og på 100 einingar. På figuren nedanfor har vi teikna kostnadsfunksjonen i det aktuelle området saman med dei to punkta på grafen der $x = 20$ og $x = 100$ . Vi har òg teikna tangentane i desse punkta.

Illustrasjon av koordinatsystem. Grafen til funksjonen K av x er lik 3 x i andre pluss 150 x pluss 11000 er teikna for x-verdiar mellom 0 og 150. I tillegg er tangentane i punkta på grafen der x er lik 20 og x er lik 100, teikna inn. Den første tangenten har stigningstal lik 20, den andre tangenten har stigningstal lik 100.

Vi kan no finne frå stigningstalet til tangenten at den momentane vekstfarten til kostnadsfunksjonen når $x = 20$ , er 270 kroner per eining. Då seier vi at grensekostnaden ved 20 produserte einingar er 270.

Kva betyr eigentleg dette?

Betydning

Det betyr at det kostar elevbedrifta 270 kroner å auke produksjonen frå 20 til 21 einingar.

Tenk over korleis vi kan finne grensekostnaden ved 20 produserte einingar ved rekning. I boksen nedanfor ser du korleis vi har gjort det.

Grensekostnaden ved rekning

Sidan grensekostnaden er det same som den momentane vekstfarten til kostnadsfunksjonen, kan vi finne grensekostnaden ved å rekne ut den deriverte i punktet, $K^{'} (20)$ . Ofte kallar vi rett og slett den deriverte funksjonen $K^{'} (x)$ berre for "grensekostnaden".

Vis ved rekning at grensekostnaden når $x = 20$ , er 270.

Ved rekning

Vi deriverer kostnadsfunksjonen:

$K (x) = 3 x^{2} + 150 x + 11 000$

$K^{'} (x) = 3 \cdot 2 x + 150 = 6 x + 150$

$K^{'} (20) = 6 \cdot 20 + 150 = 120 + 150 = 270$

Bruk figuren og finn grensekostnaden i dømet når elevbedrifta produserer 100 einingar. Rekn deretter ut det same ved å bruke $K^{'} (x)$ .

Grensekostnad ved 100 produserte einingar

Vi les av stigningstalet til den andre tangenten i figuren over at den momentane vekstfarten er 750 når $x = 100$ .

Vi reknar så ut det same ved hjelp av $K^{'} (x)$ :

$K^{'} (100) = 6 \cdot 100 + 150 = 600 + 150 = 750$

Grensekostnaden ved 100 produserte einingar er derfor 750 kroner. Det betyr at når produksjonen ligg på 100 einingar, kostar det elevbedrifta 750 kroner å auke produksjonen med éi eining.

Tenk over kva grunnar det kan vere til at grensekostnaden når $x = 100$ , er mykje større enn grensekostnaden når $x = 20$ . Sagt med andre ord: Kvifor er det mykje dyrare å produsere éi eining ekstra når produksjonen ligg på 100 einingar, enn på 20 einingar?

Forklaring

Det enkle, matematiske svaret er: fordi grafen til kostnadsfunksjonen er brattare når $x = 100$ , enn når $x = 20$ . Ei mogleg forklaring på kvifor det er slik, er at når det blir produsert mykje frå før, må elevane kanskje bruke overtid, setje fleire folk i arbeid, kjøpe inn meir produksjonsutstyr eller liknande, som gjer at kostnadene aukar mykje. Når bedrifta produserer lite, slepp ein å gjere slike grep. Sjå òg teorisida om kostnads-, inntekts- og overskotsfunksjonar der dette er diskutert.

Grensekostnad, definisjon og oppsummering

Grensekostnaden er endringa i kostnadene ved å produsere éi ekstra eining av ei vare ved ei gitt produksjonsmengde.

Vi kan finne grensekostnaden i eit punkt ved å finne den momentane vekstfarten til kostnadsfunksjonen i punktet.

Ofte kallar vi berre den deriverte av kostnadsfunksjonen, $K^{'} (x)$ , for grensekostnaden.

Grenseinntekt

Grenseinntekt blir definert tilsvarande som grensekostnad.

Grenseinntekt, definisjon og oppsummering

Grenseinntekta er endringa i inntektene ved å selje éi ekstra eining av ei vare ved ei gitt mengde selde einingar.

Vi kan finne grenseinntekta i eit punkt ved å finne den momentane vekstfarten til inntektsfunksjonen i punktet.

Ofte kallar vi berre den deriverte av inntektsfunksjonen, $I^{'} (x)$ , for grenseinntekta.

Grenseinntekt for elevbedrifta

Elevbedrifta som sel treningsapparatet Multiform, har komme fram til at inntektsfunksjonen $I$ er

$I (x) = 800 x - 2 x^{2}$

Vi ønsker å finne grenseinntekta ved 20 selde einingar. Det kan vi gjere ved å derivere inntektsfunksjonen og rekne ut $I^{'} (20)$ .

