Fagstoff

Analyse av funksjonar – omgrep

Drøfting eller analyse av ein funksjon betyr å finne ut mest mogleg om funksjonen. Vi bruker vanlegvis den deriverte og den dobbeltderiverte funksjonen i denne analysen. Det grunnleggande om analyse finn du i faga R1 og S1.

Repetisjon av omgrep i samband med analyse av funksjonea

I R1 og S1 bruker vi derivasjon til å analysere funksjonar. Vi startar med å repetere omgrepa som blir brukte.

Døme på funksjon

Nedanfor er grafen til funksjon $f$ gitt ved

$f (x) = 3 x^{4} - 16 x^{3} + 18 x^{2}, D_{f} = [1, 4]$

teikna. Figuren samanfattar dei fleste omgrepa i samband med funksjonsanalyse slik det blir gjort i R1 og S1.

Illustrasjon av koordinatsystem. Grafen til f av x er lik 3 x i fjerde minus 16 x i tredje pluss 18 x i andre er teikna for x-verdiar mellom minus 1 og 4. På figuren er ulike omgrep definerte i forhold til akkurat denne funksjonen. Figuren blir forklart meir i den følgande teksten.

Beskriving av figuren

Funksjonen har eit absolutt maksimum i endepunktet $(- 1, 37)$ . Merk at endepunkt ikkje blir rekna som topp- eller botnpunkt. Funksjonen har nullpunkta $x = 0, x = 1, 61$ og $x = 3, 72$ . Grafen til funksjonen har botnpunkt i $(0, 0)$ og i $(3, - 27)$ . I det første botnpunktet har funksjonen eit lokalt minimum eller ein lokal minimalverdi. I det andre har funksjonen eit lokalt minimum som samtidig er absolutt minimum. Grafen har eit toppunkt i $(1, 5)$ der funksjonen har eit lokalt maksimum. Funksjonen har det absolutte maksimumet sitt i endepunktet $(- 1, 37)$ . Grafen til funksjonen har vendepunkt i $(1.45, 2.32)$ og i $(2.22, - 13.36)$ .

Dei mest grunnleggande omgrepa

Kva hugsar du om desse omgrepa?

Nullpunkt
Toppunkt og botnpunkt
Ekstremalpunkt og ekstremalverdi
Lokalt maksimum / lokal maksimalverdi og absolutt maksimum / absolutt maksimalverdi
Lokalt minimum / lokal minimalverdi og absolutt minimum / absolutt minimalverdi

Prøv å gjere øvinga nedanfor utan å bruke den øvste figuren eller beskrivinga av han.

Løysing

Eit nullpunkt er førstekoordinaten til eit skjeringspunkt mellom grafen til ein funksjon og førsteaksen. Eit toppunkt er eit punkt som har den høgaste andrekoordinaten i eit intervall omkring seg. Andrekoordinaten er anten ein lokal eller absolutt maksimalverdi eller eit lokalt eller absolutt maksimum. Tilsvarande blir andrekoordinaten til eit botnpunkt kalla ein lokal eller absolutt minimalverdi eller eit lokalt eller globalt minimum.

Topp- og botnpunkt har fellesnemninga ekstremalpunkt.

Maksimal- og minimalverdiar har fellesnemninga ekstremalverdiar.

Eit absolutt maksimum er den største verdien ein funksjon kan ha i definisjonsområdet sitt. Tilsvarande gjeld for eit absolutt minimum.

Spørsmål til refleksjon

Kvifor blir ikkje eit endepunkt rekna som eit topp- eller botnpunkt?

Forklaring

Eit topp- eller botnpunkt må ha eit ope intervall rundt seg der funksjonen er definert. Det er ikkje oppfylt for eit endepunkt. Sjå i tillegg figuren øvst på sida.

Kan eit absolutt minimum samtidig vere eit lokalt minimum? Forklar.

Svar

Eit absolutt minimum kan samtidig vere eit lokalt minimum dersom funksjonen er definert på begge sider av minimumet. Punktet kan då ikkje vere eit endepunkt.

Fleire omgrep

Hugsar du kva desse omgrepa betyr?

Terrassepunkt
Stasjonært punkt
Kritisk punkt
Vendepunkt
Hol side opp og hol side ned

Løysing

Eit stasjonært punkt på ein graf blir karakterisert ved at den deriverte er null i punktet. Dersom den deriverte skiftar forteikn der, er det stasjonære punktet eit topp- eller botnpunkt. Dersom den deriverte ikkje skiftar forteikn der, er det stasjonære punktet eit terrassepunkt. Eit kritisk punkt er eit punkt der den deriverte anten er null eller ikkje eksisterer. Ein graf vender den hole sida si opp når den dobbeltderiverte/andrederiverte er større enn 0, og den hole sida si ned når den dobbeltderiverte/andrederiverte er mindre enn 0. Eit punkt på grafen der grafen skiftar mellom å vende den hole sida si ned og å vende den hole sida si opp, eller motsett, blir kalla eit vendepunkt. Tangenten til grafen i eit slikt punkt blir kalla ein vendetangent.

Du kan repetere analyse av funksjonar i R1 og S1 på oppgåvesida "Blanda oppgåver om funksjonsanalyse".

Funksjonsanalyse ved hjelp av integrasjon

Når vi kan integrere funksjonar, får vi fleire måtar å analysere funksjonar på. Nedanfor har vi skrive opp nokre døme.

Dersom funksjonen står for ei eller anna mengde per tidseining, kan vi finne samla mengde i eit tidsrom ved hjelp av integrasjon.
Vi kan rekne ut gjennomsnittsverdien av ein funksjon ved hjelp av integrasjon.
Vi kan rekne ut lengda av ein graf (bogelengde) ved hjelp av integrasjon (berre for R2).
Vi kan rekne ut volumet og overflata av ein omdreiingslekam (ein rotasjonssymmetrisk gjenstand) ved hjelp av integrasjon dersom vi kan finne ein kjend funksjon som passar til grafen som blir rotert (berre for R2).

Du kan øve litt på funksjonsanalyse med derivasjon og integrasjon i dei tilhøyrande oppgåvene.

CC BY-SASkrive av Bjarne Skurdal.

Sist fagleg oppdatert 13.03.2023