$I^{'} (x) = 800 - 2 \cdot 2 x = 800 - 4 x$

$I^{'} (20) = 800 - 4 \cdot 20 = 800 - 80 = 720$

Grenseinntekta ved 20 selde einingar er 720 kroner. Det betyr at elevane forventar at inntekta aukar med 720 kroner dersom dei sel eitt treningsapparat ekstra når produksjonen ligg på 20 einingar i veka.

Prøv sjølv: Finn grenseinntekta ved 100 selde einingar.

Grenseinntekta ved 100 selde einingar

Vi reknar ut

$I^{'} (100) = 800 - 4 \cdot 100 = 800 - 400 = 400$

Grenseinntekta ved 100 selde einingar er 400 kroner. Det betyr at elevane forventar at inntekta aukar med 400 kroner dersom dei sel eitt treningsapparat ekstra når produksjonen er på 100 einingar i veka.

Samanlikn dei to tala for grenseinntekta.

Samanlikning

I utgangspunktet skulle ein tru at inntekta alltid aukar med 800 kroner når dei sel eitt apparat ekstra, sidan prisen på treningsapparatet er 800 kroner. Av diskusjonen rundt fastsetjinga av inntektsfunksjonen på sida om kostnads-, inntekts- og overskotsfunksjonar går det fram at når produksjonsmengda aukar, det vil seie at tilbodet blir større, vil etterspørselen generelt bli mindre. Det blir òg sagt at eit stort sal vil inkludere sal av større parti til sportsbutikkar, og at ein ikkje kan rekne med å få like høg pris då. Så jo fleire apparat som blir selde, jo lågare blir prisen, og jo lågare blir grenseinntekta.

Meir om grensekostnad og grenseinntekt

Vi fekk frå avsnitta over at

$K^{'} (20) = 270, I^{'} (20) = 720$
$K^{'} (100) = 750, I^{'} (100) = 400$

Vi får at når produksjonen ligg på 20 einingar per veke, kostar det 270 kroner å produsere éi eining ekstra. Men samtidig aukar inntekta med 720 kroner. Det betyr at overskotet aukar, så det vil lønne seg å auke produksjonen – dersom ein går ut frå at dei får selt alle 21 apparata.

Kva skjer med overskotet dersom produksjon (og sal) ligg på 100 einingar og elevbedrifta ønsker å auke produksjonen?

Når produksjon og sal ligg på 100 einingar

Vi får at når produksjonen ligg på 100 einingar per veke, kostar det 750 kroner å produsere éi eining ekstra. Samtidig aukar inntekta med berre 400 kroner. Overskotet vil derfor minke, så elevbedrifta vil tape på å auke produksjonen sjølv om dei får selt alle dei 101 apparata.

Kva kan vi konkludere ut ifrå dette?

Konklusjon

Så lenge grenseinntekta er større enn grensekostnaden, vil det lønne seg å auke produksjonen. Slik vil det vere til vi kjem til det punktet der grenseinntekta og grensekostnaden er like.

Den deriverte av overskotsfunksjonen

Vi kan vise at konklusjonen vi kom fram til over, gjeld generelt.

Vi har frå teorisida om kostnads-, inntekts- og overskotsfunksjonar at det største moglege overskotet ei bedrift kan ha, er der overskotsfunksjonen har den største verdien sin. Som regel finn vi denne verdien i eit toppunkt der den deriverte er lik 0. Vi kan sjå for oss situasjonar der det største overskotet finst anten i eit endepunkt eller i eit knekkpunkt, men desse situasjonane er spesialtilfelle.

Vi har generelt at

$O (x) = I (x) - K (x)$

Vi prøver å derivere det generelle uttrykket for overskotsfunksjonen:

$O^{'} (x) = I^{'} (x) - K^{'} (x)$

Kva får vi dersom vi set den deriverte, $O^{'} (x)$ , lik 0, slik vi vanlegvis gjer når vi skal finne dei stasjonære punkta til ein funksjon?

Resultat

$\begin{array}{rcl} O^{'} (x) & = & 0 \\ I^{'} (x) - K^{'} (x) & = & 0 \\ I^{'} (x) & = & K^{'} (x) \end{array}$

Vilkår for størst mogleg overskot

Det største moglege overskotet er der kvar den deriverte av inntektsfunksjonen er lik den deriverte av kostnadsfunksjonen.

$I^{'} (x) = K^{'} (x)$

Vi kan òg seie at det største moglege overskotet er der grensekostnaden er lik grenseinntekta.

I tillegg må vi sjekke om maksimalverdien til overskotsfunksjonen kan ligge i nokon av endepunkta til funksjonen eller i eit knekkpunkt der den deriverte ikkje eksisterer.

CC BY-SASkrive av Bjarne Skurdal, Olav Kristensen og Stein Aanensen.

Sist fagleg oppdatert 20.01.2023